關(guān)注計(jì)算思維養(yǎng)成 培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

摘要：計(jì)算的本質(zhì)是數(shù)一數(shù)、算一算有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。計(jì)算不是單純的計(jì)算技能訓(xùn)練，而是承載著學(xué)生計(jì)算思維養(yǎng)成的目標(biāo)任務(wù)。教師在教學(xué)中應(yīng)該厘清計(jì)算思維的內(nèi)涵，處理好算理與算法的關(guān)系，以核心問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)說(shuō)理課堂，以辯課的方式驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。在核心素養(yǎng)觀念下，教師應(yīng)探索如何培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。根據(jù)新課標(biāo)指出的“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”這一基本理念，筆者著重思考以下兩個(gè)問(wèn)題：計(jì)算的本質(zhì)是什么？怎樣進(jìn)行計(jì)算教學(xué)？下面筆者以“異分母分?jǐn)?shù)加減法”為例，談?wù)勅绾侮P(guān)注學(xué)生計(jì)算思維的養(yǎng)成，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)已經(jīng)有了同分母分?jǐn)?shù)加減法和認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義以及通分、約分、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等知識(shí)儲(chǔ)備。同時(shí)，異分母分?jǐn)?shù)加減法也是分?jǐn)?shù)與小數(shù)加減的混合運(yùn)算、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的基礎(chǔ)。五年級(jí)學(xué)生正處于從具體到抽象過(guò)渡的思維階段，具備了初步的觀察、比較、分析、推理、歸納等能力，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助分?jǐn)?shù)模型，運(yùn)用轉(zhuǎn)化、遷移，理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，并與整數(shù)、小數(shù)加減法勾連，打通算理。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的圖形結(jié)合起來(lái)形成認(rèn)知，這樣能緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯意義建構(gòu)。一、喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展多維認(rèn)知本節(jié)課一開(kāi)始，教師要求學(xué)生用最快的速度計(jì)算下面算式的任意兩道題，并提問(wèn)：你會(huì)選哪兩道題？為什么？①[17]+[27]=②[12]+[14]=③[56-16]=④[78-34]=⑤[15]+

[23]=

，我選（）和（），是因?yàn)椋ǎ?。?dāng)學(xué)生選出并計(jì)算出同分母分?jǐn)?shù)加減法①和③時(shí)，教師追問(wèn)：為什么計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加減法，分母不變，把分子直接相加減呢？這個(gè)問(wèn)題旨在讓學(xué)生明晰，計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加減法（就是分?jǐn)?shù)單位相同），我們可以把分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)直接相加減。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)②④⑤題有什么共同的特點(diǎn)。這個(gè)問(wèn)題突出了異分母分?jǐn)?shù)相加減，進(jìn)而引出課題：這節(jié)課我們來(lái)研究異分母分?jǐn)?shù)加減法。揭示課題后，教師出示練習(xí)：同學(xué)們?cè)谑止ふn上折紙。小紅用了一張紙的[12]折一只小船，小明用同一張紙的[14]折一只小鳥(niǎo)。首先，教師引導(dǎo)學(xué)生找出題中的數(shù)學(xué)信息，并根據(jù)這些信息提出有關(guān)加減法的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再選擇“他們倆一共用了這張紙的幾分之幾？小紅比小明多用這張紙的幾分之幾？”這兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生列出算式[12]+[14]與[12]-[14]。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生研究怎樣計(jì)算[12]+[14]，想一想、說(shuō)一說(shuō)：[12]與[14]能直接相加嗎？為什么？學(xué)生紛紛發(fā)表看法，有的學(xué)生說(shuō)：“我覺(jué)得可以直接相加，因?yàn)榉肿右粯樱梢苑肿蛹臃肿?，分母加分母?！边€有的學(xué)生說(shuō)：“我覺(jué)得它們的分母不同，也就是分?jǐn)?shù)單位不同，分子就不能直接相加?！边€有的學(xué)生說(shuō)：“[12]+[14]是異分母分?jǐn)?shù)相加，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)才能直接相加?！睂W(xué)生發(fā)表意見(jiàn)后，教師沒(méi)有急于肯定或否定，而是出示圖1，并提出問(wèn)題：“這是[12]和[14]，這里的一份加一份不就是兩份嗎？”這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生直觀地看出每一份的數(shù)量不同，也就是每一份的大小不同，不能直接相加，所以不是兩份。最后，教師提出核心問(wèn)題一：“看來(lái)，它們的確不能直接相加，那到底應(yīng)該怎樣計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加法呢？”學(xué)生獨(dú)立思考后，教師讓他們根據(jù)學(xué)習(xí)要求——聯(lián)系同分母分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試獨(dú)立計(jì)算[12]+[14]，并想想為什么可以這樣算。小組合作自主探究后，教師展示學(xué)生的探究結(jié)果，學(xué)生有以下三種解法：1.化小數(shù)法。把[12]化成0.5，[14]化成0.25，加起來(lái)等于0.75。2.畫(huà)圖法（見(jiàn)圖2）。在畫(huà)圖法中，教師著重讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題：當(dāng)兩份大小不一樣時(shí)，也就是分?jǐn)?shù)單位不一樣時(shí)，該怎么做？大部分學(xué)生知道是把[12]轉(zhuǎn)化成[24]，[24]+[14]=[34]，但有的學(xué)生“知其然而不知其所以然”。此時(shí)，教師再提出問(wèn)題：誰(shuí)能在圖3中體現(xiàn)這個(gè)計(jì)算過(guò)程？教師引導(dǎo)學(xué)生在圖3中添上虛線并提問(wèn)：“添上這一筆，什么變了？什么沒(méi)變？”學(xué)生討論交流后得到結(jié)果：“添上這一筆，把[12]轉(zhuǎn)化成[24]，分?jǐn)?shù)單位變了，但分?jǐn)?shù)大小沒(méi)變，[24]有2個(gè)[14]，再加1個(gè)[14]等于3個(gè)[14]，3個(gè)[14]就是[34]，所以[12]+[14]=[34]。這樣，學(xué)生既知道算法，也知道了算理。同時(shí)，學(xué)生在圖中更直觀地理解了為什么異分母分?jǐn)?shù)不能直接相加減，而要轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)才能直接相加減的道理。3.通分法。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用通分，直接把異分母分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加法，這樣也能得出[12]+[14]=[34]。學(xué)生展示完成后交流討論這三種方法有什么相同點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)是將新知轉(zhuǎn)化成舊知，變成相同的計(jì)數(shù)單位相加，因?yàn)橹挥邢嗤挠?jì)數(shù)單位才能相加。通過(guò)這樣以生為本，促進(jìn)了學(xué)生多維認(rèn)知的發(fā)展，培養(yǎng)了計(jì)算思維，并借助分?jǐn)?shù)直觀模型，幫助學(xué)生理解了算理，感悟了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。二、選擇遷移方法，深入理解算理在學(xué)生明晰異分母分?jǐn)?shù)加法算法和算理的基礎(chǔ)上，教師提出核心問(wèn)題二：“怎樣計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)減法？”學(xué)生先借助做加法的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算[12]-[14]。學(xué)生解答完后，發(fā)現(xiàn)三種方法都適用，教師再適時(shí)提出核心問(wèn)題：“怎樣計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)減法[12]-[13]？請(qǐng)選擇合適的方法解答?！睂W(xué)生圍繞這個(gè)核心問(wèn)題獨(dú)立思考后，小組成員根據(jù)要求合作探究，輪流說(shuō)想法；認(rèn)真傾聽(tīng)，及時(shí)補(bǔ)充；交流完把組內(nèi)一致的想法整理在學(xué)習(xí)單上。學(xué)生在探索時(shí)可能會(huì)遇到以下問(wèn)題：[13]不能化為有限小數(shù)，計(jì)算時(shí)不能使用化小數(shù)法；3不是2的倍數(shù)，畫(huà)圖不方便。通過(guò)這樣制造認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)化小數(shù)法和畫(huà)圖法的局限性，從而認(rèn)識(shí)到通分法的優(yōu)勢(shì)。通分的目的是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位，把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法來(lái)計(jì)算。接著，教師引導(dǎo)質(zhì)疑：“通分時(shí)為什么用最小公倍數(shù)做公分母最好？”學(xué)生通過(guò)交流發(fā)現(xiàn)：通分時(shí)用最小公倍數(shù)作公分母，計(jì)算比較簡(jiǎn)便。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在運(yùn)用知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移，提供“變式”，讓學(xué)生比較、辨析、選擇，經(jīng)歷從算法多樣化走向算法一般化的過(guò)程，為學(xué)生提供了更大的思維空間。通過(guò)觀察、比較、思考、交流、優(yōu)化方法，教師引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)散思維與集中思維相結(jié)合，使學(xué)生在深入理解算理的基礎(chǔ)上，提煉出通用的異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算模型。三、鞏固深化練習(xí)，拓展數(shù)學(xué)思維新課標(biāo)指出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。本節(jié)課的鞏固練習(xí)可以采用比賽的形式，聚焦考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、內(nèi)涵、意義的理解和靈活應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生計(jì)算的積極性，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真計(jì)算的學(xué)習(xí)習(xí)慣和團(tuán)隊(duì)合作精神。鞏固練習(xí)是以小組為單位組織比賽，有8個(gè)參賽小組，有2個(gè)比賽環(huán)節(jié)，分別是6道必答題和3道搶答題，根據(jù)各組得分情況，評(píng)選出冠軍、亞軍、季軍。教師先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入第一個(gè)環(huán)節(jié)，本環(huán)節(jié)每人要做6道異分母分?jǐn)?shù)加減法的口算題，答題時(shí)間為3分鐘，每人每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)不扣分。學(xué)生獨(dú)立答題，再小組交換批改、校對(duì)答案，由小組長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)得分情況，教師記錄。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入第二個(gè)環(huán)節(jié)（搶答題環(huán)節(jié)），共3題，要求小組合作完成，先把小組討論的結(jié)果寫在白板上，再舉牌搶答，搶答成功的小組派一個(gè)代表發(fā)言，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)或未能作答反扣10分。第一題：淘氣計(jì)算[12]+[14]=[26]，你同意他的方法嗎？為什么？有的學(xué)生說(shuō)：“因?yàn)閇12]和[14]的分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加減，要先通分，把[12]轉(zhuǎn)化成[24]，[24]+[14]=[34]?！边€有的學(xué)生說(shuō)：“我不同意[12]+[14]=[26]，因?yàn)楹蚚26]比加數(shù)[12]還小，不可能越加越小?！碑?dāng)學(xué)生明晰這道題的解法后，進(jìn)入第二題：①[34]+[16]；②[35+13]；③[78-34]；④[34]-[13]估一估，上面哪些算式的計(jì)算結(jié)果小于[12]，請(qǐng)說(shuō)明理由。這道題拋出后，學(xué)生議論紛紛，有的認(rèn)為[34]+[16]中的一個(gè)加數(shù)[34]大于[12]，再加[16]，結(jié)果肯定大于[12]；有的學(xué)生認(rèn)為[35]+[13]中的兩個(gè)加數(shù)都接近[12]，它們相加，結(jié)果也肯定大于[12]；有的學(xué)生認(rèn)為[78]-[34]中的這兩個(gè)數(shù)都接近1，它們相減，結(jié)果肯定小于[12]；還有學(xué)生的認(rèn)為[34]-[13]中，[34]減[14]等于[12]，[34]減大于[14]的[13]，結(jié)果會(huì)小于[12]，因?yàn)楸粶p數(shù)不變，減數(shù)越大，差越小。當(dāng)學(xué)生明白這些道理后，答案就顯而易見(jiàn)是[34]-[13]和[78]-[34]的計(jì)算結(jié)果小于[12]。接著，進(jìn)入第三題：小明認(rèn)為[12]+[14]+[116]+……，不管多少個(gè)數(shù)相加，結(jié)果永遠(yuǎn)小于1，這是真的嗎？這道題引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單入手，一步一步計(jì)算，發(fā)現(xiàn)每次計(jì)算的結(jié)果分子永遠(yuǎn)比分母少1，所以這個(gè)說(shuō)法是真的。這樣，聚焦考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、內(nèi)涵、意義的理解與靈活應(yīng)用，可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生由機(jī)械記憶向理解記憶的轉(zhuǎn)變。四、整體建構(gòu)體系，實(shí)現(xiàn)明理通法教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)的其他加減法，以問(wèn)題“異分母分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法的計(jì)算道理相同嗎”為引領(lǐng)，將整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法串聯(lián)起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的整體建構(gòu)。教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，提問(wèn)：“這兩個(gè)5+2=7表示的意思一樣嗎？5-2=3表示什么？”這兩個(gè)問(wèn)題的研究主要是讓學(xué)生明白：相同的算式在不同的數(shù)位上表示的意義不同；整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法雖然它們計(jì)算的對(duì)象不同，但算理相同，都是計(jì)算單位相同才能直接相加減，都是在計(jì)算有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，感悟從整數(shù)加減法、小數(shù)加減法到分?jǐn)?shù)加減法，是計(jì)算思維的第一次跨越；從同分母分?jǐn)?shù)加減法到異分母分?jǐn)?shù)加減法，是計(jì)算思維的第二次跨越。這兩次跨越的運(yùn)算方法雖然有一點(diǎn)變化，但其“內(nèi)核”并沒(méi)有發(fā)生改變，即“只有計(jì)算單位相同，才能直接相加減”。學(xué)生在充分理解整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和逐步發(fā)展的特點(diǎn)，在明理通法的同時(shí)，發(fā)展抽象思維能力，真正體現(xiàn)了“為學(xué)生的思維發(fā)展而教”。接著，教師強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)學(xué)科是講道理的，而且道理是相通的，很多知識(shí)之間可以相互轉(zhuǎn)化，比如今天我們把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成了同分母分?jǐn)?shù)加減法?！比缓?，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶在以前的學(xué)習(xí)中哪些地方用到轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生回憶后，教師播放視頻：學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時(shí)，可轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積來(lái)計(jì)算；計(jì)算小數(shù)除法時(shí)，可轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法；曹沖稱象時(shí)，曹沖把大象的質(zhì)量轉(zhuǎn)化成石頭來(lái)稱等。最后，教師揭示，轉(zhuǎn)化思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)習(xí)與研究的好幫手。法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾這樣說(shuō)：“我一生只做兩件事情，一件是簡(jiǎn)單的事，一件就是把復(fù)雜的事變成簡(jiǎn)單的事?！边@足以說(shuō)明，學(xué)生生活中很多事情和學(xué)習(xí)中很多知識(shí)都可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)化繁為簡(jiǎn)、化新為舊、化難為易。這樣溝通同類問(wèn)題的聯(lián)系，能夠促使學(xué)生發(fā)展