2025屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷本卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.10一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，若，則（）A.B.C. D.2.已知，都為單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.33.在正方體中，下列說法錯誤的是（）A. B.與所成角為C.平面 D.與平面所成角4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè)．某農(nóng)戶種植一種觀賞花?，為了解花卉的長勢，隨機(jī)測量了枝花的高度（單位：），得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（）A.樣本花卉高度的極差不超過B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)C.樣本花高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)D.樣本花升高度小于的占比不超過5.設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件6.已知圓臺的母線長為，高為，體積為，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.已知、為直線上的兩個定點，，為上的動點．在平面直角坐標(biāo)系中，、，以為圓心，為半徑作圓；以為圓心，為半徑作圓，則兩圓公共點的軌跡方程為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)和兩點，，設(shè)曲線過原點的切線為，且，則所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.在上有4個零點，則D.當(dāng)時，函數(shù)值域為10.已知函數(shù)，則（）A. B.若，則的極大值點為C.若至少有兩個零點，則 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增11.拋物線C：的準(zhǔn)線為，過焦點F的直線與C交于A，B兩點，分別過A，B作的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，則（）A.為銳角三角形 B.的最小值為4C.，，成等差數(shù)列 D.，，成等比數(shù)列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．13.正項數(shù)列中，，且，則______．14.甲口袋中有標(biāo)號為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號為、、、的四張卡片，從兩個口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法共有______種（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角、、所對的邊分別是、、，且．（1）求角；（2）已知的角平分線交于點，若，，求．16.如圖，在多面體中，，，均垂直于平面，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．17.一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2場比賽，若至少有一場獲勝，則進(jìn)入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽．在兩個階段的每場比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場獲勝的概率都為，在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為，每場比賽是否獲勝相互獨立．已知甲參賽總分為2分的概率為．（1）求；（2）求甲參賽總分X分布列和數(shù)學(xué)期望．18.設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，下中為原點，為橢圓的離心率．（1）求的方程；（2）設(shè)點為上一動點，過作不與坐標(biāo)軸垂直的直線．①若與交于另一點，為中點，記斜率為，斜率為，證明：為定值；②若與相切，且與直線相交于點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由．19.行列式最早起源于對線性方程組的研究，起初是一種速記的表達(dá)式，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)成為一種非常有用的數(shù)學(xué)工具．已知表示二階行列式，規(guī)定；表示三分行列式，規(guī)定．設(shè)．（1）求；（2）以為切點，作直線交的圖象于異于的另一點，其中．若，當(dāng)時，設(shè)點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an．①求an②證明：．

2025屆昆明市五華區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出，再利用復(fù)數(shù)的減法以及復(fù)數(shù)的模長公式化簡可得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，所以，，化簡可得.故選：A.2.已知，都為單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得，平方結(jié)合數(shù)量積的運算律分析求解.【詳解】由題意可知：，因為在上的投影向量為，可得，又因為，所以.故選：B.3.在正方體中，下列說法錯誤的是（）A. B.與所成角為C.平面 D.與平面所成角為【答案】D【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，對于A選項，，，則，所以，，A對；對于B選項，，則，所以，與所成角的大小為，B對；對于C選項，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，則，所以，，又因為平面，所以，平面，C對；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，，所以，與平面所成角為，D錯.故選：D.4.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè)．某農(nóng)戶種植一種觀賞花?，為了解花卉的長勢，隨機(jī)測量了枝花的高度（單位：），得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（）A.樣本花卉高度的極差不超過B.樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)C.樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)D.樣本花升高度小于的占比不超過【答案】D【解析】【分析】利用極差的定義可判斷A選項；利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義可判斷B選項；利用平均數(shù)公式求出樣本花卉高度的平均數(shù)，可判斷C選項；計算出樣本花升高度小于的占比，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的極差為，A錯；對于B選項，樣本花卉高度的眾數(shù)為，設(shè)樣本花卉高度的中位數(shù)為，前三個矩形的面積和為，前四個矩形的面積和為，故，由中位數(shù)的定義可得，解得，則，所以，樣本花卉高度的中位數(shù)小于眾數(shù)，B錯；對于C選項，由頻率分布直方圖可知，樣本花卉高度的平均數(shù)為，且，所以，樣本花的高度的平均數(shù)小于中位數(shù)，C錯；對于D選項，由B選項可知，樣本花升高度小于的占比為，D對.故選：D.5.設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】要判斷“”與“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行分析，即看“”能否推出“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”，以及“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”能否推出“”.【詳解】假設(shè).對于等比數(shù)列，其通項公式為.當(dāng)，時，根據(jù)通項公式可得.此時，等比數(shù)列不是遞增數(shù)列.這說明僅僅不能保證等比數(shù)列一定是遞增數(shù)列，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分條件.假設(shè)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，那么.由通項公式可得，，所以.當(dāng)時，不等式兩邊同時除以（因為，，不等號方向改變），得到.例如當(dāng)時，，解得.這說明等比數(shù)列為遞增數(shù)列時，不一定有，所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要條件.則“”是“an為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D.6.已知圓臺的母線長為，高為，體積為，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下底面半徑的另一個等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.【詳解】如下圖所示，設(shè)圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，則，設(shè)為圓臺的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，根據(jù)題意，，，，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，則，由勾股定理可得，即，可得，①又因為圓臺的體積為，可得，②所以，，解得，所以，圓臺的側(cè)面積為.故選：C.7.已知、為直線上的兩個定點，，為上的動點．在平面直角坐標(biāo)系中，、，以為圓心，為半徑作圓；以為圓心，為半徑作圓，則兩圓公共點的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖形，分析可知，點不在線段（不包括端點）上，對點的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合雙曲線的定義可求得動點的軌跡方程.【詳解】如下圖所示：設(shè)圓、圓的半徑分別為、，則，，設(shè)兩圓的一個公共點為，由題意可知，點不能與點或點重合，若點在線段（不包括端點）上運動時，則，事實上，，此時點不存在；當(dāng)點在以點為端點以的方向為方向的射線上時，此時，；當(dāng)點在以點為端點且以的方向為方向的射線上時，此時，.綜上，，所以，動點的軌跡是以點、為焦點的雙曲線，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則，可得，因此，兩圓公共點的軌跡方程為.故選：A.8.已知函數(shù)和兩點，，設(shè)曲線過原點的切線為，且，則所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，根據(jù)直線平行可得，構(gòu)建，可知為的非零零點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理分析判斷.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線的斜率，則切線的方程為，若切線過原點，則，解得，可在切線的，若，且直線的斜率，則，即，整理可得，構(gòu)建，則，可知為的非零零點，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則分別在、內(nèi)至多一個零點且，又因為，所以所在的大致區(qū)間為.故選：C.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.在上有4個零點，則D.當(dāng)時，函數(shù)的值域為【答案】ABC【解析】【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)周期分析判斷；對于B：根據(jù)函數(shù)最值分析判斷；對于C：令，可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：整理可得，結(jié)合正切函數(shù)分析求解.【詳解】對于選項A：因為，由圖象可知：函數(shù)的最小正周期，且，則，解得，可得，故A正確；對于選項B：由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，則，整理可得，解得，則，所有為偶函數(shù)，故B正確；對于選項C：令，可得，因為，則，若在上有4個零點，則，解得，故C正確；對于選項D：因為，又因為，則，可得，所以函數(shù)的值域為，故D錯誤；故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A. B.若，則的極大值點為C.若至少有兩個零點，則 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)解析式運算求解即可；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性和極值；對于CD：分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和零點.【詳解】對于選項A：因為，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，且，令，解得或；令，解得；可知在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值點為，故B錯誤；對于選項C：若至少有兩個零點，當(dāng)時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，結(jié)合選項B可知：，即，解得；綜上所述：，故C正確；對于選項D：因為，當(dāng)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)，則，對于，可得，此時，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上所述：在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ACD.11.拋物線C：的準(zhǔn)線為，過焦點F的直線與C交于A，B兩點，分別過A，B作的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，則（）A.為銳角三角形 B.的最小值為4C.，，成等差數(shù)列 D.，，成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】由題意可知：焦點F1,0，準(zhǔn)線，直線的斜率不為0，且與拋物線必相交，設(shè)，Ax1,y可得，聯(lián)立方程x=my+1y2=4x，消去x則，對于選項A：因為，可得，可知，所以為直角三角形，故A錯誤；對于選項B：因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4，故B正確；對于選項CD：因為，則，即，顯然不恒相等，且不為0，所以，，成等比數(shù)列，不成等差數(shù)列，故C錯誤，D正確；故選：ABD.【點睛】方法點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法（1）涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；（2）面積問題常采用底高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長為底．有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式、弦化切以及兩角和的正切公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因為.故答案為：.13.在正項數(shù)列中，，且，則______．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比中項的性質(zhì)求出的值，再利用等比數(shù)列的通項公式可求得的表達(dá)式.【詳解】在正項數(shù)列中，，則，可得，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因為，且，則，因為.故答案：.14.甲口袋中有標(biāo)號為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號為、、、的四張卡片，從兩個口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法共有______種（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】計算出從甲、乙兩個口袋中，每個口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片的抽法種數(shù)，以及抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)，利用間接法可得結(jié)果.【詳解】從甲、乙兩個口袋中，每個口袋至少抽一張卡片，共抽取三張卡片，不同的抽法種數(shù)為，其中，抽取的三張卡片都是奇數(shù)的抽法種數(shù)為，因此，抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號為偶數(shù)的不同抽法種數(shù)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角、、所對的邊分別是、、，且．（1）求角；（2）已知的角平分線交于點，若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求出的值，再利用結(jié)合三角形的面積公式可求得的長.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，所以，，因為、，則，可得，則，故.【小問2詳解】解：因為，因為，即，整理可得.16.如圖，在多面體中，，，均垂直于平面，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，找到點的坐標(biāo)，得出直線方向向量和平面內(nèi)任意向量，得到向量垂直，從而得到線線垂直，即可證明線面垂直；（2）由空間直角坐標(biāo)系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的絕對值，由三角恒等變換得到角的正弦值.【小問1詳解】過點在平面內(nèi)作一條直線與垂直，則以為原點，為軸，的垂直為軸，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，∵∴∴，，，∴，，∵，∴，又∵，平面，平面∴平面【小問2詳解】由（1）可知：，，，，設(shè)平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，∴，即，則可取，即，設(shè)二面角為，則，∴17.一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2場比賽，若至少有一場獲勝，則進(jìn)入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束；進(jìn)入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽．在兩個階段的每場比賽中，獲勝方記1分，負(fù)方記0分，參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場獲勝的概率都為，在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為，每場比賽是否獲勝相互獨立．已知甲參賽總分為2分的概率為．（1）求；（2）求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）利用獨立事件概率的乘法公式來求解，要根據(jù)甲參賽總分為分的情況進(jìn)行分析，求的值，（2）需要考慮所有可能取值，再分別計算每個取值的概率，最后根據(jù)分布列求數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】甲參賽總分為分有兩種情況：第一種情況是在第一階段兩場比賽一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場比賽一勝兩負(fù)（概率）.第二種情況是在第一階段兩場比賽全勝（概率為），然后在第二階段三場比賽全負(fù)（概率為）.根據(jù)甲參賽總分為分的概率為，可列出方程：先計算組合數(shù)，.方程變?yōu)?化簡得.即.因式分解得.解得或，因為，所以.【小問2詳解】甲參賽總分的可能取值為，，，，，.包括：在第一階段兩場全輸，概率為.包括：在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場全輸（概率為），所以.：前面已求出為.包括：在第一階段兩場全勝（概率為），然后在第二階段一勝兩負(fù)（概率為），此時.也包括在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段兩勝一負(fù)（概率為）.此時.則包括：在第一階段兩場全勝（概率為），在第二階段兩勝一負(fù)（概率為），此時.也包括在第一階段一勝一負(fù)（概率為），然后在第二階段三場全勝（概率為），此時.則.包括：在第一階段兩場全勝（概率為），然后在第二階段三場全勝（概率為），所以.所以的分布列為：12345根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，18.設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，下中為原點，為橢圓的離心率．（1）求的方程；（2）設(shè)點為上一動點，過作不與坐標(biāo)軸垂直的直線．①若與交于另一點，為中點，記斜率為，斜率為，證明：為定值；②若與相切，且與直線相交于點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由．【答案】（1）（2）①證明見解析；②是，且定點坐標(biāo)為1,0【解析】【分析】（1）根據(jù)可得出，可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出橢圓的方程；（2）①設(shè)點、，則點，利用點差法可證得結(jié)論成立；②設(shè)，證明出