人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)之任意角的三角函數(shù)

〔CHAPTER

第一章三角函數(shù)

§1.2任意角的三角函數(shù)

1.2.1任意角的三角函數(shù)(一)

【學(xué)習(xí)目標】1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，了解三角函數(shù)是以實數(shù)為

自變量的函數(shù)2借助任意角三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)

的符號.3.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

H問題導(dǎo)學(xué)--------------------------

知識點一任意角的三角函數(shù)

使銳角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P,作PM±x

軸于設(shè)P(x,y),\OP\=r.

PQ,以

xMx

思考1角a的正弦、余弦、正切分別等于什么？

圣安si?na—1丁,cosa-一壬丁,/tana—1.

思考2對確定的銳角a,sin?,cosa,tana的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？

答案不會.因為三角函數(shù)值是比值，其大小與點P(x,y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角a的

終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).

思考3在思考1中，當(dāng)取|。尸|=1時，sina,cosa,tana的值怎樣表示？

答案sina—y,cosa—x,tana=".

梳理(1)單位圓

在直角坐標系中，我們稱以原點。為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.

(2)定義

在平面直角坐標系中，設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(x,

y),那么：

①y叫做a的正弦,記作sina,

即sina=y;

②x叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=x;

③^叫做a的正切,記作tana,即tan(xWO).

對于確定的角氏上述三個值都是唯一確定的.故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單

位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).

知識點二正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域

思考對于任意角a,sina,cosa,tan。都有意義嗎？

答案由三角函數(shù)的定義可知，對于任意角a,sina,cosa都有意義，而當(dāng)角。的終邊在y

軸上時，任取一點P,其橫坐標x都為0,此時，無意義，故tana無意義.

梳理三角函數(shù)的定義域

函數(shù)名定義域

正弦函數(shù)R

余弦函數(shù)R

正切函數(shù)且xWE+今，止Z,

知識點三正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號

思考根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號嗎？

答案由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標系中，設(shè)［是一個任意角，它的終邊與單位圓

交于點尸(x,y),則sina=y,costan1=*當(dāng)a為第一象限角時，y>0,x>0,故sina>0,

cosa>0,tana>0,同理可得當(dāng)a在其他象限時三角函數(shù)值的符號，如圖所示.

yyy

++-++

0XOXOX

———++—

sinacosatana

梳理記憶口訣：”一全正,二正弦,三正切,四余弦”.

知識點四誘導(dǎo)公式一

思考當(dāng)角a分別為30。，390°,—330。時，它們的終邊有什么特點？它們的三角函數(shù)值呢？

答案它們的終邊重合.由三角函數(shù)的定義知，它們的三角函數(shù)值相等.

梳理誘導(dǎo)公式一

sin(a+A?2?i)=sina,

cos(a+Z,27i)=cosa,

tan(a+七2兀)=tana,

其中kGZ.

2題型探究

類型一三角函數(shù)定義的應(yīng)用

命題角度1已知角a終邊上一點坐標求三角函數(shù)值

例1已知3終邊上一點P(x,3)(x=0),且cos。=4^尤，求sin9,tan9.

解由題意知「=|OP|=卞+9,

由三角函數(shù)定義得cos0=^=^==^.

f..aVio.VTo

又?cose-10x,10工

VXT^O,.\x=±l.

當(dāng)x=l時，P(l,3),

此時sin8=4?+》=；o,tan0=^=3.

當(dāng)x=~l時，P(-l,3),

此時sin0=y(_：)2+32=嚼,tan0=5=-3.

反思與感悟(1)已知角a終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值的方法：

①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)地三

角函數(shù)值.

②在a的終邊上任選一點尸(x,y),設(shè)尸到原點的距離為r(廠＞0),則sina=1,cosa=,.當(dāng)已

知a的終邊上一點求Q的三角函數(shù)值時，用該方法更方便.

(2)當(dāng)角a的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1已知角a的終邊過點尸(一3入4〃)3#0),求2sina+cosa的值.

解r=y/(一3〃)2+(4Q)2=5間.

①若。＞0,則r=5"，角a在第二象限，

.y4a4x~3a3

sina=：=^=5,cos.=;===-5,

.._83一

..20sin1十cos0=5-5=1.

②若〃<0,則廠=一5"，角a在第四象限,

.4〃4~3a3

sinQ=~~cos0(-7-=￡,

—jaJ-jaJ

83

2sina+cosa——g+5=-1-

綜上所述，2sina+cosa=±l.

命題角度2已知角。終邊所在直線求三角函數(shù)值

3

例2已知角a的終邊在直線>=一3%上，求lOsin〃的值?

v/Oo(X

解由題意知，cosaWO.

設(shè)角a的終邊上任一點為尸(女,—3?~W0),則

x=k9y=~3k,r=15+(—3^)2=A/T5|M.

(1)當(dāng)上＞0時，r=?k,。是第四象限角，

y―3k3^151rr—

sma一廠—10，cosa-%-k^^10,

3

AlOsina+------=10X

cosa

=-3710+3710=0.

(2)當(dāng)NO時，r=-?k,a是第二象限角,

.y~3k3^10

sma一廠/標―10，

1r—y[iQk

cosaxk

???坎ma+熹=10X嚕+3X(一遮)

=3?一3?=0.

,3

綜上所述，lOsin[+二二=0.

(A

反思與感悟在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時，應(yīng)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分

兩種情況處理，取射線上異于原點的任意一點的坐標的(a,b),則對應(yīng)角的三角函數(shù)值分別

如■ba.b

為sma=^p^,cosa=^^,tana=z

跟蹤訓(xùn)練2已知角a的終邊在直線上，求sina,cosa,tana的值.

解因為角a的終邊在直線y=y[3x上，

所以可設(shè)P(。，小。)(〃W0)為角a終邊上任意一點，

則r=yla2+(y/3a)2=2\a\(a^0).

若〃>0,則a為第一象限角,r=2a,

叱2.小a小

所以sina—2a—2，

a1

cos。=五=5'

.小aG

tana—〃—y/3.

若a<0,則a為第三象限角，r=-2a,

MI、/■事aA/3

所以sina=-\[=一二

—2a2

a1

cos

tana=^^=小.

類型二三角函數(shù)值符號的判斷

例3(1)若a是第二象限角，則點P(sina,8$0!)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析,；a為第二象限角，.,.sina>0,cosa<0,

點尸在第四象限，故選D.

(2)確定下列各三角函數(shù)值的符號.

7兀

①sin182°；②cos(—43°)；③tan".

解①：182。是第三象限角，

...sin182。是負的,符號是“一”.

②：一43。是第四象限角，

??.cos(—43。)是正的，符號是“+”.

③?.?7于7r是第四象限角，

??.tan中77r是負的，符號是“一”.

反思與感悟角的三角函數(shù)值的符號由角的終邊所在位置確定，解題的關(guān)鍵是準確確定角的

終邊所在的象限，同時牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號，記憶口訣：一全正，二正弦，三

正切，四余弦.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知點P(tana,cosa)在第三象限，則a是第象限角.

答案二

解析由題意知tana<0,cosa<0,

，a是第二象限角.

(2)判斷下列各式的符號.

①sin145°cos(—210°)；②sin3-cos4-tan5.

解①?門45。是第二象限角，.入吊145。>().

V-210°=-360°+150°,???一210。是第二象限角，

.,.cos(-210°)<0,Asin145°cos(-210°)<0.

②,.￡〈3<兀V4〈咨V5V2兀，

.,.sin3>0,cos4<0,tan5<0,

/.sin3-cos4-tan5>0.

類型三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用

例4求下列各式的值.

(l)sin(-l395°)cos1110°+cos(-l020°)sin750°；

(11哈11271

(2)sinl--g-l+cos--tan4兀.

解(1)原式=sin(-4X360°+45°)cos(3X360。+30。)+cos(—3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30。=亭X雪■+}><}二乎+；=1

(2)原式=sin]—2兀+習(xí)+cos(2兀+卷).tan(4兀+0)=sin^+cos^X0=；.

反思與感悟利用誘導(dǎo)公式一可把負角的三角函數(shù)化為0到2兀間的三角函數(shù)，也可把大于2兀

的角的三角函數(shù)化為0到2兀間的三角函數(shù)，即實現(xiàn)了“負化正，大化小”.

跟蹤訓(xùn)練4求下列各式的值.

25兀(15*

(1)cos-2-+tanl-1；

(2)sin810°+tan7650-cos360°.

解(1)原式=cos(8兀+號+tan(—4兀+J

71,711一3

=cos1十tanw=]+1=2-

(2))^^=sin(90°+2X360°)+tan(45°+2X360°)-cos360°=sin900+tan45°-l=l+l-l=

1.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.已知角a的終邊經(jīng)過點（一4,3）,貝!Jcosa等于（）

A-5B-5

C--5D-5

答案D

解析由題意可知％=—4,y=3,r=5,

Y4

所以cosa=；=-].故選D.

1171.

2.cos（'）等于（）

6

A-2B--2

D.邛

c坐

答案C

cos（一^5=cos（—2兀+壽=cos看=坐.

解析

3一

3.若點尸（3,y）是角a終邊上的一點,且滿足y<0,cos貝!Jtana等于（）

3

B

4

C.gD.-|

答案D

33

解析，/cosa=VW=?

.?.、32+y2=5,.,.產(chǎn)=16,

???4

?y<0,??y=-4,??tana

4?當(dāng)。為第二象限角時，%1—黑飄值是（）

A.lB.0

C.2D.-2

答案C

解析:a為第二象限角，sina>0,cosa<0.

.|sina|cosasinacosa

??sina|cosa\sina—cosa'

5.已知角a的終邊上有一點尸（24左，7左），左W0,求sina,cosa,tana的值.

解當(dāng)fc>0時，令x=24鼠y=lk,

則有r=7（24k）2+（7k￥=25k,

..17x2427

??sina==77,cosa=~=^9tana==77.

當(dāng)NO時，令x=24鼠y=7k,貝|有r=—25%,

,._J__x__24_y___7_

（，—。小

??sinX—r—2c5urcosa25——coxta2n4ot—

L規(guī)律與方法-------------------------------1

1.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或比值為函數(shù)值的函數(shù).

2.角a的三角函數(shù)值的符號只與角a所在象限有關(guān)，角a所在象限確定，則三角函數(shù)值的符

號一定確定，規(guī)律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

3.終邊相同的三角函數(shù)值一定相等，但兩個角的某一個函數(shù)值相等，不一定有角的終邊相同，

更不一定有兩角相等.

課時作業(yè)

一、選擇題

l.sin（—1380。）的值為（）

B-2

C「坐D坐

答案D

解析sin（一1380。）=sin（-360°X4+60°）

=sin60。=坐.

2.已知。是第二象限角，尸（x,小）為其終邊上一點，且cosa=￥x,則x的值為（）

A.A/3B.+V3

C.-yf2D.一小

答案D

r"+54?

；.x=0或20?+5）=16,；.x=0或/=3,

/.x=0（'.'a是第二象限角，，舍去）或尸?。ㄉ崛ィ┗騲=一小.故選D.

3.已知sin6<Q,且tan6<Q,貝！!6為（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

4.已知角a的終邊上一點的坐標為(sin管，cos專)，則角a的最小正值為()

,5兀-2兀

A-TBT

「生

c-3u-6

答案D

鏟，用...2兀近2兀1

用牛析?sin弓一=亍，cos-y=—

???角a的終邊在第四象限，

2兀

日1_C0S~__V3

_FLtana2兀3‘

sin中

...角a的最小正值為2兀一片片匹

0O

3

5.已知角a的終邊經(jīng)過點P(3,4力,且sin(2E+a)=—5(左GZ),貝卜等于()

9c9

A?一記B16

-3八3

C.4D.一a

答案A

解析sin(2fai+ot)=sina=—^<0,則a的終邊在第三或第四象限.又點P的橫坐標為正數(shù)，

4/4/39

所以a是第四象限角，所以/V0.又sina=，^則赤有葭=一亍所以—一狀

元

6.某點從(1,0)出發(fā)，沿單位圓/+廿=1按逆時針方向運2動等弧長到達。點，則。點的坐標

答案A

解析由三角函數(shù)定義可得Q}OS與，sin等,

2兀1.2兀VI

cos3—sin3=?,

7.如果點尸(sin0+cosasinOcos0)位于第二象限，那么角6的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析由題意知sin8+cos8V0,且sin8cose>0,

sin0<0,

???夕為第三象限角.

cos9<0,

8.若角a的終邊在直線y=~2x上，則sina等于（)

B土坐

c善

答案C

二、填空題

9.tan4050-sin450°+cos750°=.

答案坐

角翠析tan4050-sin450°+cos750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan

A巧

45°-sin900+cos30。=1-1+生=號.

10.使得lg(cosatan。)有意義的角a是第象限角.

答案一或二

解析要使原式有意義，需cosatana>0,

即需cosa,tana同號，

所以[是第一或第二象限角.

11.若角a的終邊與直線y=3x重合且sina<0,又72）是a終邊上一點，且I。尸|=E，

貝Um-n=.

答案2

角星析\*y=3x且sina<0,

???點尸(機，〃)位于y=3x在第三象限的圖象上,

且m<0,?<0,n=3m.

\OP\=ylm2+n2=y[ld\m\

——ylTdm=\[Td,

.,.m——1,n=-3,

:?m—n=2.

|sinx|_^|cosx\2|sinxcos

12.函數(shù)y=的值域是

sinx'cosxsinxcosx

答案{—4,0,2}

解析由sinxWO,cosxWO知，冗的終邊不能落在坐標軸上,

當(dāng)尤為第一象限角時，sinx>0,cosx>0,

sin^cosx>0,y=0;

當(dāng)x為第二象限角時，sinx>0,cosx<0,

sinxcosx<0,y=2；

當(dāng)了為第三象限角時，sinx<0,cosx