2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．駕馭線面垂直的性質(zhì)定理.(直觀想象)2．能利用線面垂直性質(zhì)定理解決一些垂直和平行的證明.(邏輯推理)充分利用長方體模型或所在空間(如教室)相識線面垂直的性質(zhì)定理.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點1直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線__平行__符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?__a∥b__圖形語言作用①線面垂直?線線平行，②作平行線學(xué)問點2直線、平面間的距離1．直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上__隨意一點__到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.2．兩個平行平面間的距離假如兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的隨意一點到另一個平面的距離都__相等__，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.[學(xué)問解讀]1．剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論.(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直).(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，供應(yīng)了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).(4)定理的推證過程采納了反證法.2．直線與平面垂直的性質(zhì)(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,b?α))?l⊥b；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；(4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β；(5)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一對直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解典例1已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α，,n?β，,α∥β))?m∥n.其中正確命題的序號是(A)A．②③ B．③④C．①② D．①②③④[解析]①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A．[歸納提升]判定兩條直線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點.(2)利用基本領(lǐng)實4：證兩線同時平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【對點練習(xí)】?已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面.下列命題中正確的個數(shù)為(B)①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1 B．2C．3 D．0[解析]對于①，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對于②，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對于③，因為l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯誤.題型二直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用典例2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC求證：MN∥AD1．[證明]因為四邊形ADD1A1所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．[歸納提升](1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直.(2)在證明時留意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì).【對點練習(xí)】?如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.[證明]因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.題型三線與面垂直的判定與性質(zhì)的綜合典例3如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.[證明]因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.[歸納提升]線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，視察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時肯定要體現(xiàn)出來.【對點練習(xí)】?本例中“過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G”改為“過A作AF⊥SC于點F，過點F作EF⊥SC交SB于點E”，結(jié)論不變，如何證明？[證明]因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.又因為AF⊥SC于點F，EF⊥SC交SB于點E，所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.易錯警示考慮不周全而致誤典例4已知平面α外兩點A，B到平面α的距離分別為1和2，A，B兩點在平面α內(nèi)的射影之間的距離為eq\r(3)，求直線AB和平面α所成的角.[錯解]如圖所示.分別過A、B向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，設(shè)直線AB和平面α所成角為θ，則tanθ＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝30°.[錯因分析]解答本題時只考慮A，B在平面同一側(cè)的狀況，沒有考慮A，B在平面兩側(cè)的狀況而出現(xiàn)漏解.[正解]①當(dāng)點A，B在平面α的同側(cè)時，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.②當(dāng)點A，B位于平面α的兩側(cè)時，如圖，過點A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點C，A1B1為AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角.在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．由題意可知△BCB1∽△ACA1，∴eq\f(BB1,AA1)＝eq\f(B1C,A1C)＝2，∴B1C＝2A1C.∵B1C＋A1C＝eq\r(3)，∴B1C＝eq\f(2\r(3),3).∵tan∠BCB1＝eq\f(BB1,B1C)＝eq\f(2,\f(2\r(3),3))＝eq\r(3)，∴∠BCB1＝60°，∴AB與平面α所成的角為60°.綜合①②可知，直線AB與平面α所成的角為30°或60°.【對點練習(xí)】?在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC