遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期11月期中調(diào)研試題（1）高二數(shù)學(xué)命題人：遼寧省鴻飛教學(xué)研究中心朱勃宇審題人：遼寧省鴻飛教學(xué)研究中心張景灝命題范圍：立體幾何、解析幾何雙曲線及之前試卷難度：提升注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，且滿足，，，，則“與異面”是“直線與l相交”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線、面關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】當(dāng)“與異面”，若直線與l不相交，由于，則，又，則，這與和異面相矛盾，故直線與l相交，故“與異面”是“直線與l相交”的充分條件；當(dāng)“直線與l相交”，若與不異面，則與平行或相交，若與平行，又，則，這與直線和l相交相矛盾；若與相交，設(shè)，則且，得，即A為直線的公共點(diǎn)，這與相矛盾；綜上所述：與異面，即“與異面”是“直線與l相交”的必要條件；所以“與異面”是“直線與l相交”的充分必要條件.故選：C.2.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，列式求解.【詳解】若方程表示雙曲線，則，得.故選：B3.兩平行直線與之間的距離為（

）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．4.設(shè)AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據(jù)關(guān)于縱軸成對(duì)稱分布，得到結(jié)果．【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，由橢圓的定義知，2，，，．由題意知，，，關(guān)于軸成對(duì)稱分布，．又，故所求的值為．故選：D．5.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，不妨令，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.【詳解】設(shè)，不妨令，則，整理得，又，所以，則，解得，所以存在定點(diǎn)，使得，要使最小，即最小，則，B，D三點(diǎn)共線，且DA垂直于直線時(shí)取得最小值，如圖所示，所以的最小值為．故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，令，將所求轉(zhuǎn)化為求的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.6.在四棱錐中，平面，二面角的大小為，若點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)易得是四邊形外接圓的直徑，中點(diǎn)為外接球球心，令且，求得外接球半徑關(guān)于的表達(dá)式，求其最小值，即可求表面積最小值．【詳解】由題設(shè)，，，，在一個(gè)圓上，故，又，所以，即，故是四邊形外接圓的直徑，由平面，，，平面，則，，，由，，平面，則平面，平面，則，由，，平面，則平面，平面，則，故，，都是以為斜邊的直角三角形，故中點(diǎn)為外接球球心，且為二面角的平面角，故，因?yàn)椋?，令且，則，，故，所以外接球半徑，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)球的表面積的最小值為．故選：C7.已知曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3【答案】D【解析】【分析】將代入方程，可判斷A；結(jié)合方程，求解整點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷B；聯(lián)立方程組，結(jié)合其解唯一求出k的范圍，判斷C；結(jié)合方程以及距離公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，結(jié)合曲線：，將代入，方程不變，即曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故曲線經(jīng)過整點(diǎn)只能是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線與曲線：必有公共點(diǎn)，因此若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則只有一個(gè)解，即只有一個(gè)解為，即時(shí)，無解，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，可得，時(shí)取等號(hào)，則曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，即都不超過3，D正確，故選：D8.已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)可直接求圓周長，當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法命題正確的是（

）A.已知，，則在上的投影向量為B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知三棱錐，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，則D.若向量，（都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算判斷A，應(yīng)用向量共線判斷B，判斷四點(diǎn)共面判斷C，根據(jù)基底運(yùn)算判斷D．【詳解】對(duì)于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镻為平面ABC上的一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，則由空間向量共面定理以及可得，，所以，C正確；對(duì)于D：在單位正交基底下的坐標(biāo)為，即，所以在基底下滿足：，故，，，可得，，，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確．故選：CD．10.已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點(diǎn)、點(diǎn)，且，下列判斷正確的是（）A. B.的離心率等于C.雙曲線漸近線方程為 D.的內(nèi)切圓半徑是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得出軸，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造齊次方程可求解離心率，故可判斷B項(xiàng)；結(jié)合，得到，即可求得漸近線方程，可判斷C項(xiàng)；利用三角形等面積法得到內(nèi)切圓半徑r的表達(dá)式與c有關(guān)，可判斷D項(xiàng)正確.【詳解】如圖所示，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以中，，所以軸，A選項(xiàng)中，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，故A正確；B選項(xiàng)中，直角中，，，，所以，得：，故B不正確；C選項(xiàng)中，由，即，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C正確；D選項(xiàng)中，的周長為，設(shè)內(nèi)切圓為r，根據(jù)三角形的等面積法，有，得：，故D正確故選：ACD.11.在直三棱柱中，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q是線段上靠近M的三等分點(diǎn)，R是線段的中點(diǎn)，若面，則（）．A. B.P為的中點(diǎn)C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】由線面平行的判定定理得線線平行，從而判斷A，并利用平面幾何知識(shí)證明判斷B，證明三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由體積公式計(jì)算體積后判斷C，確定三棱錐的外接球球心在上（如圖），求出球半徑后得球表面積判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB，連接并延長交于S，連接，由平面幾何知識(shí)可得：S是的中點(diǎn)，且N，R，S三點(diǎn)共線，是重心，因?yàn)槊妫矫妫矫嫫矫?，所以，作交于，由直棱柱性質(zhì)有，因此是平行四邊形，，又由平面幾何知識(shí)知是中點(diǎn)，因此是中點(diǎn)，從而，即P為上靠近N的三等分點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，因此是平行四邊形，所以與互相平分，從而與點(diǎn)到平面的距離相等，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵的外心是S，由得平面，∴三棱錐的外接球球心一定在直線上，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，，則，，∴，解得：，，球表面積，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則_________．【答案】【解析】【分析】先求兩個(gè)圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長的表達(dá)式，結(jié)合不等式性質(zhì)求最值，進(jìn)而可得答案.【詳解】與相減，可得兩圓的公共弦所在線的方程為：，由圓：可得，圓的半徑為4，圓心到AB直線的距離為，，因?yàn)?，所以，時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)锳B的最小值為，所以，解得.故答案為：.13.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，在中結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長度，由余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，故或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，連接PA，易知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，菱形中，，即是正三角形，為AB中點(diǎn)，則，所以，又，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為．故答案為：.14.傾斜角為銳角的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則直線的斜率為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，依題意，利用點(diǎn)差法推出，結(jié)合圖形得到，即得，與前式聯(lián)立消去，計(jì)算即得.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，兩漸近線可寫成，設(shè)，則，且①-②可得，整理得，，即(*)，如圖，在中，，則,故，即，將此式代入（*）得，解得依題意，，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）連接，交于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作于，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推證平面，再借助直角三角形求出即可.【小問1詳解】由，得，則，即，由平面，平面，則，而，平面，于是平面，連接，又平面，則，由點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，得，所以.小問2詳解】連接，交于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作，F(xiàn)為垂足，由，側(cè)棱垂直于底面，得且，又，，平面CBE，則平面CBE，又平面CBE，則，又，，平面，因此平面，即CF為點(diǎn)C到平面的距離，由平面，平面，得，，所以點(diǎn)C到平面的距離．16.已知圓.（1）直線截圓的弦長為，求的值.（2）記圓與、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問：動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓是否有兩個(gè)公共點(diǎn)？若有，求出公共弦長；若沒有，說明理由.【答案】（1）（2）有，公共弦長為【解析】【分析】（1）計(jì)算圓心到直線距離為，再根據(jù)弦長公式計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)得到，計(jì)算圓心距得到兩圓相交，確定公共弦方程，計(jì)算弦長得到答案.【小問1詳解】圓心到直線距離為，故，解得；【小問2詳解】，設(shè)，由得，化簡得：，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓心距，，兩圓相交，所以兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為，圓心到公共弦的距離為，則公共弦長為.17.如圖，四棱錐中，，，，，平面平面，且平面，平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）設(shè)Q為上一點(diǎn)，若，求二面角的大小.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）先由余弦定理依次求出，接著求出底面梯形的高進(jìn)而求出其面積，再由已知條件結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理求出平面即可由錐體體積公式求出四棱錐的體積.（2）由結(jié)合（1）可以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，，，設(shè)，進(jìn)而求出和，接著由求出，從而解出和，進(jìn)而可求出平面的法向量，由平面得平面的法向量為，再由計(jì)算結(jié)合圖形即可得圖二面角的大小.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，同理得，所以，因?yàn)?，，，所以，所以且，所以且，底面梯形的高為，所以底面梯形的面積，在中，，，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，所以四棱錐的體積.【小問2詳解】因?yàn)?，，，所以即，所以，，兩兩垂直，可以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，C?1,3,0，所以，，，設(shè)，所以，，因?yàn)椋?，解得，因此，，設(shè)m=x,y,z為平面的法向量，則，則，取，則，，即，因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)二面角為，則，所以由圖二面角的大小為.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸，過點(diǎn)且與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且三角形的面積為，求直線的方程；（3）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），若為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求線段的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意列方程求出，，即可求得橢圓方程；（2）利用聯(lián)立方程的方法求出點(diǎn)為，繼而證明，關(guān)于對(duì)稱，即可求得答案；（3）設(shè)，，可推出，即而推出，設(shè)直線的方程為，即可推出軸，即可結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)得出答案.【小問1詳解】由題意知點(diǎn)在上，且軸，設(shè)橢圓焦距為，則，將代入中，得，則，結(jié)合，從而，，橢圓C方程為；【小問2詳解】由題意知過點(diǎn)且與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率不為，故設(shè)，與橢圓聯(lián)立，得，由橢圓與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，令，即①，又過，則②，聯(lián)立①②可得，則，即得點(diǎn)為．設(shè)原點(diǎn)O0,0，由，，故，從而到的距離為到距離的倍，即在關(guān)于對(duì)稱的直線上，又在橢圓上，從而，關(guān)于對(duì)稱，故直線方程為【小問3詳解】設(shè)，，，則，則①，又由，可得②，結(jié)合①②可得，，又，F(xiàn)1,0，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸，從而，當(dāng)位于橢圓左頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào),故線段的最大值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和橢圓位置關(guān)系的綜合問題，解答的難點(diǎn)在于第三問中的最值問題，計(jì)算量較大，計(jì)算過程復(fù)雜，并且基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，因此需要十分小心.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)．若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平