熱點(diǎn)4-3正弦定理與余弦定理解三角形5大題型（原卷版）

熱點(diǎn)43正弦定理與余弦定理解三角形5大題型“解三角形”是每年高考?？純?nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中。對(duì)于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；而是考查兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用，多與三角變換、平面向量等知識(shí)綜合命題。以實(shí)際生活為背景（如測(cè)量、航海、幾何天體運(yùn)行和物理學(xué)上的應(yīng)用等）考查解三角形問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應(yīng)給予關(guān)注；在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題。一、解三角形中常用結(jié)論及公式1、解三角形所涉及的其它知識(shí)（1）三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=.（2）三角形邊角不等關(guān)系：.2、誘導(dǎo)公式在中的應(yīng)用（1）；（2）；3、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于.二、已知三邊（或三邊之比，或三內(nèi)角正弦之比）判定三角形的形狀設(shè)a是三角形中最長(zhǎng)的邊，則（1）若，則是銳角三角形；（2）若，則是直角三角形；（3）若，則是鈍角三角形；或（1）若,則是銳角三角形；若,則是直角三角形；若,則是鈍角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。四、解三角形應(yīng)用題的常見(jiàn)情形1、實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2、實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形．3、設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的角．4、涉及四邊形等非三角形圖形時(shí)，可以作輔助線(xiàn)，將圖形分割成三角形后求解．【題型1利用正余弦定理解三角形的邊與角】【例1】（2023秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為已知，，（1）證明：（2）若求的周長(zhǎng).【變式11】（2023秋·天津南開(kāi)·高三崇化中學(xué)?？计谀┰谥?，角所對(duì)的邊分別為．已知且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【變式12】（2023春·安徽·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．（1）求的值;（2）若，求的周長(zhǎng)與面積．【變式13】（2023·福建·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．【題型2利用正余弦定理判斷多邊形形狀】【例2】（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足，則的形狀為（）A．直角三角形B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形【變式21】（2022·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分條件但非必要條件B．必要條件但非充分條件C．充要條件D．以上皆非【變式22】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【變式23】（2022秋·北京·高三?？计谥校┰谥?，已知，那么一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等邊三角形【變式24】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，，則一定是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無(wú)法確定【題型3利用正余弦定理解多三角形問(wèn)題】【例3】（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）在中，角，，對(duì)邊分別為，，，且，.（1）求；（2）若，邊上中線(xiàn)，求的面積.【變式31】（2022·江蘇常州·華羅庚中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角的對(duì)邊分別是，.（1）求的值；（2）設(shè)是的角平分線(xiàn)，求的長(zhǎng).【變式32】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求角；（2）若為線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求.【變式33】（2022秋·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，AD//BC，且，.（1）若，，求梯形的面積；（2）若，證明：為直角三角形．【變式34】（2022秋·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四邊形的面積為4，求的值.【題型4利用正余弦定理解與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題】【例4】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，的面積為S．且有關(guān)系式：．（1）求C；（2）求的最小值．【變式41】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積．【變式42】（2022秋·遼寧·高三朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，.設(shè).（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【變式43】（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三角形ABC中，若.（1）求角A的大?。唬?）如圖所示，若，，求長(zhǎng)度的最大值.【變式44】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足（1）證明：；（2）求的最小值.【題型5利用正余弦定理解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【例5】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問(wèn)島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測(cè)量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測(cè)點(diǎn)與，共線(xiàn)，目測(cè)點(diǎn)與，共線(xiàn)，測(cè)出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A．18B．16C．12D．21【變式51】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來(lái)進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距20米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測(cè)得，則教學(xué)樓AB的高度是（）A．20米B．米C．米D．25米【變式52】（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》卷九“勾股”中有一測(cè)量問(wèn)題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)索長(zhǎng)幾何?這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當(dāng)繩索與底面夾角為75°時(shí)繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長(zhǎng)為（）A．米B．米C．米D．米【變式53】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖（2），傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑到的位置，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開(kāi)到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm，則當(dāng)傘完全張開(kāi)時(shí)，的余弦值是（）A．B．C．D．【變式54】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，測(cè)得的大小為60°，點(diǎn)C，D的距離為200m，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（）A．100mB．C．D．200m（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022秋·河南駐馬店·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為．已知．則（）A．B．C．D．2．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則C等于（）A．B．C．D．3．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（）A．1B．C．2D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形5．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（）A．B．C．D．6．（2022·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定為直角三角形D．若，則可以是鈍角三角形7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則______．8．（2021秋·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一艘船上午8：00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°方向，且與它相距海里，則此船的航行速度是______海里/