湖南省岳陽市某中學(xué)2025屆高三年級上冊第二次檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖南省岳陽市第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第二次檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%eZ|-3<%<3],5={%|y=/xTl},則AClF=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)C.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.復(fù)數(shù)篇的共輾復(fù)數(shù)是()

A.B.|iC.-iD.i

3.若一sina+V3cosa=2,貝|tan(7T—a)=()

A.-V-3B.V-3C.D.-

4.已知等比數(shù)列{an}滿足.。5=4(。4一1)，則的值為

A.2B.4C.|D.6

5.已知函數(shù)f(%)=/?%2_b有三個(gè)零點(diǎn)，貝腦的取值范圍是()

A.(0,劫B.(0,攝)C,口.[0,1

C

6.在△ABC中，角C的對邊分別為a,b,c,已知2acos25=b(l-cosA)+a,則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.函數(shù)/(%)=2sinnx-73x-4所有零點(diǎn)的和等于()

A.6B.7.5C.9D.12

8.設(shè)a=^,b=21n^sin^+cos2),c=1ln|,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知％>0,y>0,且久+2y=2,則（）

A.的最小值是1B,x2+y2的最小值是衣

C.2*+獷的最小值是4D二+2的最小值是5

xy

10.設(shè)函數(shù)/(%)=%3—x2+ax—1,貝！J()

A.當(dāng)a=-1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a>，時(shí)，/(*)無極值點(diǎn)

C.maeR,使/(%)在R上是減函數(shù)

D.VaGR,/(久)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變

11.對勾函數(shù)/(久)=ax+^a>0,b>0)的圖象可以由焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，因此對

勾函數(shù)即為雙曲線.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列關(guān)于函數(shù)/(%)=x+§的說法正確的是()

A.漸近線方程為x=0和y=x

B.y=/0)的對稱軸方程為y=(彘+l)x和y=(1—V2)x

C.M,N是函數(shù)外久)圖象上兩動(dòng)點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，則直線MN,0P的斜率之積為定值

D.Q是函數(shù)f(x)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作切線交漸近線于4B兩點(diǎn)，貝帆04B的面積為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量記=(1,2)花=(2—尢若2與B的夾角為銳角，貝U的取值范圍是.

13.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,=1,an+1=2Sn(nGN*),則即=.

14.設(shè)等差數(shù)列｛&J的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)的=3,且對任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)相，使得的+a2+…

+an^am,則關(guān)于此數(shù)列公差d的論述中，正確的序號有.

①公差d可以為1；

②公差d可以不為1；

③符合題意的公差d有有限個(gè)；

④符合題意的公差d有無限多個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在銳角ZL48c中，角的對邊分別為a,6,c,且辿+?=空誓

ab3a

(1)求角B的大??；

(2)若6=2，可，求a+c的取值范圍.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—HBCD中，四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=2.AP4D為等邊三角形，平面PAD，

平面4BCD,E為AD的中點(diǎn).

入

(I)求證：PELAB；

4B

(II)求平面P2C與平面2BCD夾角的余弦值.

17.(本小題12分)

已知橢圓C:^+，=l(a>6>0)的離心率為今左、右頂點(diǎn)分別為力、B,左、右焦點(diǎn)分別為&、F2.過右

焦點(diǎn)尸2的直線I交橢圓于點(diǎn)M、N,且A6MN的周長為16.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線AM、BN的斜率分別為以、電，證明：金為定值.

18.(本小題12分)

設(shè)f(x)=ex.

(1)求證：直線y=x+1與曲線y=f(x)相切；

(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=/(x)上，點(diǎn)Q在直線y=x—1上，求|PQ|的最小值；

(3)若正實(shí)數(shù)a,b滿足：對于任意xeR,都有/'(久)Na久+6,求ab的最大值.

19.(本小題12分)

數(shù)列的前幾項(xiàng)a1,a2,…,即(71eN*)組成集合4n={a1,a2,—,an),從集合4t中任取=1,2,3,…,n)個(gè)

數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為廉(若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身)，例如：對于數(shù)列{2n-

1},當(dāng)?1=1時(shí)，&={1},=1;n=2時(shí)，A2={1,3},=1+3,T2=1-3；

⑴若集合4={1，3,5廠,2幾—1},求當(dāng)n=3時(shí)，A，T2b3的值；

n

(2)若集合4n=[1,3,7,-,2-1},證明：n=k時(shí)集合人的7與n=k+1時(shí)集合4場]的哈(為了以示區(qū)

別，用7―表示)有關(guān)系式7/=(2-1—1)7_1+7，其中

(3)對于(2)中集合力幾.定義%=A+R+…+M，求土(用n表示).

參考答案

1.71

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.C

8.F

9.BC

10.BD

11.ABD

12.(—24嗚+8)

13f15=1

(2-3n-2,n>2

14.①②③

15.(1)銳角ZL4BC中，等+等=空|咨，

,..n2V-3j.「

???bcosA+acosB=—nsinC,

由正弦定理得sinBcos/+cosBsinA=^^sinBsinC,

???sin(4+B)=^y^sinBsinC,

又sin(/+B)=sinCW0,

./3

???sinBn=—,

又0<B<3

n

「?8=可

(2)由正弦定理急=肅=9=4,

則有CL=4sin/,c=4sinC,

則a+c=4sinA+4sinC

=4sin4+4sin-A

=6sinX+2A/3cosZ

=4V~3sin(Z+*

因?yàn)?48c為銳角三角形

0<A<^

所以《0<^-A<^可得FAW

%<4+太警

由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得寫<sin（/l+g<l,

即6<a+cW4<3

16.解：（/）因?yàn)锳PaD為正三角形，E為4。中點(diǎn)，

所以PE14D.

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABC。，平面PADCl平面48CD=AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABCD.

因?yàn)榱u平面4BCD,

所以PE1AB.

（H）由（I）知,PEI平面4BCD.

取BC中點(diǎn)F,連結(jié)EF.

因?yàn)榈酌?BCD為矩形，E為4D中點(diǎn)，

所以EF14D.

所以E4,EF,EP兩兩垂直.

分別以E4EF,EP為式軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

則E(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,O,C(-1,3,0)

所以同=(1,0,—V^),AC=(-2,3,0).

設(shè)平面P4C的法向量元=(x,y,z),

由長”=0,得巴優(yōu)=0

[n-AC=0,(-2%+3y=0.

令z=V-3>得第=3,y=2.

所以元=(3,2,O.

平面ABC。的法向量加=(0,0,時(shí)).

設(shè)平面PAC與平面/BCD夾角大小為仇

元麗_(3,2,⑸(0,0,71)_/3

則cos。=|cos{n,EP)|=

同.網(wǎng)_4x<3_4

所以平面P4C與平面4BCD夾角的余弦值為今

17.(1)

由AFiMN的周長為16,及橢圓的定義，可知：4a=16,即a=4,

又離心率為c=￡=撕以c=2

aL

b2=a2—c2=16—4=12.

所以橢圓C的方程為：S+*=L

161Z

(2)

依題意，直線1與無軸不重合,

設(shè)/的方程為：%=my+2.

聯(lián)立1612—得：(3m2+4)y2+12my-36=0,

x=my+2

因?yàn)槭?在橢圓內(nèi)，所以/>0,

即(12zn)2+4(3m2+4)x36>0,易知該不等式恒成立,

設(shè)M(%i，yi),N(%2，y2)，

由韋達(dá)定理得力+%=瑞，=湍?

又力(一4,0),8(4,0),則

當(dāng)

ki_勺+4_丫1(%2-4)_丫1(/丫2_2)_犯々丫2-2丫1

五一五一丫2(%1+4)-y(my+6)-myy+6y

%2-421122

2

注意到今詈=匚=￡，即：rnyry2=3。1+y2)

y〔y?--JOs

fcj_小"1〉2-2匕_3仇+下2)-2力_力+3y2=1

卜2—my1y2+6y2—3(y1+y2)+6y2—3y1+9y2—3,

18.(1)

設(shè)直線y=x+1與fO)=e*相切于點(diǎn)(久°,e*。)，

易知(0)=靖，則斜率k=，Oo)=e&=l,解得%o=O,即切點(diǎn)為(0,1)；

此時(shí)切線方程為y-1=%,即丫=久+1,

所以可得直線y=比+1是曲線y=/(尤)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程；

(2)

根據(jù)題意，將直線y=x-1往靠近曲線y=/(x)的方向平移，

當(dāng)平移到直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)P與直線間的距離最近，

設(shè)切線方程為y=x+c,

由(1)可知，當(dāng)切線斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，此時(shí)切線方程為y=x+l，

此時(shí)P(0,l),從P點(diǎn)向直線y=x-1作垂線，垂足為Q,此時(shí)|PQ|取最小值，

即-Qi

所以|PQ|的最小值為YZ

(3)

若對于任意％eR,都有f(%)>ax+b,即可得e%-ax-b>。恒成立，

令g(x)=ex—ax—b,則g'(%)=ex—a,

當(dāng)a<0時(shí)，“(%)=ex—a>0恒成立，即g(%)在汽eR上單調(diào)遞增，

顯然當(dāng)久趨近于-8時(shí)，不等式并不恒成立，不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令g'(%)=ex—a=0,解得％=Ina,

所以當(dāng)?shù)贓(-8,Ina)時(shí)，g，(x)<0,此時(shí)g(%)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，

當(dāng)％G(Ina,+8)時(shí),“(%)>0,此時(shí)g(%)在。na,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(%)在％=Ina處取得最小值，

即滿足g(%)min=g(lna)=elna-alna—b=a—alna—b>0即可，

即b<a—alna,

由a>。可得ab<a2(l—Ina),

設(shè)h(x)=%2(1—Inx),則〃(%)=2x(1—Inx)+/x(—})=x(l-21nx),

令H(x)=0可得久=

即％G(o,，?)時(shí)，"(%)>o,所以八(%)在(o,V"W)上單調(diào)遞增，

當(dāng)i+8)時(shí)，h!{x)<0,所以以%)在(y@+8)上單調(diào)遞減，

所以h(%)max=^(V-e)=e(l-ln-/e)=|，

即ab<f

所以ab的最大值為?

19.⑴

n—3時(shí)，A3={1,3,5},

=1+3+5=9,72=1X3+1X5+3X5=23,T3=1x3x5=15.

(2)

71=k+1時(shí)，集合4上+1的T/中各乘積由兩部分構(gòu)成，

一部分是乘積中含因數(shù)2日1-1,乘積的其他因數(shù)來自集合故諸乘積和為(2女+1-1)7_1；

另一部分不含2日1-1,乘積的所有因數(shù)來自集合①，