重難專(zhuān)題05三角形中的范圍與最值問(wèn)題

專(zhuān)題05三角形中的范圍與最值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題題型二：面積問(wèn)題題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題題型五：倍角問(wèn)題題型六：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題題型七：最大角問(wèn)題題型八：三角形中的平方問(wèn)題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結(jié)】1、在解三角形專(zhuān)題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類(lèi)問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【典例例題】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題例1．（2023·云南·昆明市第三中學(xué)高一期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求A；(2)從三個(gè)條件：①的面積為；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】(1)在中，由得：，又，，即，，又，．(2)選擇①：因?yàn)椋瑒t，得，由余弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是．選擇②：，因?yàn)椋?，由正弦定理得，，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，故，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是．選擇③：．因?yàn)?，，由正弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍是.例2．（2023·重慶·高一階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】(1)依題意，，由得，，所以在上的值域?yàn)?(2)由得，，，則有，解得，在中，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=“，即有，又因?yàn)?，則，因此，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為．題型二：面積問(wèn)題例3．（2023·貴州黔東南·高一期中）在面積為S的△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.【解析】(1)解：在中，由三角形面積公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?例4．（2023·浙江·高二階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且，求面積的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)?，所以，且?2)，．，．．因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以,．例5．（2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，D的邊的中點(diǎn)，．(1)求角C；(2)求面積的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)?，所以所以，故，又；所?(2)在中，由余弦定理可得因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積．題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題例6．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)設(shè)，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍．【解析】(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所以?2)由正弦定理得，所以，其中，，又，所以，若存在最大值，則有解，則，即，所以解得，即m的取值范圍是（1，4）．例7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，由余弦定理得：，解得?所以.(2)由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范圍為.例8．（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的面積.(1)求邊c；(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所?(2)在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因?yàn)闉殇J角三角形，則,所以，所以，所以.題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題例9．（2023·河北秦皇島·二模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?(2)由（1）知.因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?例10．（2023·浙江溫州·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范圍.【解析】(1)由正弦定理得：，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.(2)（或者用積化和差公式一步得到）∵，∴，所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.題型五：倍角問(wèn)題例11．（2023·安徽·蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】根據(jù)題意得，，故，在中，由正弦定理，得，因，所以，故，所以的取值范圍為，故答案為：.例12．（2023·陜西·無(wú)高一階段練習(xí)）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_____.【答案】（）【解析】解：，由正弦定理可得：，當(dāng)為最大角時(shí)，，，當(dāng)為最大角時(shí)，，，，可得：，、故，故答案為：．題型六：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題例13．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，因?yàn)?(2)由正弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?例14．（2023·山西呂梁·二模（文））銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.題型七：最大角問(wèn)題例15．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)，是銳角的一邊上的兩點(diǎn)，試在邊上找一點(diǎn)，使得最大”．如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)為過(guò)，兩點(diǎn)且和射線相切的圓的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A． B．1或 C．2或 D．1【解答】解：經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為：，對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必與軸相切于點(diǎn)，即圓的方程中的值必須滿足，解得或．即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，而過(guò)點(diǎn)，，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)，，的圓的半徑，，故點(diǎn)為所求，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故選：．例16．（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）（理科）、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在上，的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由題意，橢圓中，，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，不妨取是橢圓的右準(zhǔn)線，則方程為：點(diǎn)在上，不妨取設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則正切函數(shù)在上單調(diào)增，的最大值為，即的最大值是故選：．例17．（2023春?遼寧期末）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：，結(jié)合正弦定理，得，，得，，整理，得，同除以，得，由此可得，、是三角形內(nèi)角，且與同號(hào)，、都是銳角，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．故選：．題型八：三角形中的平方問(wèn)題例18．（2023秋?河南期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．若的平分線與交于點(diǎn)，則A． B． C． D．3【解答】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，由正弦定理，可得，解得，因?yàn)榈钠椒志€與交于點(diǎn)，所以，即，所以由，可得，在中，由余弦定理可得．故選：．例19．（2023?洛陽(yáng)二模）已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為A． B． C． D．【解答】解：由三角形面積公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值，的最大值為．故選：．例20．（2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于,故，則，則，故答案為：題型九：等面積法、張角定理例21．（2023秋?廈門(mén)校級(jí)期中）給定平面上四點(diǎn)，，，，滿足，，，，則面積的最大值為．【解答】解：，，，，，，設(shè)到的距離為，則由等面積可得，，面積的最大值為．故答案為：．例22．（2023春?奎屯市校級(jí)期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由題意得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選：．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由和正弦定理可得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：2．（2023·河北保定·高一保定一中校考期末）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，M是BC的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，連接PM．若，則線段PM的最大值為（

）A．2.5 B． C．3 D．4【答案】C【解析】由題意，繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，P是的中點(diǎn)，則設(shè),則，，，故選：C.二、填空題3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三角形中，，D是邊上一點(diǎn)，且滿足，則的最大值是__________．【答案】【解析】∵，．由余弦定理得，則，方法一：判別式法：令，有解，，解得．∴方法二：換元法．令上式令，則有，，∴故答案為：三、解答題4．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）記的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若AD是角A的平分線且，求的最小值.【解析】（1）由題意，得，由正弦定理，得.由余弦定理，得.又，所以.（2）因?yàn)榕c的面積之和等于的面積，且AD為角A的平分線，由（1）知，，所以，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以，所以的最小值為4.5．（2023·安徽六安·高三校聯(lián)考期末）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足______．(1)求角的大小：(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，且，求的最小值．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．）【解析】（1）若選條件①，由正弦定理得：，，，，，即，又，；若選條件②，由正弦定理得：，，即，，又，.（2），，；，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即的最小值為.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件（若兩個(gè)都選，以第一個(gè)評(píng)分），求：(1)求角的大??；(2)求邊中線長(zhǎng)的最小值.條件①：;條件②：.【解析】（1）選條件①：,因?yàn)橹?，所以，由正弦定理可得，即，，?所以.選條件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，?所以.（2）由（1）知，的面積為，所以，解得，由平面向量可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故邊中線的最小值為.7．（2023·浙江·高二浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足______.(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）選①時(shí)，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，因?yàn)?，?選②時(shí)，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故.選③時(shí)，，利用正弦定理得：，又，，整理得.所以，整理得，，故.（2）由于的面積解得.在中，由余弦定理得故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，的最小值為6.8．（2023·福建寧德·高三校考期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)如圖，若，存在點(diǎn)D滿足，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋?，即，所?所以,所以或，得（舍）或，所以.（2）設(shè)在直角中，，在中，由正弦定理，且，所以，，因?yàn)?，所以，?所以，因?yàn)椋?，?dāng)即時(shí)，有最大值為1，此時(shí)最大，則最小為.9．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)證明：．【解析】（1）由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．（2）方法一：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)線段的中垂線交于點(diǎn)D．．在中，由正弦定理，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，由（1）．故．則．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立.由（1），故．則．10．（2023·江西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足(1)證明：；(2)求的最小值.【解析】（1）證明：由∴得，即，又，∴則由正弦定理，得.（2）由（1）有，則則由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.11．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期末）在中，，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別記為，，.(1)求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）由正弦定理邊角互化可得，，由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，從而得，即，（2）由余弦定理得，因?yàn)樵谥?，均大于，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.12．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，的面積為S．且有關(guān)系式：．(1)求C；(2)求的最小值．【解析】（1）由二倍角公式，得，即，由正弦定理、余弦定理，得，，又因?yàn)?，所以．?）注意到．由余弦定理，得，所以．當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.13．（2023·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┰谥?，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且角A為銳角.(1)求角B；(2)若的面積為，求b的最小值.【解析】（1）由可得：，由角A為銳角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，滿足角A為銳角，所以由，可得b的最小值為.14．（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）中，設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求的大??；(2)若的周長(zhǎng)等于3，求的面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，所以，?因?yàn)椋?，所以，?（2）在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，所以，解得或（舍去），故，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.15．（2023春·江蘇徐州·高一校考競(jìng)賽）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知．(1)求;(2)若為的中點(diǎn),,求的面積的最大值．【解析】（1）解:由題知,在中,由正弦定理可得:,代入題中有:①,因?yàn)?所以,所以,代入①中化簡(jiǎn)可得:,因?yàn)?所以,故,即,因?yàn)?所以;（2）由（1）知,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,兩邊同時(shí)平方可得:,即,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,化簡(jiǎn)可得:,因?yàn)?故面積最大值為.16．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谀┮阎狾為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足(1)求∠A大小；(2)若D為BC上近C三等分點(diǎn)（即），且，求S最大值．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，可得：由，可得，則，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.（2）由題意可得：，則，可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即，則.故S最大值為.17．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的面積為，角所對(duì)的邊為．點(diǎn)為的內(nèi)心，且．(1)求的大?。?2)求的周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，可得，因?yàn)椋裕?）設(shè)周長(zhǎng)為，，如圖所示，由（1）知，所以，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，，分別是，的平分線，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，可得周長(zhǎng)．18．（2023·遼寧·高二沈陽(yáng)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，的面積為，求b，c的值；(2)若，且為鈍角三角形，求k的取值范圍．【解析】（1）中，，由正弦定理得，∴，由得；，∴①；又的面積為，∴②；由①②組成方程組，解得，或，；（2）當(dāng)，，∴；當(dāng)B為鈍角時(shí)，，即，解得；當(dāng)C為鈍角時(shí)，，即，解得；所以為鈍角三角形，k的取值范圍是或．19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角三角形中,角的對(duì)邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,求的取值范圍.【解析】（1）解:由題知,,,所以有:①,在中,由正弦定理可得:,代入①中有:,展開(kāi)移項(xiàng)后可得:,即,因?yàn)槭堑娜?所以上式可化為:,在中,由余弦定理可得:,因?yàn)?所以;（2）在中,過(guò)點(diǎn)向作垂線,垂足為,過(guò)點(diǎn)作的垂線,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),如圖所示:因?yàn)闉殇J角三角形,所以點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）,即,由（1）可得,且,所以,所以,因?yàn)?所以,即,由,所以,解得:,所以,令,,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減,故,即.20．（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)樵谥校裕烧叶ɡ磉吔腔セ茫海淼茫海凰裕捎嘞叶ɡ砜傻茫海驗(yàn)椋裕?）在中，由正弦定理得，，所以，，所以；