四川省達(dá)州市萬源中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題

四川省萬源中學(xué)高2026屆期中試題（高二·上）數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列說法中正確的是（）A.三點確定一個平面 B.四邊形一定是平面圖形C.梯形一定是平面圖形 D.兩個互異平面和有三個不共線的交點【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，共線的三點無法確定一個平面，A錯誤；對于B，空間四邊形不平面圖形，B錯誤；對于C，梯形有一組對邊互相平行，則四個頂點必然處于同一平面內(nèi)，即梯形一定是平面圖形，C正確；對于D，兩個互異平面若有交點，則所有交點必在同一條直線上，D錯誤.故選：C.2.已知，，則線段AB中點的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用中點坐標(biāo)公式直接計算即可.【詳解】由中點坐標(biāo)公式得線段AB中點的坐標(biāo)為，即.故選：A3.如圖，在平行六面體中，是的中點，設(shè)，，，則等于（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】因為在平行六面體中，是的中點，所以.故選：A.4.已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，所給的直觀圖對應(yīng)的原平面圖形，如圖，其中，，所以這個平面圖形的面積為.故選：D5.設(shè)兩條直線，，兩個平面，，則下列條件能推出的是（）A.，，且 B.，，且C.，，且 D.，，且，【答案】A【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；舉例說明判斷BCD.【詳解】對于A，由，，得，而，所以；對于B，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，，，都與平行時，，相交，B錯誤；對于C，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時，，相交，C錯誤；對于D，若，，且，，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時，，相交，D錯誤.故選：A6.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點到次日凌晨1點）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如圖，則下列說法正確的是（）A.在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)B.早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在80,90C.早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小D.晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)分析及極差的概念作出判斷.【詳解】A選項，由于不知抽樣數(shù)據(jù)中早睡和晚睡的人數(shù)，從而無法確定在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)和晚睡人數(shù)，A錯誤；B選項，由統(tǒng)計圖可看出早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在內(nèi)，B正確；C選項，在統(tǒng)計圖中無法確定早睡人群睡眠指數(shù)和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差，C錯誤.D選項，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在內(nèi)，D錯誤.故選：B7.已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合球的性質(zhì)得，其外接球的球心為上下面外接圓圓心連線中點，利用勾股定理計算半徑，代入球的體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)正六棱柱下底面的中心為，其外接球的圓心為點，則，為等邊三角形，故，即為其外接球的半徑，所以，所以該正六棱柱的外接球的體積為.故選：C.8.設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且．如果，那么（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定出函數(shù)的周期性，然后由周期性和奇偶性求值．【詳解】是奇函數(shù)，則，又，所以，所以，是周期為2的周期函數(shù)，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若，，，是空間任意四點，則有B.若向量，，滿足，則C.空間中任意三個非零向量都可以構(gòu)成空間一個基底D.對空間任意一點與不共線的三點，，，若（其中，且），則，，，四點共面【答案】AD【解析】【分析】利用空間向量運(yùn)算判斷A；利用相等向量的意義判斷B；利用空間的一個基底的意義判斷C；利用空間共面向量定理判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時，，，，四點可能一條直線上，B錯誤；對于C，空間的三個非零向量有共面與不共面兩種可能，當(dāng)它們共面時，不能作為空間的一個基底，C錯誤；對于D，若，則，化簡得，因此，，，四點共面，D正確.故選：AD10.已知函數(shù)，若把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在上有3個零點【答案】BC【解析】【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再結(jié)合條件求，由此可得函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得因為函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則，解得，又，則時，，所以，故A錯誤；因為，所以的圖像關(guān)于點對稱，故B正確；當(dāng)時，則，且函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；令，即，解得，又，則，共兩個零點，故D錯誤；故選：BC.11.在三棱錐中，兩兩垂直，平面于點，設(shè)的面積分別為，下列命題中正確的是（）A.可能為直角三角形 B.點為的垂心C. D.【答案】BCD【解析】【分析】假設(shè)，，，求出，，，根據(jù)長度和三角形形狀的關(guān)系判斷A選項，根據(jù)垂心的定義判斷B選項，根據(jù)海倫公式求出判斷C選項，求出和、、的關(guān)系判斷D選項.【詳解】假設(shè)，，，所以，，，因為任何兩邊的平方和大于第三邊的平方，所以是銳角三角形，故A選項錯誤；由兩兩垂直易證平面，所以，因為，所以易證平面，所以，同理可得，，所以點為的垂心，故B選項正確；設(shè)的面積為，因為四面體體積為，所以，等式兩邊平方可得，由海倫公式可得，其中，所以，所以代回可得，故C選項正確；，，，，因為，所以，所以，因為，，，所以，故D選項正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)海倫公式求出判斷C選項，求出和、、的關(guān)系判斷D選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個新數(shù)據(jù)5，則此時方差是______.【答案】【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故答案為：13.已知點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為，點關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，則______．【答案】【解析】【分析】依次寫出，，，利用空間兩點間距離公式求出答案.【詳解】由題意得，，，故.故答案為：14.如圖，邊長為的正三角形的中線與中位線交于點G．已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列結(jié)論正確的是______．（1）三棱錐的體積有最大值（2）異面直線與不可能互相垂直（3）恒有平面平面（4）動點在平面上的射影在線段上【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】通過底和高來確定體積、證明線面垂直、異面直線所成角、面面垂直的性質(zhì)等逐個判斷即可.【詳解】對于（1）：三棱錐的底面的面積是定值，高是點到平面的距離，當(dāng)平面時距離（即高）最大，三棱柱的體積最大，故（1）正確；對于（2）：由得是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），因為正三角形的邊長為，所以的長度的取值范圍是，當(dāng)時，，所以，此時直線與互相垂直，故（2）錯誤；對于（3）：在正三角形中，為中線，為中位線，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故（3）正確；對于（4）：過作，垂足為，則平面，，又平面平面，平面平面，所以平面，則動點在平面上的射影在線段上，故（4）正確；故答案為：（1）（3）（4）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）三棱錐的體積大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）連接，取的中點為，利用平行公理及線面平行的判斷推理即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用等體積法轉(zhuǎn)化求出體積.【小問1詳解】在正方體中，連接，取的中點，連接，有M為中點，則，又E為BC的中點，于是，則四邊形是平行四邊形，，又F為CD的中點，則有，即四邊形是平行四邊形，，因此，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，而正方體的棱長為1，平面，則點到平面的距離為到平面的距離1，所以三棱錐的體積.16.已知空間中三點．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）求的面積．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）可求由已知可設(shè)，通過模長公式計算可得，即可得出結(jié)果；（2）通過數(shù)量積公式求得，利用三角形面積公式計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】空間中三點，，且，設(shè)，或．【小問2詳解】∵，，，，．17.某保險公司在2023年度給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，這100個樣本按年齡段，，，，分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表格所示．（保費(fèi)：元）據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為該項保險支出的各種費(fèi)用為一百萬元．年齡保費(fèi)306090120150（1）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，判斷該公司本年度是虧本還是盈利？（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的中年人對該疾病的防范意識還比較弱，為加強(qiáng)宣傳，按分層抽樣的方法從年齡在和的中年人中選取6人進(jìn)行教育宣講，再從選取的6人中隨機(jī)選取2人，被選中的2人免一年的保險費(fèi)，求被免去的保費(fèi)超過150元的概率．【答案】（1）盈利（2）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求的值，再利用加權(quán)平均數(shù)的算法求收取的費(fèi)用，和支出的費(fèi)用比較，可得問題答案.（2）先根據(jù)分層抽樣的概念確定選取的6人中年齡分別在和的人數(shù)，從中選2人，列出所有可能，找出保險費(fèi)用超過150元的所有情況，根據(jù)古典概型的計算公式求相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由，解得保險公司每年收取的保費(fèi)為：．因為，所以2023年度公司為盈利.【小問2詳解】選取的6人中，有2人來自年齡在，記這2人分別為，，有4人來自年齡在，記這4人分別為，，，，從這6人中任取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中保費(fèi)超過150元的有，，，，，共6種，所以被免去保費(fèi)超過150元的概率為．18.已知點在所在平面內(nèi)，滿足與的交點為，平面向量與相互垂直.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得，利用正弦定理及輔助角公式化簡得，求解即可；（2）根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得，利用向量運(yùn)算及數(shù)量積求模公式求解即可.【小問1詳解】由向量與相互垂直得，，由正弦定理得，，，，即，.，，即，，，即.，，即.【小問2詳解】由，得.由余弦定理，得.，，即點為的重心，點是的中點，，..19.如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先判定垂直關(guān)系再建