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文檔簡介
專題01生活中的軸對稱教材同步講練
知識點11軸對稱圖形及軸對稱性質(zhì)
1、軸對稱圖形:如果一個平面圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做
軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.
注意:軸對稱圖形的對稱軸可能只有一條,也可能有多條甚至無數(shù)條.
2、兩個圖形成軸對稱:如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合,那么稱這兩個圖形成軸對稱,
這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸.
3、軸對稱的性質(zhì):在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中,對應點所連的線段被對稱軸垂直平分,對應線
段相等,對應角相等.
注意:在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中,沿對稱軸折疊后,重合的點是對應點,叫做對稱點.
類似地,重合的線段是對應線段,重合的角是對應角.
例1.(2021?黑龍江哈爾濱市?八年級期末)下列說法正確的是()
A.如果兩個三角形全等,則它們是關于某條直線成軸對稱的圖形
B.如果兩個三角形關于某條直線成軸對稱,那么它們是全等三角形
C.等邊三角形是關于一條邊上的中線成軸對稱的圖形
D.一條線段是關于經(jīng)過該線段中點的中線成軸對稱的圖形
變式1.(2021?無錫市八年級月考)下列說法正確的是()
A.關于某條直線對稱的兩個三角形是全等三角形
B.全等三角形一定關于某條直線對稱
C.兩圖形關于某條直線對稱,則這兩個圖形一定分別位于對稱軸的兩側(cè)
D.有一條公共邊的兩個全等三角形關于公共邊的所在的直線對稱
例2.(2021?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學九年級月考)下列平面圖形是軸對稱圖形的是()
變式2.(2021?黑龍江哈爾濱市?八年級期末)下列圖案中,是軸對稱圖形的是()
b4^c。
A.
變式3.(2021?江蘇九年級二模)如圖的四個圖案中,具有一個共有的性質(zhì),那么在下列各數(shù)中也滿足上
述性質(zhì)的是()
A.212B.444C.535D.808
例3.(2021北京市八年級期中)下列說法中正確的是()
①對稱軸上沒有對稱點;②如果AA8C與關于直線上對稱,那么S■c=S“B,c,;③如果線段48=49,
直線工垂直平分N4,則N8和49關于直線Z對稱;④射線不是軸對稱圖形.
A.②B.①④C.②④D.②③
變式4.(2021?四川石室初中八年級期中)如圖,AABC與AAB,。關于直線MN對稱,P為MN上任一點
(A、P、A,不共線),下列結(jié)論中錯誤的是()
A.AAAP是等腰三角形B.MN垂直平分AA,、CC
C.AABC與AABC,面積相等D.直線AB,AB,的交點不一定在直線MN上
例4.(2021?四川廣安市?八年級期末)如圖,已知"BC與YABC關于直線I對稱,NB=110。,44'=25°,
則NC的度數(shù)為()
A.25°B.45°C.70°D.110°
變式5.(2021?江蘇八年級專題練習)如圖,若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關于BC所在直線
對稱,乙4BE=90。,則/廠的度數(shù)為()
A.30°B.45°C.50°D.60°
變式6.(2021?江蘇南通市?九年級一模)如圖,在用2UC5中,ZBAC=90°,AD上BC,垂足為。,LABD
與及4。夕關于直線4。對稱,點5的對稱點是點戌,若N5NC=14。,則N5的度數(shù)為()
B
A.38°B.48°C.50°D.52°
知識點12利用軸對稱作圖
1、已知軸對稱圖形求作對稱軸方法:先確定圖形的兩個對應點,再作以這兩個對應點為端點的線段的垂直
平分線,這條直線就是它的對稱軸.
2、已知對稱軸,求作與已知圖形成軸對稱的圖形的步驟
方法:(1)先觀察已知圖形,并確定能代表已知圖形的關鍵點;(2)分別作出這些關鍵點關于對稱軸的
對應點;(3)根據(jù)已知圖形連接這些對應點,即可得到與已知圖形成軸對稱的圖形.
例1.(2021?吳江市八年級月考)如圖是一個經(jīng)過改造的規(guī)則為4x7的臺球桌面示意圖,圖中四個角上的
陰影部分分別表示四個入球孔,如果一個球按圖中所示的方向被擊出(球可以經(jīng)過臺球邊緣多次反彈),
那么球最后將落入的球袋是()
1號袋4號袋
2號袋3號袋
A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋
變式1.(2021?河北八年級期末)如圖是臺球桌面示意圖,陰影部分表示四個入球孔,小明按圖中方向擊
球(球可以多次反彈),則球最后落入的球袋是()
A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋
變式2.(2021?湖南九年級其他模擬)圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有()
例2.(2021?福建廈門市?八年級期中)如圖,已知△4BC和直線小,畫出與△/5C關于直線機對稱的圖形
(不要求寫出畫法,但應保留作圖痕跡)
C.D.
例3.(2021?河北秦皇島市?九年級一模)圖1和圖2中所有的小正方形都全等,將圖1的正方形放在圖2
中①②③④的某一位置,使它與原來7個小正方形組成的圖形是軸對稱圖形,并且只有一條對稱軸,這個
位置是()
----------------1
②|
I---①----------------------
____1^1
I_④___
圖1圖2
A.①B.②C.③D.④
變式4.(2021?廣東九年級其他模擬)小明將一正方形紙片畫分成16個全等的小正方形,且如圖所示為他
將其中四個小正方形涂成灰色的情形.若小明想再將一小正方形涂成灰色,使此紙片上的灰色區(qū)域成為線
對稱圖形,則此小正方形的位置為何?().
第
第
第
第
三
四
一
二
行
行
行
行
---1
???
第一列f
第二列一
第三列f
第四列f
A.第一列第四行B.第二列第一行C.第三列第三行D.第四列第一行
變式5.(2021?石家莊市第四十四中學九年級一模)如圖,在3x3的正方形網(wǎng)格中,格線的交點稱為格點,
以格點為頂點的三角形稱為格點三角形,圖中的A/BC為格點三角形,在圖中與A/BC成軸對稱的格點
三角形可以畫出()
C
AB
A.1個B.2個C.3個D.3個以上
例4.(2021?河北廊坊市?八年級期末)在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標系,格點(網(wǎng)格線的交點)
A,2的坐標分別為(0,2),(—2,—1).利用線段48分別在圖1、圖2、圖3中按要求畫出A/BC,并寫
出點。的坐標.(1)A/BC的對稱軸是J軸;(2)A/BC的對稱軸是過點8且平行于坐標軸的直線,
并寫出點。的坐標;(3)A/BC的對稱軸是過點B但不平行于坐標軸的直線,且點。落在丁軸右側(cè)的格
點上.
變式6.(2021?云南大理白族自治州?八年級期末)如圖,在平面直角坐標系中,AA5C各頂點的坐標分別
為:A(4,0),B(1,4),C(3,1).(1)在圖中作使A4'5'C'和AA8C關于x軸對稱;
(2)寫出點9,。的坐標;(3)求AA5C的面積.
變式7.(2020?佛山市順德區(qū)北港鎮(zhèn)碧江中學八年級月考)如圖,直角坐標系中,在邊長為1的正方形網(wǎng)
3的坐標分別是4(3,1),B(2,3)
(1)請在圖中畫出A/OB關于J軸的對稱△405',點/'的坐標為,點8'的坐標為.
(2)請寫出/點關X軸的對稱點/〃坐標為.
知識點13軸對稱的應用(最短路徑)
基本問題:在直線/上找一點尸,使得其到直線異側(cè)兩點2、8的距離之和最小.
變式1:在直線/上找一點尸,使得其到直線同側(cè)兩點2、8的距離之和最小.
變式2:直線加、〃交于尸是兩直線間的一點,在直線加、〃上分別找一點/、3,使得△尸48的周
長最短.
A*
?B
A.
?B
例1.(2021?山東德州市?八年級期末)如圖,在4/臺。中,AB=6,BC=7,/C=4,直線加是A/BC
中5C邊的垂直平分線,P是直線加上的一動點,則△4PC的周長的最小值為
m
P
B
變式1.(2021?山東濱州市?八年級期末)如圖,在中,ZACB=90°-D5=30°>AC=6,P為
BC邊的垂直平分線DE上一個動點,則周長的最小值為.
例2.(2020?綿陽期末)如圖,在四邊形/BCD中,ZC=70°,/B=ND=90°,E、尸分別是BC、DC
上的點,當△,昉的周長最小時,NEN尸的度數(shù)為()
A.30°B.40°C.50°D.70°
變式2(2020?長白縣期末)如圖,N/O3=a,點尸是內(nèi)的一定點,點M、N分別在03上移
動,當?shù)闹荛L最小時,的值為()
A.90°+aB.90°片aC.180°-aD.180°-2a
例3.(2021?湖北八年級期末)如圖,A/BC的頂點A,B,。都在小正方形的頂點上,利用網(wǎng)格線按
下列要求畫圖.(1)畫△44G,使它與A/BC關于直線/成軸對稱;
(2)在直線/上找一點尸,使點P到點A,點8的距離之和最短;
(3)在直線/上找一點。,使點0到邊/C,5C的距離相等.
變式3.(2021?河南駐馬店市?八年級期末)在如圖的正方形網(wǎng)格中,每一個小正方形的邊長為1,格點三
角形45C(頂點是網(wǎng)格線交點的三角形)的頂點A、C的坐標分別是(-5,5),(-2,3).
(1)請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標系;(2)請畫出A/BC關于歹軸對稱的△4與3;
(3)請在x軸上求作一點尸,使△尸片。的周長最?。ūA糇鲌D痕跡,不寫作法).
例4.(2021?廣西貴港市?八年級期末)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法及證明過程):如圖,
已知點P在N8/C內(nèi),分別在48、ZC邊上求作點E和點E,使APEE的周長最小.
變式4.(2022?潁泉區(qū)期中)如圖,點P是/內(nèi)部一點,現(xiàn)有一只螞蟻要從P的出發(fā),先到CM,再
到。瓦最后返回到點P.請作出螞蟻爬行的最短路徑(要求:保留作圖痕跡,不寫作法.)
知識點14等腰三角形性質(zhì)及判定
1、等腰三角形:有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰,另外一邊叫做底,腰和底
的夾角叫做底角,兩腰的夾角叫做頂角.特別地,三邊相等的三角形叫做等邊三角形.
2、等腰三角形性質(zhì)
(1)等腰三角形的兩個底角相等,可簡寫成“等邊對等角”.
(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱“三線合一”).
注意:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線都是等腰三角形的對稱軸.
3、等腰三角形的判定
判定定理:如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成"等角對等邊").
4、等邊三角形定義:三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形,它是特殊的等腰三角形;
性質(zhì):等邊三角形除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外,還具有更特殊的性質(zhì):(1)有三條對稱軸;(2)
每個內(nèi)角都等于60°,三條邊都相等.
判定:(1)三個角相等的三角形是等邊三角形;(2)有兩個角等于60。的三角形是等邊三角形;
(3)有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.
例1.(2021?香坊區(qū)八年級期末)等腰三角形的周長為13c〃?,其中一邊長為3c〃z.則該等腰三角形的底長為
()
A.3cm或5B.3cm或7cmC.3cmD.5cm
變式1.(2021?樺甸市八年級期末)等腰三角形的兩邊長分別是4c機和9c〃?,則它的周長是()
A.17cmB.22cmC.17c%或22。加D.無法確定
例2.(2021?寧波市海曙區(qū)初二期末)若中剛好有/8=2/C,則稱此三角形為“可愛三角形”,并
且//稱作“可愛角”.現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”,那么聰明的同學們知道這個三角形的“可愛角”應
該是().
A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72°D.36?;?2?;?5。
變式2.(2021?哈爾濱初二月考)在A/BC中,4D是NBAC的平分線,且48=ZC+CD,若NBAC=81。,
則ZABC的大小為.
例3.(2021?成都市?初二期末)如圖鋼架中,焊上等長的13根鋼條來加固鋼架,若
變式3.(2020?湖南永定?八年級期中)“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的.借助如圖
所示的“三等分角儀”能三等分任何一個角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成,兩根棒在。點
相連并可繞O轉(zhuǎn)動,C點固定,OC=CD=DE,點D,E可在槽中滑動,若/BDE=78。,則/AOB等于—度.
例4.(2021?曹縣八年級期中)如圖,正方形的網(wǎng)格中,點2是小正方形的頂點,如果C點是小正方
形的頂點,且使△NBC是等腰三角形,則點C的個數(shù)為()
變式4.(2020?海口市第十四中學初二月考)如圖,在AABC中,ZABC=60°,ZC=45°,AD是BC邊上
的高,/ABC的平分線BE交AD于點F,則圖中共有等腰三角形()
BDC
A.2個B.3個C.4個D.5個
例5.(2020?廣東揭陽?初二期末)如圖,A/BC中,AB=AC,。是中點,下列結(jié)論中不正確的是
().
A.ZB=ZCB.ADLBCC.2。平分/B/CD.AB=2BD
變式5.(2021?廣東高州?初二月考)等腰三角形底邊長為6,周長為16,則三角形的面積為()
A.30B.25C.24D.12
例6.(2021?渝水區(qū)八年級期中)如圖,點。,E在的邊8C上,BD=AD=DE=AE=CE.
(1)求/D4E的度數(shù);(2)求證:是等腰三角形.
BFC
變式6.(2021?南海區(qū)八年級期末)如圖,在中,AB=AC,點、D、E、/分別在BC、/C邊上,
且BE=CF,BD=CE.(1)求證:△£)£下是等腰三角形;(2)當//=40°時,求NDEF的度數(shù).
例7.(2021?福山區(qū)初二期末)在下列結(jié)論中:
(1)有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形;
(2)有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形;
(3)有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形;
(4)三個外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的個數(shù)是()
A.4個B.3個C.2個D.1個
變式7.(2021?遼寧鐵嶺?八年級期末)如圖,E是等邊A48c中NC邊上的點,Zl=Z2,BE=CD,則A4DE
A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.無法確定
變式8.(2021?無錫市八年級期中)如圖,等邊AABC的邊長為8cm,點P從點C出發(fā),以1cm/秒的速度
由C向B勻速運動,點Q從點C出發(fā),以2cm/秒的速度由C向A勻速運動,AP、BQ交于點M,當點Q
到達A點時,P、Q兩點停止運動,設P、Q兩點運動的時間為t秒,若/AMQ=60。時,貝!11的值是()
例8.(2021?香洲區(qū)八年級期中)如圖,是等邊A/BC的一條中線,若在邊NC上取一點E,使得/£
=40,則/助C的度數(shù)為()
BD
A.30°B.20°C.25°D.15°
變式9.(2021?長沙八年級期中)如圖,直線/〃加,等邊△A8C的頂點3在直線m上,邊與直線機所
夾銳角為18°,則Na的度數(shù)為()
m
B
A.60°B.42°C.36°D.30°
例9.(2021?南寧八年級期末)如圖,△/BC是邊長為2的等邊三角形,點尸在上,過點P作展,
AC,垂足為£,延長5C到點。,使。。=力,連接尸。交ZC于點。,則QE的長為()
A.0.5B.0.9C.1D.1.25
變式10.(2021?西鄉(xiāng)縣八年級期末)如圖,在等邊△ABC中,BD平分/4BC交4c于點D,過點。作DE
LBC于點E,且CE=1.5,則的長為()
D.7.5
例10.(2021?赫章縣八年級期末)如圖,△ZBC為等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P,BQA.AD
于點。,PQ=3,PE=1.(1)求證:AD=BE;(2)求的長.
RDC
變式11.(2021?海珠區(qū)八年級期中)如圖,在△NBC中,BA=BC,BDLAC,延長至E,恰好使得C£
=CD,BD=DE.(1)求:/£的度數(shù);(2)求證:ZUBC為等邊三角形.
知識點15線段垂直平分線
1、線段的軸對稱性:線段是軸對稱圖形,垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸.
2、定義:垂直于一條線段,并且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.
注:如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
3、性質(zhì):線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
注:對于含有垂直平分線的題目,首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來.
4、作圖已知:線段Z2.求作:N3的垂直平分線.作法:(1)分別以點Z和8為圓心,以大于工48
2
的長為半徑作弧,兩弧相交于點C和。.(2)作直線CD.直線CD就是線段Z5的垂直平分線.
例1.(2021?河北保定市?八年級期末)A/BC內(nèi)一點尸到三邊距離相等,則點尸一定是A/BC()
A.三條角平分線的交點B.三邊垂直平分線的交點
C.三條高的交點D.三條中線的交點
變式1.(2021?河南省實驗中學八年級月考)元旦聯(lián)歡會上,同學們玩搶凳子游戲,在與/、B、C三名同
學距離相等的位置放一個凳子,誰先搶到凳子誰獲勝.如果將48、。三名同學所在位置看作A/BC的三
個頂點,那么凳子應該放在A/BC的()
A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點
C.三邊上高的交點D.三邊垂直平分線的交點
例2.(2021?河北保定市?八年級期末)如圖,在AZBC中,8c的垂直平分線分別交/C,3c于點。,E,
若“5C的周長為16,BE=3,則△48。的周長為()
A.6B.10C.12D.20
變式2.(2021?全國九年級專題練習)如圖,在ZUBC中,AB=6,4C=8,5C=11,45的垂直平分線分
別交45,5C于點。、E,4C的垂直平分線分別交4C,5C于點足G,貝!的周長為.
例3.(2021?遼寧九年級二模)如圖,在放△45。中,/。=90。,/8=22。,尸。垂直平分4—垂足為。,交
5c于點尸.按以下步驟作圖:以點4為圓心,以適當?shù)拈L為半徑作弧,分別交邊4C,AB于點、D,£;分
別以點。,£為圓心,以大于的長為半徑作弧,兩弧相交于點歹;作射線4凡射線//與直線尸。相
交于點G,則ZAGQ的度數(shù)為度.
變式3.(2021?四川成都鐵路中學八年級期中)已知:△/2C是三邊都不相等的三角形,點P是三個內(nèi)角
平分線的交點,點。是三邊垂直平分線的交點,當尸、。同時在不等邊△NBC的內(nèi)部時,那么/3OC和/
BPC的數(shù)量關系是.
BC
例4.(2021?山東濟南市?七年級期末)如圖,在A/BC中,/A4c=120。,分別作/C,兩邊的垂直平
分線£儀、PN,垂足分別是點M、N.以下說法正確的是(填序號).
①/尸=60。;?ZEAF=ZB+ZC;③PE=PF;④點尸到點8和點。的距離相等.
變式4.(2021?內(nèi)蒙古中考真題)如圖,在小A/BC中,44cs=90。,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,判斷以下結(jié)
論錯誤的是()
A.ZBDE=NBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC
例5.(2021?北京房山區(qū)?八年級期末)已知等邊三角形45C.如圖,
(1)分別以點48為圓心,大于448的長為半徑作弧,兩弧相交于N兩點;
2
(2)作直線跖V交22于點。;
(3)分別以點/,。為圓心,大于』48的長為半徑作弧,兩弧相交于〃,上兩點;
2
(4)作直線皿交/C于點E;(5)直線跖V與直線應相交于點。;
(6)連接。4,OB,OC.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論:
①OC=2OD;②AB=204;③OA=OB=OC;?ZDOE=120°,正確的是.
變式5.(2021?廣西八年級月考)如圖,為了豐富群眾的娛樂活動,某鎮(zhèn)準備新建一個文化娛樂站,要求
娛樂站到三個村/、B.C的距離相等,請你用尺規(guī)作圖的方法確定娛樂站的位置(不寫作法,保留作圖
痕跡)
掰寸
4村
.用
知識點16角平分線
1、角是軸對稱圖形,角平分線所在的直線是它的對稱軸.
2、性質(zhì):角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
如圖,已知。。平分CDLOA,CELOB,則CD=CE.
3、利用尺規(guī),作//05的平分線.
求作:射線。C,使=
作法:(1)在。4和。上分別截取0E,使。。=?!?
(2)分別以£?,E為圓心、以大于工?!甑拈L為半徑作弧,兩弧在N408內(nèi)交于點C.
2
(3)作射線0C.就是N49B的平分線.
例1.(2021?泰興市八年級期末)如圖,⑷是A43C的角平分線,DE1AB,垂足為£,A45c的面積
為60,N8=16,8c=14,則DE的長等于.
變式1.(2021?黑龍江省八年級期末)如圖,AD是△/BC中/A4c的角平分線,于點£,SMBC
=7,DE=2,AB=4,則NC長是()
A.6B.5C.4D.3
A
例2.(2021?吉林龍?zhí)?八年級期末)如圖,在尺必/3。中,ZACB=90°,/A4c=30。,NNC3的平分線與
//8C的外角的平分線交于£點,連接/£,則NNEC的度數(shù)是()
變式2.(上海市浦東新區(qū)多校聯(lián)考20212022學年八年級上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題)如圖,在A/BC中,
^ABC=52°,三角形的兩個外角4D/C和44CF的平分線交于點E.則/4BE=.
例3.(2021?余杭區(qū)八年級月考)如圖,A48c中,NABC、NE/C的角平分線BP、4P交于點尸,延長
BA,BC,PM1BE,PNLBF,則下列結(jié)論中正確的是.(填序號)
①C尸平分N/CF;②N/8C+2NAPC=180°;?ZACB=2ZAPB;?S^AC=+S^CP.
BF
CN
變式3.(2021?保定八年級期末)如圖,在A48c中,N48C和N/C3的角平分線相交于點。,過點。做
EF//BC交AB于點、E,交/C于點尸,過點。作。。1/C于點D,下列四個結(jié)論:
?EF=BE+CF;②點。到A42c各邊的距離相等;(3)ZBOC=90°+-ZA;④設加,AE+AF=n,
2
貝1%昉.其中結(jié)論正確的是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
例4.(2021?廣東省八年級期末)如圖,△NBC的三邊N3,
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