三角形?？冀獯痤}題型-2024-2025學(xué)年湖南八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題分類匯編（含答案）

專題03三角形?？冀獯痤}題型

三角形的三條線段有關(guān)問題

（23-24八年級上?湖南長沙?開學(xué)考試）

1.如圖，是△NBC的中線，BE是△48。的中線.

⑴在ABED中作邊上的高.

⑵若的面積為20,BD=5,則點￡到邊的距離為多少？

（22-23七年級下?湖南長沙?階段練習(xí)）

2.如圖，在RtZ\/8C中，/B4c=90。,AM,NN分別為邊上的高和中線，且

45=5cm,AC=12cm,BC=13cm.

⑴求NW的長；

⑵求/\ACN和AABN的周長之差；

⑶若E為邊的三等分點，連接CE,與NN交于尸點，記△，斯的面積為岳，ACFN的

面積為邑，求E-5的值.

（23-24八年級上?湖南岳陽?期中）

3.如圖，已知CD平分B尸是△/BC的高，若//=70。，ZABC=60°,求NBMC

的度數(shù).

試卷第1頁，共10頁

A

F

(23-24七年級上?湖南衡陽?開學(xué)考試)

4.如圖所示，已知長方形N2CD長為10,寬為6,E在CD上，尸在/。上，其中三塊空白

面積分別為4、8、3,那么陰影部分的面積為多少？

三角形角度的有關(guān)應(yīng)用

(23-24八年級上?湖南郴州?期末)

5.在△/BC中，NC>NB,AE平分NBAC.

(2)如圖(1),ADJ.BC于D,猜想NE4D與4B,NC有什么數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由；

(3)如圖(2),F為4E上一點、,FDLBHD,這時NEED與48、/C又有什么數(shù)量關(guān)系？

;(不用證明)

(4)如圖(3),廠為/E的延長線上的一點，F(xiàn)￡>_L2c于。，這時乙4即與NB,/C又有什么

數(shù)量關(guān)系？.(不用證明)

(22-23七年級下?湖南株洲?期中)

6.如圖，248。和48DC的平分線相交于點E,BE的延長線交于點凡且

試卷第2頁，共10頁

Z1+Z2=90°.

⑴試說明N3〃CD;

（2）猜想N2與N3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（23-24八年級上?湖南岳陽?期中）

7.如圖，已知C￡＞平分B尸是△NBC的高，若乙4=70。，AABC=60°,求/BMC

的度數(shù).

（23-24八年級上?湖南郴州?期末）

8.如圖，在△NBC中，ZBAC-.ZABC:ZC=7-.8-.3,BE與AD交于點F,求/EEC的度

數(shù).

A

9.如圖，A,8分別是NM9N兩邊,CW上的動點（均不與點。重合）.

圖1圖2圖3

試卷第3頁，共10頁

⑴如圖1,當(dāng)/MON=58。時，△/OB的外角NN3N,NM48的平分線交于點C,則

/ACB=

（2）如圖2,當(dāng)/MON=〃。時，ZOAB,NO8/的平分線交于點。，則=。（用

含n的式子表示）;

（3）如圖3,當(dāng)NMON=a（a為定值，0。<（/<90。）時，BE是的平分線，BE的反向

延長線與/CM3的平分線交于點?隨著點42的運(yùn)動，NF的大小會改變嗎？如果不會,

求出NF的度數(shù)（用含a的式子表示）；如果會，請說明理由.

（23-24八年級上?湖南岳陽?開學(xué)考試）

10.如圖1,已知三角形。是線段切延長線上一點,AE//BC.

圖1圖2圖3

(1)求證：ZDAC=ZB+ZC；

（2）如圖2,過C作CH〃4B交4E于H,4/平分N7X4E,CF平分ZDCH,若

乙BCD=70。，求/尸的度數(shù);

（3）如圖3,CH//AD,點P為線段NC上一點，點G為射線4D上一動點，線段尸。，GM

分別交。/于點。、其中NDGM=2NPGM,NCPQ=2ZGPQ,又過P作PN〃GM,

請直接寫出』QPN與ZBAC的數(shù)量關(guān)系.

等腰三角形的性質(zhì)與判定

（23-24八年級上?湖南郴州?期末）

11.如圖所示，已知是等邊三角形，點￡、尸分別在CD上,

NBEM=20°,求ZMFD的度數(shù).

（23-24八年級上?湖南常德?期中）

試卷第4頁，共10頁

12.如圖，已知等邊三角形E4D和正方形/BCD,試求/BEC的度數(shù).

（22-23八年級上?湖南株洲?期末）

13.已知：如圖，NB=NC,AB//DE,EC=ED.

AD

J,

BEC

（1）求證：ADEC為等邊三角形；

⑵求ZBE。的度數(shù).

（23-24八年級上?湖南長沙?期中）

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,。是8C邊的中點，連接4D,BE平分NABC交AC于

點E.

⑴若NC=40。，求/24D的度數(shù)；

（2）過點￡作即〃BC交于點R求證：尸是等腰三角形.

（3）若BE平分△48C的周長，△/￡尸的周長為15,求△4BC的周長.

（23-24八年級上?湖南湘西?階段練習(xí)）

15.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為

”等角三角形

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把

這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與

原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

試卷第5頁，共10頁

理解概念

(1)如圖1,在Rt448C中，ZACB=90°,CDVAB,請寫出圖中兩對“等角三角形

概念應(yīng)用

(2)如圖2,在△4BC中，CD為角平分線，N/=40。，^5=60°.求證：CD為△4BC的

等角分割線.

(3)在△4BC中，N/=42。，CD是△4BC的等角分割線，直接寫出N/C5的度數(shù).

(23-24八年級上?湖南永州?期中)

16.△ABC中，4B=/C,點。是直線BC上一個動點，點E是射線NC上的點,

AD=AE,設(shè)Z8/O=x°,ZCDE=y0.

,y=；

(2)如圖(1)當(dāng)。在線段8C上，E在線段/C上求x和了之間的關(guān)系式；

(3)當(dāng)點。在直線8c上，點￡在射線/C上，(2)中x和y之間的關(guān)系還成立嗎？說明你的

理由.

(22-23八年級上?湖南長沙?期末)

17.若。,4c分別為△/BC三邊的長.

⑴若滿足6(。-6)-。3-°)=0,試判斷△NBC的形狀，并說明理由；

(2)若滿足/+2/+02-26(4+0)=0,試判斷△4BC的形狀，并說明理由.

試卷第6頁，共10頁

!題型04|全等三角形綜合問題

（2023?湖南岳陽?一模）

18.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,直線/經(jīng)過點力,過點3、C分別作/的垂線，垂足

分別為點。、E.有以下三個條件：?AD=CE；@BC//I；③N48C=45。.請從中選擇

一個合適的作為已知條件，使DE=DB+EC.

（1）你添加的條件是（填寫序號）；

（2）添加了條件后，請證明。E=Z）3+EC.

（23-24八年級上?湖南岳陽?期中）

19.如圖，點￡＞、￡分別在線段/民/C上，AE=AD,不添加新的線段和字母，從下列條

件①N3=NC,@BE=CD,（3）ABAC,④44Z）C=44口中選擇一個使得

A4BE%ACD.

（1）你選擇的一個條件是（填寫序號）

（2）根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程.

（23-24八年級上?湖南懷化?期中）

20.問題探究：

小圣遇到這樣一個問題：如圖1,△4BC中，AB=6,AC=4,是中線，求4D的取值范

圍.他的做法是：延長/。到E,使DE=AD,連接BE,證明△BEDg△C/。，經(jīng)過推理

和計算使問題得到解決.請回答：

試卷第7頁，共10頁

A

A

(1)小圣證明△BED”4CAD的判定定理是:

(2)AD的取值范圍是；

方法運(yùn)用：

(3)如圖2,是△NBC的中線，在上取一點尸，連接并延長交/C于點E,使

AE=EF，求證：BF=AC.

(23-24八年級上?湖南株洲?期末)

21.如圖，等腰Rt4/CB中，ZACB=90°,AC=BC,E點為射線C8上一動點，連接

AE,作/尸_L/E且4斤=/￡.

F

⑴如圖1,過尸點作尸GJ./C交/C于G點，求證："GF知ECA；

AJJ

(2)如圖2,連接班'交/C于。點，若無=3，求證：E點為8c中點；

BC4

(3)如圖3,當(dāng)E點在C2的延長線上時，連接BF與/C的延長線交于。點，若器=；,則

BE3

AD

CD一一

(23-24八年級上?湖南岳陽?階段練習(xí))

22.如圖，在△4BC和△ZJCE中，^ACB=90°,CA=CB,ZDCE=90°,CD=CE.

試卷第8頁，共10頁

G

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)點。在8C上時，CB=10,AE=6,則S四邊切泣=

(2)如圖2,當(dāng)瓦C、E三點共線時，。在/C上，連接80、AE,尸是4D的中點，過點N

作4G||2D,交的延長線于點G,求證：/6=/5且/6，/￡；

(3)如圖3,B、C,E三點共線，且/D3E=15。，將線段/￡繞點/以每秒10。的速度逆時針

旋轉(zhuǎn)，同時線段BE繞點E以每秒20。的速度順時針旋轉(zhuǎn)180。后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)

動時間為f秒，當(dāng)BE回到出發(fā)時的位置時同時停止旋轉(zhuǎn)，則在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)BE和/￡互

相平行時，請直接寫出此時/的值.

(23-24八年級上?湖南長沙?階段練習(xí))

23.新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”.

(1)如圖1中，若△/8C和△/0￡互為“兄弟三角形"，AB=AC,則

①NBAD/C4E(填＞、＜或=)

②連接線段8。和CE,貝UADCE(填＞、＜或=)

⑵如圖2,△NBC和△/￡)￡互為“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,

NBAC=NDAE=90°,B、D、E三點在一條直線上，AC與BE交于點F,若點尸為NC

中點，

①求/8EC的大??；

②CE=2,求的面積；

⑶如圖3,△FDC和互為“兄弟三角形"，DC=DF,DA=DE,

ZFDC=ZADE=90°,C、F、A三點在一條直線上，CD交AB于點、B,B、F、E三點

試卷第9頁，共10頁

在一條直線上，AB=AC,NCAB=90。，廠的面積為18,求4尸的長.

試卷第10頁，共10頁

1.(1)見解析

⑵點￡到8c邊的距離為2

【分析】本題主要考查了復(fù)雜作圖，以及三角形中線的性質(zhì)：

(1)根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可；

(2)首先根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分可得△￡8。的面積是5,再

利用三角形的面積公式進(jìn)而得到的長.

【詳解】(1)解：如圖所示：

(2)解：是△4BC的中線，

?,S/XABD=5Si\ABC，

；BE'是的中線，

-S^BED=5S.ABD，

???△ABC的面積為20,

.?.△EAD的面積是20+4=5,

:.L.DBEH=5,

2

：.-x5EH=5

2f

--EH=2,

即點￡到5。邊的距離為2.

60

2.(1)—cm

(2)7cm

⑶±5

【分析】本此題主要考查了三角形的高線和中線，三角形的面積，

(1)根據(jù)三角形面積公式得=據(jù)此可得的長；

(2)的周長為/C+CN+/N,ANBN的周長為48+8N+4V,據(jù)此可得和

答案第1頁，共29頁

的周長之差;

(3)根據(jù)點E是邊的三等分點，分兩種情況討論如下：①當(dāng)8￡=(旬?時，根據(jù)/N為

中線得5.曲=15,即&+S四邊形BEFN=15,再根據(jù)=得其年=10,即

邑+S四邊形班網(wǎng)=1°，據(jù)此即可得出岳-邑的值；當(dāng)=時，同理可得

SI+S四邊形BEFM=15,5+S四邊形BEFN=2。，據(jù)此即可得出&-S?的值.

【詳解】(1)在RtZ“18C中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,BC=13,為BC邊上

的高，

：.S^c=^BC-AM=^AB-AC,

即AM的長度為石'Cm；

(2)為BC邊上的中線，

BN=CN,

???△/CN的周長為：AC+CN+AN,

A/8N的周長為：AB+BN+AN,

.?.△/CN的周長-“8N的周長=/C-NN=7,

即A4CN和“BN的周長之差為7cm；

(3)?.,點E是邊的三等分點，

,有以下兩種情況：

①當(dāng)時，如圖1所示：

在RtzX/BC中，ABAC=90°,AB=5,

4c=12

S=—AB?/(7=—x5xl2=30,

^AAHRLr,22

???/N為8c邊上的中線,

答案第2頁，共29頁

..S“BN=/S“BC=15,

,,S/^EF+S四邊形BEFN=15,即S]+S四邊形BEFN=15,

-：BE=-AB,

3

=

?,^ACBE=^^ABC10，

??SKFN+S四邊形BEfN-1。，即$2+S四邊形BEFN=1。，

S]—S?=5；

②當(dāng)/￡=時，如圖2所示:

同理得：Si+S四邊形BEFN=15,

vAE=-AB,

3

:.BE=-AB,

3

2「「

=

S&CBE=]S^gc=2。,即S2+S四邊形BEFN2。,

/.S]—邑=—5.

綜上所述：的值為±5.

3.115°

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和、角平分線的定義及三角形的高，熟練掌握三角形內(nèi)角

和、角平分線的定義及三角形的高是解題的關(guān)鍵；由題意易得』NC8,然后根據(jù)角平分線

的定義及三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解

【詳解】解：???//=70。，ZABC=60。，

ZACB=180°-N/-ZABC=50°.

?.?CD平分N/C8,

答案第3頁，共29頁

ZACD=-ZACB=25°.

2

尸為NC邊上的高，

ZAFB=ZCFB=90°,

/BMC=ZCFB+//CD=90。+25。=115。.

4.陰影部分的面積為30

【分析】本題考查了三角形面積以及矩形的性質(zhì)，知道同底等高的長方形面積是三角形面積

的2倍是解本題的關(guān)鍵.

△AEB的面積等于長方形面積的一半，AAFB的面積與△FDC的面積和等于AFBC的面

積.同理的面積與AEBC的面積和等于“M的面積.據(jù)此列出等量關(guān)系式解答即

可.

【詳解】解:設(shè)四個陰影三角形面積分別為①、②、③、④，中間四邊形面積為⑤，如圖

所示.

則八AFB的面積與△EDC的面積和等于的面積.

即：4+@+8+@+3=@+(5)+@,

⑤二①+③+(8+3+4)-②-④(1),

△ADE的面積與AEBC的面積和等于AAEB的面積，

貝U：4+8+②+3+④=①+⑤+③，

即：⑤=②+④+(8+4+3)-①-③(2),

⑴+(2)式得：⑤+⑤=(8+4+3)x2,

⑤=8+4+3=15,

陰影面積=6義10-(4+8+3+⑤)

=6x10-(4+8+3+15),

=30,

答案第4頁，共29頁

答：陰影部分的面積為30.

5.(1)20°

(2)NEAD=g/C-；NB,理由見解析

(3)NEFD=gNC-；NB

(4)Z^FD=|ZC-1Z5

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180

度，角平分線平分角，是解題的關(guān)鍵：

(1)三角形的內(nèi)角和定理，求出NC48,/ZMC的度數(shù)，角平分線求出NC4E的度數(shù)，

再根據(jù)角的和差關(guān)系求出/及4。的度數(shù)即可；

(2)同法(1)即可得出結(jié)論；

(3)過點A作4G，8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合(2)中的結(jié)論，即可得出結(jié)果；

(4)過點A作根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合(2)中的結(jié)論，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：在△/BC中，/。=75。,/8=35。，

.-.ABAC=180°-75°-35°=70°,

■：AD1BC,

AADC=90°,

.?./C4D=90°-75°=15°,

???4E1平分/8/C,

ZEAC=-ABAC=35°,

2

ZEAD=ZEAC-ZCAD=20°；

(2)解：在△/8C中，ZBAC+ZC+Z,B=l80°,

.-.ZBAC=1SO0-ZC-ZB,

ADIBC,

.?.//DC=90°,

ZCAD90°-ZC,

???/E平分NB/C,

8—)=9。。-*6，

答案第5頁，共29頁

.-.ZEAD=ZEAC-ZCAD=90°--ZC--ZB-90°+ZC=-ZC--ZB；

2222

(3)解：過點A作NG，8C,

.-.DF//AG,

ZEFD=ZEAG,

由(2)可知：ZEAG=-ZC--ZB,

22

AEFD=-AC--AB-

22

故答案為：NEFD="-”；

22

(4)解：過點A作/

：.DF//AH,

：.ZAFD=ZEAH,

由(2)可知：ZEAH=-ZC--ZB,

22

：.AAFD=-AC--AB-

22

故答案為：N4FD="=NB.

22

6.⑴見解析

(2)N2+/3=90。，理由見解析

【分析】本題考查了角平分線，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)等知識.熟練掌握角平分

線，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

答案第6頁，共29頁

(1)由和。的平分線相交于點E,可得44助二2/1,/CDB=2/2,

ZEDF=Z2,由Nl+N2=90。，可得乙48。+/CQ5=2(/1+/2)=180。，進(jìn)而可證

AB//CD；

(2)由Nl+N2=90。，可得/DEF=/DEB=90。,由/3+/EDF=/DEB,可得

Z3+Z2=90°.

【詳解】(1)解：和。的平分線相交于點￡,

；?/ABD=2/T,ZCDB=2Z2,ZEDF=Z2,

vZl+Z2=90°,

ZABD+ZCDB=2(Z1+Z2)=180°,

??.AB//CD；

(2)解：N2+N3=90。，理由如下：

vZl+Z2=90°,

ZD￡F=Z1+Z2=9O°,

ABED=180°-/DEF=90°

vZ3+ZEDF=/DEB=90°,

.-.Z2+Z3=90°.

7.115°

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和、角平分線的定義及三角形的高，熟練掌握三角形內(nèi)角

和、角平分線的定義及三角形的高是解題的關(guān)鍵；由題意易得/力C5,然后根據(jù)角平分線

的定義及三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解

【詳解】解：?.?乙4=70。，ZABC=60。,

Z.ACB=180°-ZA-AABC=50°.

???CD平分/ZCB,

ZACD=-ZACB=25°,

2

???B尸為/C邊上的高，

ZAFB=ZCFB=90°,

/./BMC=ZCFB+ZACD=90°+25°=115°.

8.150°

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和是180。,

答案第7頁，共29頁

四邊形內(nèi)角和是360。是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。，求出NC的度數(shù)，再根據(jù)

四邊形CDFE內(nèi)角和是360。求出ZEFD的度數(shù)即可.

【詳解】解：；在△NBC中，NBAC:N4BC:NC=1:8:3,且三角形內(nèi)角和是180。，

???AD工BC于點、D,BELAC于點、E,

，在四邊形底E中，ZADC=90°,NFEC=90°,NC=30。，

ZEFD=360°-90°-90°-30°=150°,

故NEED的度數(shù)為150。.

9.(1)61

⑵(90+；〃)

(3)立廠的大小不變，=

【分析】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/2\?/+乙憶43=180。+58。，根據(jù)角平分線的定義計算即

可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/OA4+/O42=(180-〃)。，根據(jù)角平分線的定義計算即可;

(3)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/曲-/民4O=/MON=a,根據(jù)角平分線的定義、三角

形的外角性質(zhì)計算即可.

【詳解】(1);NMON=58。

ZOBA+ZOAB=122°

;.NNBA+NMAB=238。

vBC、AC分別為/NBA,AMAB的平分線

:.ZCBA=-NBA,ZCAB=-ZMAB

22

ZCBA+ZCAB=|x(NNBA+NMAB)=90°+gx58。

.?.NNC3=180°-(90°+；x58°)=90°-；x58°=61°

故答案為：61.

(2)-：AMON=n°,

NOBA+ZOAB=180。-〃°

vBD,47分別為/O48,/O3/的平分線

答案第8頁，共29頁

ZABD=-NOBA,ABAD=-NOAB

22

NABD+ABAD=gx{AOBA+NO/8)=；(180°一”。)

NADB=180。-；(180°-相)=90°+1n°

故答案為：(90+；〃).

(3)NF的大小不變，=

2

理由如下：ZNBA-ZBAO=AMON=a

又BE是/NB4的平分線，/尸是/CM8的平分線，

NEBA=-ZNBA,NBAF=-ZBAO

22

:.NF=NEBA-NBAF=1(NNBA-NBA=

10.(1)見解析

(2)55°

⑶ZBAC+180°=32QPN

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180。，三角形的外角的性質(zhì)，掌握性

質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)得出NCUEn/B,/EAC=NC,進(jìn)而可得出結(jié)論.

(2)過點尸作尸G〃/E,設(shè)ND4F=NF4E=x,NDCF=NFCH=y,可證x+y=55。，

x+70°+y+Z^FC=180°,即可求解.

(3)設(shè)NPGM=x,ZGPQ=y,可證出x+y+/0PN=18O。，再證出

x+y^nO°-^ZBAC,即可求角軋

【詳解】(1)證明：AE//BC,

:.NDAE=NB,NEAC=NC,

■：NDAC=ZDAE+NEAC,

；.NDAC=NB+NC.

(2)解：如圖：過點尸作尸G〃/E,

答案第9頁，共29頁

圖2

?：AF、CF平分NDAE,ZDCH,

^ZDAF=ZFAE=x,ZDCF=ZFCH=y,

???AE//BC,AB=ADAE=2x,

-CH//AB,.?.NB+/BCH=180。,

即：2x+700+2歹=180。，

:,x+y=55°,

vFGHAE,BC//AE,

:.FGHBCHAE,

：.NBCF=/CFG=70°+y,ZFAE+/AFG=180°,

即x+700+y+4產(chǎn)C=180。，：.ZAFC=55°.

故答案為：55°.

(3)解：設(shè)NPGM=x,ZGPQ=y,

4DGM=2x,/CPQ=2y,

?:PN〃GM,

???ZGPN+/PGM=180。，

??.x+y+NQ7W=180。，

vZGPC+Z^PG=180°,

??.3y+NZ尸G=180。，

???ZDGP=/GAP+/APG,

???/G"+/4PG=3x,

???NG"=18()o—/A4C,

???180°-ABAC+ZAPG=3x,

???NAPG=3x—180。+ABAC,

3j；+3x-180°+Z^C=180°,

答案第10頁，共29頁

.-.x+y=1200--ABAC,

3

???120。一；/34。+/。尸N=180。，

ZBAC+1SO°=3ZQPN.

11.40°

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，過點M作

馳AB"CD"MG,/MFD=/FMG,/EMG=NBEM=20。,再由等邊三角形的性質(zhì)得

至l」NEMF=60。，再由角的和差關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點"作MG〃力3,

???AB//CD,

ABHCD//MG,

:?NMFD=/FMG,NEMG=NBEM=20。,

???△￡五必是等邊三角形，

ZEMF=60°,

ZMFD=ZFMG=ZEMF-ZEMG=40°.

12.150°

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???已知等邊△石4D與正方形45CD,

AD=DE,AD=DC

從而DE=DC,NCED=/ECD

ZCDE=NADC-/ADE=90°-60°=30°

???/CED=/ECD=（180。-30。）=75°

同理乙4防二75。

ZBEC=360°-ZCED-NAEB-ZAED

=360°-75o-75o-60o=150°.

答案第11頁，共29頁

故答案為：150。.

13.⑴見解析

(2)120°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和=/C可得NDEC=ZC,得到QE=C。，再由改二助

可得DE=CD=EC,即可證明；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義即可求解.

【詳解】(1)-AB//DE,

NDEC=NB,

???/B=NC,

/.NDEC=NC,

/.DE=CD,

???EC=ED,

DE=CD—EC,

.?.△DEC為等邊三角形.

(2)?「△DEC為等邊三角形，

/￡￡>C=/C=60。，

...NBED=NEDC+/C=60°+60°=120°.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的定義，熟

練掌握等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(1)50°

⑵見解析

(3)30

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，

(1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得到乙4。8=90。，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可

求出2/3C的度數(shù)，即可求解；

(2)只要利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明=即可解決問題；

(3)根據(jù)△/斯的周長可得/￡+/8=15,利用BE平分△4BC的周長，即可求解.

【詳解】(1)解：?.?NB=/C,

ZC=NABC,

vZC=40°，

答案第12頁，共29頁

AABC=40°,

AB=AC,。為BC的中點，

AD±BC,

ABDA=90°,

:./BAD=90°-/ABC=90°-40°=50°；

(2)證明：平分/4BC,

NABE=ZEBC,

EF//BC,

；.NEBC=ZBEF,

???NEBF=NFEB,

BF=EF,

尸是等腰三角形；

(3)解：的周長為15,

AE+AF+EF=\5,

???BF=EF,

AE+AF+BF=15,

即AE+AB=15,

?:BE平分4ABC的周長，

AE+AB=BC+CE^15,

:.^ABC的周長NE+AB+BC+CE=15+15=30.

15.(1)AABC馬AACD,4ABC與ABCD,CO與△BCD是“等角三角形”；(2)見解

析;(3)111?；?4?；?06?；?2。；

【分析】本題是三角形綜合題，考查了“等角三角形”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)

角和定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“等角三角形”的定義解答；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出4ACB,根據(jù)角平分線的定義得到

NACD=NDCB=gNACB=40°,根據(jù)“等角三角形”的定義證明即可；

2

(3)分A/CD是等腰三角形，DA=DC、D4=/C和△3CZ)是等腰三角形，DB=BC、

￡>C=3￡>四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算即可.

答案第13頁，共29頁

【詳解】解：(1)"ZACB=90°,CDVAB,

：.AA+ZACD=90°,ZACD+ZDCB=90°

；.NA=NDCB,同理，ZB=ZACD,

■■ZACB=ZADC=ZCDB,

A4BC與A4CD,MBC與ABCD,A/CZ)與△BCD是“等角三角形”;

(2),??在△ABC中，NN=40。，ZB=6Q0,

；.NACB=180°一NA-NB=80°

???8為角平分線，

...ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

,-.ZACD=ZA,NDCB=NA,

CD=DA,

?.?在中，ZDCB=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-ZDCB-Z5=80°,

ZBDC=NACB,

CD=DA,ZBDC=ZACB,NDCB=ZA,NB=ZB,

二。為ZUBC的等角分割線；

(3)當(dāng)A/C￡＞是等腰三角形，

如圖2,￡M=DC時，ZACD=ZA=42°,

ZACB=NBDC=42O+42°=84°,

當(dāng)A/CD是等腰三角形，

如圖3,N=時，ZACD=ZADC=69°,

=69°+42°=111°,

當(dāng)A/CD是等腰三角形，C￡?=/C的情況不存在,

當(dāng)△BCD是等腰三角形，

如圖4,Z)C=AD時，

答案第14頁，共29頁

c

.-.ZACB=92°,

當(dāng)△2。是等腰三角形,

如圖5,=時，

ZBDC=/BCD,

設(shè)ZBDC=ZBCD=x,

則/3=180°-2x,

貝ij乙4cz>=/B=180°-2x,

由題意得，180°-2x+42°=x,

解得，x=74。，

ZACD=180°-2x=32°,

；.NACB=106°,

當(dāng)ABCD是等腰三角形，CD=CB的情況不存在，

：.^ACB的度數(shù)為111。或84?；?06?；?2。.

16.(1)20；10

⑵x=2y

(3)當(dāng)點。在C2的延長線上或點。在BC的延長線上，點E在射線NC上時，(2)中的結(jié)論

仍然成立，即x=2九理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)即

可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)即可得出

答案第15頁，共29頁

結(jié)論；

(3)根據(jù)題意分①當(dāng)點。在C5的延長線上，點￡在射線4C上時，②點。在的延長

線上，點￡在射線ZC上時，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行等量替換即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???45=/C,

??.NABC=60°=/ACB,

ABAC=180。-ZABC-ZACB=60°,

vAD=AE,AADE=70°,

?.ZADE=ZAED=70°,

/DAE=180?！?ADE-ZAED=40°,

/./BAD=x°=ABAC-ADAC=60°-40°=20°,

???NADC=/BAD+/ABC=20°+60°=80°,

ZCDE=y°=ZADC-/ADE=80°-70°=10°,

故答案為：20,10；

(2)解：如圖(1),

圖⑴

vAB=AC,

???/B=/C,

???ZADC和NAED分別是和ACDE的外角,

??.ZADC=NB+/BAD=ZB+x,

ZAED=ZC+ZCDE=ZC+y,

AD=AE,

???/ADE=ZAED,

AADE-y=AAED,

/B+x-y=ZC+y,

???x=2y;

答案第16頁，共29頁

(3)解：當(dāng)點。在C8的延長線上或點。在5C的延長線上，點￡在射線NC上時，(2)

中的結(jié)論仍然成立，即x=2y.理由如下：

①如圖3,當(dāng)點。在C8的延長線上，點E在射線NC上時，

；./ABC=ZACB,

V/ABC和ZACB分別是△48。和CDE的外角,

；.NABC=NADB+ABAD=AADB+x,

ZACB=ZE+ZCDE=ZE+y,

AD=AE,

???/ADE=ZE,

Z.ADB+y=Z-ACB-y,

/ABC—x+y=Z.ACB—y,

x=2y；

②如圖4,點。在BC的延長線上，點K在射線/C上時,

AD=AE,

???/ADE=ZE,

???在中，ZCU￡=180。—2/E,

??./BAC=x—NDAE=x—180。+2/E,

答案第17頁，共29頁

VAB=AC,

180°—(x—180°+1Z.E)x

???/ABC=ZACB=----------------------------L=180。----/E,

22

在中，ZDCE=lS00-y-ZE；

???ZACB=ZDCE,

Y

.?.180°---Z￡'=180o-y-Z￡',

???x=2y,

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形

外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是利用三角形的內(nèi)角和定理得出等式.

17.(1)等腰三角形，理由見解析

(2)等邊三角形，理由見解析

【分析】(1)將所給式子等號左邊因式分解，得到a=b,即可判斷；

(2)根據(jù)題中要求配成完全平方式，利用非負(fù)性可推出。=6=c,即可推出△NBC為等邊

三角形.

【詳解】(1)解：?.?6(a-b)-c(b-。)=0,

b(a-6)+c(tz-6)=0,

(6+c)(a-6)=0,

二。-6=0或6+c=0,

:?a=b,即△NBC是等腰三角形；

(2)a2+2b2+c2-2b{a+c)=0,

u~+b~—2ab++c~-2bc=0,

???(a-Z>)2+(b-c)~=0,

。-6=0且6-c=0,

:.a=b=c,即△NBC為等邊三角形.

【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方式的應(yīng)用，等腰三角形和等邊三角形的

定義，解題關(guān)鍵是熟練將式子變形.

18.⑴①，證明見(2)

(2)證明見解析

【分析】(1)添加條件①③，可以通過AAS證明△84D之A4CE,得到。8=￡4進(jìn)而證明

答案第18頁，共29頁

DE=DB+EC.

(2)先證明/區(qū)0/=/4￡。=90。，ZDBA=ZCAE,可以通過AAS證明△8/。四△/(?￡,

得到DB=EA進(jìn)而證明。E=+EC.

【詳解】(1)解：添加條件①，證明見(2)；

故答案為：①

(2)證明：CE11,

ABDA=ZAEC=90°,ZDBA+ZDAB=90°,

ABAC=90°,

：.ZDAB+ZCAE=90°,

ZDBA=NCAE,

又；AD=CE,

AACE(AAS),

DB=EA

:.DE=EA+AD=DB+EC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)

鍵.

19.⑴①或③或④

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定方法選擇一個條件即可；

(2)根據(jù)所選條件，利用相應(yīng)的判定方法證明三角形全等即可.

【詳解】(1)解:：/E=/￡>,乙4=//,可以利用SAS,AAS,ASA三種方法證明AABE%ACD；

故可以選擇的條件可以是：①或③或④

(2)選擇①：

在和"CO中

Z=NA

<ZB=ZC,

AE=AD

.-.^ABE^ACD(AAS)；

選擇③

答案第19頁，共29頁

在和A/CD中

AB=AC

AE=AD

.-.AABE^ACD(SAS)；

選擇④

在A4BE和"CZ>中

ZADC=NAEB

<AE=AD,

NA=NA

LABE迫AACD(ASA).

【點睛】本題考查了添加一個條件證明三角形，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

20.⑴邊角邊(SAS)

(2)1<40<5

(3)證明過程見詳解

【分析】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，等角對

等邊的知識的綜合，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形的判定方法即可求解；

(2)運(yùn)用三角形三邊關(guān)系“兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊”，由此即可求解；

(3)如圖所示，延長/。至點G,使得/￡=OG,可證△BDGgZ\Cn4(SAS),可得

AC=BG,再根據(jù)E4=好可證NB尸G=/BGF,由此即可求解.

【詳解】(1)解:4D是8c的中線，

：.BD=CD,

?.?延長4D到E,使DE=AD,ZBDE=ZCDA,

.?.△BED段ACAD(SAS),

???運(yùn)用的是“邊角邊(SAS)”判定定理證明，

故答案為：邊角邊(SAS).

答案第20頁，共29頁

(2)解：由(1)可知，ABED^CAD(SAS),

AC=BE=4,

在中，AB-BE<AE<AB+BE,

???6-4<4￡<6+4,即2</￡<10,

???AE=2AD,

.,.1<AD<5,

故答案為：1<4D<5.

(3)證明：如圖所示，延長4。至點G,使得DG,

G

???力。是中點，5.ZBDG=ZCDA,AE=DG,

AABDG^ACDA(SAS)f

BG=AC,/G=/CAD,

-EA=EF,

???/LEAF=ZEFA,

?：ZAFE=/BFD,ZCAF=ZG,

???/BFG=/BGF,

；.BF=BG,且5G=4C,

：.BF=AC.

21.(1)見解析

(2)見解析

(3)T

【分析】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì).

答案第21頁，共29頁

(1)易證/C4￡=Nb，即可證明A/G尸會AEC4,即可解題；

(2)過尸點作尸GL/C交/C于G點，根據(jù)(1)中結(jié)論可得FG=/C=8C,即可證明

A]J/G1

JGD知BCD,可得。G=CD,根據(jù)一=3可證——=—,根據(jù)NG=CE,AC=BC,即

CDAC2

可解題；

AT4

(3)過尸作尸的延長線交于點G,易證左=亍，由(1)(2)可知

AC

"GFAECA,2GF知DCB,可得CD=OG,AG=CE,即可求得否的值，即可解

題.

【詳解】(1)證明：-ZFAG+ZCAE=90°,ZFAG+ZF=90°,

/CAE=NF,

在44G尸和△ECZ中，

ZAGF=ZECA

<ZF=/CAE

AF=AE

.?.△/G衿△￡C4(AAS)；

(2)證明：過尸點作尸G,4c交/C于G點,

?：AAGF%ECA

FG=AC=BC,

在△尸GO和△5CZ)中,

ZFDG=ZCDB

<ZFGD=ZC=90°,

FG=BC

:AFGDRBCD(AAS),

/.DG=CD,

ADr

,/——=3,

CD

.4Gc

??-----=2,

CD

答案第22頁，共29頁

?4G_1

,,一，

AC2

???AG=CE,AC=BC

,CE1

?,一，

BC2

??.E點為中點；

(3)解：過尸作尸G，/。的延長線交于點G,如圖,

BC4

???一