生活中的軸對稱 教材講練-2021-2022學年北師大版七年級數(shù)學下冊專項突破（原卷版）

專題01生活中的軸對稱教材同步講練

知識點11軸對稱圖形及軸對稱性質(zhì)

1、軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做

軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

注意：軸對稱圖形的對稱軸可能只有一條，也可能有多條甚至無數(shù)條.

2、兩個圖形成軸對稱：如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，

這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸.

3、軸對稱的性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線

段相等，對應角相等.

注意：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，沿對稱軸折疊后，重合的點是對應點，叫做對稱點.

類似地，重合的線段是對應線段，重合的角是對應角.

例1.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級期末）下列說法正確的是（）

A.如果兩個三角形全等，則它們是關于某條直線成軸對稱的圖形

B.如果兩個三角形關于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形

C.等邊三角形是關于一條邊上的中線成軸對稱的圖形

D.一條線段是關于經(jīng)過該線段中點的中線成軸對稱的圖形

變式1.（2021?無錫市八年級月考）下列說法正確的是（）

A.關于某條直線對稱的兩個三角形是全等三角形

B.全等三角形一定關于某條直線對稱

C.兩圖形關于某條直線對稱，則這兩個圖形一定分別位于對稱軸的兩側(cè)

D.有一條公共邊的兩個全等三角形關于公共邊的所在的直線對稱

例2.（2021?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學九年級月考）下列平面圖形是軸對稱圖形的是（）

變式2.（2021?黑龍江哈爾濱市?八年級期末）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（)

b4^c。

A.

變式3.（2021?江蘇九年級二模）如圖的四個圖案中，具有一個共有的性質(zhì)，那么在下列各數(shù)中也滿足上

述性質(zhì)的是（）

A.212B.444C.535D.808

例3.（2021北京市八年級期中）下列說法中正確的是（）

①對稱軸上沒有對稱點；②如果AA8C與關于直線上對稱，那么S■c=S“B，c，；③如果線段48=49,

直線工垂直平分N4,則N8和49關于直線Z對稱；④射線不是軸對稱圖形.

A.②B.①④C.②④D.②③

變式4.（2021?四川石室初中八年級期中）如圖，AABC與AAB，。關于直線MN對稱，P為MN上任一點

（A、P、A，不共線），下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AAAP是等腰三角形B.MN垂直平分AA，、CC

C.AABC與AABC，面積相等D.直線AB,AB，的交點不一定在直線MN上

例4.（2021?四川廣安市?八年級期末）如圖,已知"BC與YABC關于直線I對稱，NB=110。,44'=25°,

則NC的度數(shù)為（）

A.25°B.45°C.70°D.110°

變式5.（2021?江蘇八年級專題練習）如圖，若平行四邊形ABCD與平行四邊形EBCF關于BC所在直線

對稱，乙4BE=90。，則/廠的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

變式6.（2021?江蘇南通市?九年級一模）如圖，在用2UC5中，ZBAC=90°,AD上BC,垂足為。，LABD

與及4。夕關于直線4。對稱，點5的對稱點是點戌，若N5NC=14。，則N5的度數(shù)為（）

B

A.38°B.48°C.50°D.52°

知識點12利用軸對稱作圖

1、已知軸對稱圖形求作對稱軸方法：先確定圖形的兩個對應點，再作以這兩個對應點為端點的線段的垂直

平分線，這條直線就是它的對稱軸.

2、已知對稱軸，求作與已知圖形成軸對稱的圖形的步驟

方法：（1）先觀察已知圖形，并確定能代表已知圖形的關鍵點；（2）分別作出這些關鍵點關于對稱軸的

對應點；（3）根據(jù)已知圖形連接這些對應點，即可得到與已知圖形成軸對稱的圖形.

例1.（2021?吳江市八年級月考）如圖是一個經(jīng)過改造的規(guī)則為4x7的臺球桌面示意圖，圖中四個角上的

陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺球邊緣多次反彈），

那么球最后將落入的球袋是（）

1號袋4號袋

2號袋3號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

變式1.（2021?河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊

球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

變式2.（2021?湖南九年級其他模擬）圖1中的圖案可以由圖2的圖案通過翻折后得到的有（)

例2.（2021?福建廈門市?八年級期中）如圖，已知△4BC和直線小，畫出與△/5C關于直線機對稱的圖形

（不要求寫出畫法，但應保留作圖痕跡）

C.D.

例3.（2021?河北秦皇島市?九年級一模）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2

中①②③④的某一位置，使它與原來7個小正方形組成的圖形是軸對稱圖形，并且只有一條對稱軸，這個

位置是（)

----------------1

②|

I---①----------------------

____1^1

I_④___

圖1圖2

A.①B.②C.③D.④

變式4.（2021?廣東九年級其他模擬）小明將一正方形紙片畫分成16個全等的小正方形，且如圖所示為他

將其中四個小正方形涂成灰色的情形.若小明想再將一小正方形涂成灰色，使此紙片上的灰色區(qū)域成為線

對稱圖形，則此小正方形的位置為何？（）.

第

第

第

第

三

四

一

二

行

行

行

行

---1

???

第一列f

第二列一

第三列f

第四列f

A.第一列第四行B.第二列第一行C.第三列第三行D.第四列第一行

變式5.（2021?石家莊市第四十四中學九年級一模）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點,

以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的A/BC為格點三角形，在圖中與A/BC成軸對稱的格點

三角形可以畫出（）

C

AB

A.1個B.2個C.3個D.3個以上

例4.(2021?河北廊坊市?八年級期末)在正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標系，格點(網(wǎng)格線的交點)

A,2的坐標分別為(0,2),(—2,—1).利用線段48分別在圖1、圖2、圖3中按要求畫出A/BC,并寫

出點。的坐標.(1)A/BC的對稱軸是J軸；(2)A/BC的對稱軸是過點8且平行于坐標軸的直線，

并寫出點。的坐標；(3)A/BC的對稱軸是過點B但不平行于坐標軸的直線，且點。落在丁軸右側(cè)的格

點上.

變式6.(2021?云南大理白族自治州?八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，AA5C各頂點的坐標分別

為：A(4,0),B(1,4),C(3,1).(1)在圖中作使A4'5'C'和AA8C關于x軸對稱；

(2)寫出點9,。的坐標；(3)求AA5C的面積.

變式7.（2020?佛山市順德區(qū)北港鎮(zhèn)碧江中學八年級月考）如圖，直角坐標系中，在邊長為1的正方形網(wǎng)

3的坐標分別是4（3,1）,B（2,3）

（1）請在圖中畫出A/OB關于J軸的對稱△405',點/'的坐標為，點8'的坐標為.

（2）請寫出/點關X軸的對稱點/〃坐標為.

知識點13軸對稱的應用（最短路徑）

基本問題：在直線/上找一點尸，使得其到直線異側(cè)兩點2、8的距離之和最小.

變式1：在直線/上找一點尸，使得其到直線同側(cè)兩點2、8的距離之和最小.

變式2：直線加、〃交于尸是兩直線間的一點，在直線加、〃上分別找一點/、3,使得△尸48的周

長最短.

A*

?B

A.

?B

例1.（2021?山東德州市?八年級期末）如圖，在4/臺。中，AB=6,BC=7,/C=4,直線加是A/BC

中5C邊的垂直平分線，P是直線加上的一動點，則△4PC的周長的最小值為

m

P

B

變式1.（2021?山東濱州市?八年級期末）如圖，在中，ZACB=90°-D5=30°>AC=6,P為

BC邊的垂直平分線DE上一個動點，則周長的最小值為.

例2.（2020?綿陽期末）如圖，在四邊形/BCD中，ZC=70°,/B=ND=90°,E、尸分別是BC、DC

上的點，當△，昉的周長最小時，NEN尸的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

變式2（2020?長白縣期末）如圖，N/O3=a,點尸是內(nèi)的一定點，點M、N分別在03上移

動，當?shù)闹荛L最小時，的值為（）

A.90°+aB.90°片aC.180°-aD.180°-2a

例3.（2021?湖北八年級期末）如圖，A/BC的頂點A,B,。都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按

下列要求畫圖.（1）畫△44G，使它與A/BC關于直線/成軸對稱；

（2）在直線/上找一點尸，使點P到點A,點8的距離之和最短；

（3）在直線/上找一點。，使點0到邊/C,5C的距離相等.

變式3.（2021?河南駐馬店市?八年級期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長為1,格點三

角形45C（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）的頂點A、C的坐標分別是（-5,5）,（-2,3）.

（1）請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標系；（2）請畫出A/BC關于歹軸對稱的△4與3；

（3）請在x軸上求作一點尸，使△尸片。的周長最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）.

例4.（2021?廣西貴港市?八年級期末）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法及證明過程）：如圖,

已知點P在N8/C內(nèi)，分別在48、ZC邊上求作點E和點E,使APEE的周長最小.

變式4.（2022?潁泉區(qū)期中）如圖，點P是/內(nèi)部一點，現(xiàn)有一只螞蟻要從P的出發(fā)，先到CM,再

到。瓦最后返回到點P.請作出螞蟻爬行的最短路徑（要求：保留作圖痕跡，不寫作法.）

知識點14等腰三角形性質(zhì)及判定

1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另外一邊叫做底，腰和底

的夾角叫做底角，兩腰的夾角叫做頂角.特別地，三邊相等的三角形叫做等邊三角形.

2、等腰三角形性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個底角相等，可簡寫成“等邊對等角”.

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）.

注意：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在直線都是等腰三角形的對稱軸.

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成"等角對等邊"）.

4、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；

性質(zhì)：等邊三角形除了具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，還具有更特殊的性質(zhì)：（1）有三條對稱軸；（2）

每個內(nèi)角都等于60°,三條邊都相等.

判定：（1）三個角相等的三角形是等邊三角形；（2）有兩個角等于60。的三角形是等邊三角形；

（3）有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

例1.（2021?香坊區(qū)八年級期末）等腰三角形的周長為13c〃?，其中一邊長為3c〃z.則該等腰三角形的底長為

（）

A.3cm或5B.3cm或7cmC.3cmD.5cm

變式1.（2021?樺甸市八年級期末）等腰三角形的兩邊長分別是4c機和9c〃?，則它的周長是（）

A.17cmB.22cmC.17c%或22。加D.無法確定

例2.（2021?寧波市海曙區(qū)初二期末）若中剛好有/8=2/C,則稱此三角形為“可愛三角形”，并

且//稱作“可愛角”.現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學們知道這個三角形的“可愛角”應

該是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72°D.36?；?2?；?5。

變式2.（2021?哈爾濱初二月考）在A/BC中，4D是NBAC的平分線，且48=ZC+CD,若NBAC=81。,

則ZABC的大小為.

例3.（2021?成都市?初二期末）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若

變式3.（2020?湖南永定?八年級期中）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的.借助如圖

所示的“三等分角儀”能三等分任何一個角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在。點

相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE,點D,E可在槽中滑動，若/BDE=78。，則/AOB等于—度.

例4.（2021?曹縣八年級期中）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點2是小正方形的頂點，如果C點是小正方

形的頂點，且使△NBC是等腰三角形，則點C的個數(shù)為（）

變式4.（2020?海口市第十四中學初二月考）如圖，在AABC中，ZABC=60°,ZC=45°,AD是BC邊上

的高，/ABC的平分線BE交AD于點F,則圖中共有等腰三角形（）

BDC

A.2個B.3個C.4個D.5個

例5.（2020?廣東揭陽?初二期末）如圖，A/BC中，AB=AC,。是中點，下列結(jié)論中不正確的是

（）.

A.ZB=ZCB.ADLBCC.2。平分/B/CD.AB=2BD

變式5.（2021?廣東高州?初二月考）等腰三角形底邊長為6,周長為16,則三角形的面積為（）

A.30B.25C.24D.12

例6.（2021?渝水區(qū)八年級期中）如圖，點。，E在的邊8C上，BD=AD=DE=AE=CE.

（1）求/D4E的度數(shù)；（2）求證：是等腰三角形.

BFC

變式6.（2021?南海區(qū)八年級期末）如圖，在中，AB=AC,點、D、E、/分別在BC、/C邊上,

且BE=CF,BD=CE.（1）求證：△￡）￡下是等腰三角形；（2）當//=40°時，求NDEF的度數(shù).

例7.（2021?福山區(qū)初二期末）在下列結(jié)論中：

（1）有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；

（2）有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；

（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；

（4）三個外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

變式7.（2021?遼寧鐵嶺?八年級期末）如圖，E是等邊A48c中NC邊上的點，Zl=Z2,BE=CD,則A4DE

A.等腰三角形B.等邊三角形C.不等邊三角形D.無法確定

變式8.（2021?無錫市八年級期中）如圖，等邊AABC的邊長為8cm,點P從點C出發(fā)，以1cm/秒的速度

由C向B勻速運動，點Q從點C出發(fā)，以2cm/秒的速度由C向A勻速運動，AP、BQ交于點M,當點Q

到達A點時，P、Q兩點停止運動，設P、Q兩點運動的時間為t秒，若/AMQ=60。時，貝！11的值是（）

例8.（2021?香洲區(qū)八年級期中）如圖，是等邊A/BC的一條中線，若在邊NC上取一點E,使得/￡

=40,則/助C的度數(shù)為（）

BD

A.30°B.20°C.25°D.15°

變式9.（2021?長沙八年級期中）如圖，直線/〃加，等邊△A8C的頂點3在直線m上，邊與直線機所

夾銳角為18°,則Na的度數(shù)為（）

m

B

A.60°B.42°C.36°D.30°

例9.（2021?南寧八年級期末）如圖，△/BC是邊長為2的等邊三角形，點尸在上，過點P作展，

AC,垂足為￡,延長5C到點。，使。。=力，連接尸。交ZC于點。，則QE的長為（）

A.0.5B.0.9C.1D.1.25

變式10.（2021?西鄉(xiāng)縣八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，BD平分/4BC交4c于點D,過點。作DE

LBC于點E,且CE=1.5,則的長為（）

D.7.5

例10.（2021?赫章縣八年級期末）如圖，△ZBC為等邊三角形，AE=CD,AD、BE相交于點P,BQA.AD

于點。，PQ=3,PE=1.（1）求證：AD=BE；（2）求的長.

RDC

變式11.（2021?海珠區(qū)八年級期中）如圖，在△NBC中，BA=BC,BDLAC,延長至E,恰好使得C￡

=CD,BD=DE.（1）求：/￡的度數(shù)；（2）求證：ZUBC為等邊三角形.

知識點15線段垂直平分線

1、線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸.

2、定義：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

注：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

3、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

注：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來.

4、作圖已知：線段Z2.求作：N3的垂直平分線.作法：（1）分別以點Z和8為圓心，以大于工48

2

的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和。.（2）作直線CD.直線CD就是線段Z5的垂直平分線.

例1.（2021?河北保定市?八年級期末）A/BC內(nèi)一點尸到三邊距離相等，則點尸一定是A/BC（）

A.三條角平分線的交點B.三邊垂直平分線的交點

C.三條高的交點D.三條中線的交點

變式1.（2021?河南省實驗中學八年級月考）元旦聯(lián)歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與/、B、C三名同

學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝.如果將48、。三名同學所在位置看作A/BC的三

個頂點，那么凳子應該放在A/BC的（）

A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點

C.三邊上高的交點D.三邊垂直平分線的交點

例2.（2021?河北保定市?八年級期末）如圖，在AZBC中，8c的垂直平分線分別交/C,3c于點。，E,

若“5C的周長為16,BE=3,則△48。的周長為（）

A.6B.10C.12D.20

變式2.（2021?全國九年級專題練習）如圖，在ZUBC中，AB=6,4C=8,5C=11,45的垂直平分線分

別交45,5C于點。、E,4C的垂直平分線分別交4C,5C于點足G,貝！的周長為.

例3.（2021?遼寧九年級二模）如圖，在放△45。中，/。=90。,/8=22。,尸。垂直平分4—垂足為。，交

5c于點尸.按以下步驟作圖：以點4為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊4C,AB于點、D,￡；分

別以點。，￡為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點歹；作射線4凡射線//與直線尸。相

交于點G,則ZAGQ的度數(shù)為度.

變式3.（2021?四川成都鐵路中學八年級期中）已知：△/2C是三邊都不相等的三角形，點P是三個內(nèi)角

平分線的交點，點。是三邊垂直平分線的交點，當尸、。同時在不等邊△NBC的內(nèi)部時，那么/3OC和/

BPC的數(shù)量關系是.

BC

例4.（2021?山東濟南市?七年級期末）如圖，在A/BC中，/A4c=120。，分別作/C,兩邊的垂直平

分線￡儀、PN,垂足分別是點M、N.以下說法正確的是（填序號）.

①/尸=60。；?ZEAF=ZB+ZC；③PE=PF；④點尸到點8和點。的距離相等.

變式4.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在小A/BC中，44cs=90。，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)

論錯誤的是（）

A.ZBDE=NBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

例5.（2021?北京房山區(qū)?八年級期末）已知等邊三角形45C.如圖，

（1）分別以點48為圓心，大于448的長為半徑作弧，兩弧相交于N兩點；

2

（2）作直線跖V交22于點。；

（3）分別以點/,。為圓心，大于』48的長為半徑作弧，兩弧相交于〃，上兩點；

2

（4）作直線皿交/C于點E；（5）直線跖V與直線應相交于點。；

（6）連接。4,OB,OC.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論：

①OC=2OD；②AB=204；③OA=OB=OC；?ZDOE=120°,正確的是.

變式5.（2021?廣西八年級月考）如圖，為了豐富群眾的娛樂活動，某鎮(zhèn)準備新建一個文化娛樂站，要求

娛樂站到三個村/、B.C的距離相等，請你用尺規(guī)作圖的方法確定娛樂站的位置（不寫作法，保留作圖

痕跡）

掰寸

4村

.用

知識點16角平分線

1、角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.

2、性質(zhì)：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

如圖，已知。。平分CDLOA,CELOB,則CD=CE.

3、利用尺規(guī)，作//05的平分線.

求作：射線。C,使=

作法：（1）在。4和。上分別截取0E,使。。=?！?

（2）分別以￡?,E為圓心、以大于工?！甑拈L為半徑作弧，兩弧在N408內(nèi)交于點C.

2

（3）作射線0C.就是N49B的平分線.

例1.（2021?泰興市八年級期末）如圖，⑷是A43C的角平分線，DE1AB,垂足為￡,A45c的面積

為60,N8=16,8c=14,則DE的長等于.

變式1.（2021?黑龍江省八年級期末）如圖，AD是△/BC中/A4c的角平分線，于點￡,SMBC

=7,DE=2,AB=4,則NC長是（）

A.6B.5C.4D.3

A

例2.（2021?吉林龍?zhí)?八年級期末）如圖，在尺必/3。中，ZACB=90°,/A4c=30。，NNC3的平分線與

//8C的外角的平分線交于￡點，連接/￡,則NNEC的度數(shù)是（）

變式2.（上海市浦東新區(qū)多校聯(lián)考20212022學年八年級上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題）如圖，在A/BC中,

^ABC=52°,三角形的兩個外角4D/C和44CF的平分線交于點E.則/4BE=.

例3.（2021?余杭區(qū)八年級月考）如圖，A48c中，NABC、NE/C的角平分線BP、4P交于點尸，延長

BA,BC,PM1BE,PNLBF,則下列結(jié)論中正確的是.（填序號）

①C尸平分N/CF；②N/8C+2NAPC=180°；?ZACB=2ZAPB；?S^AC=+S^CP.

BF

CN

變式3.（2021?保定八年級期末）如圖，在A48c中，N48C和N/C3的角平分線相交于點。，過點。做

EF//BC交AB于點、E,交/C于點尸，過點。作。。1/C于點D,下列四個結(jié)論：

?EF=BE+CF；②點。到A42c各邊的距離相等；（3）ZBOC=90°+-ZA；④設加，AE+AF=n,

2

貝1%昉.其中結(jié)論正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

例4.（2021?廣東省八年級期末）如圖，△NBC的三邊N3,