河北省鄭口中學(xué)、雞澤縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

河北省鄭口中學(xué)、雞澤縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．2．已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（

）A． B． C．1 D．23．已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．24．如圖，在正三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，記，則（

）A． B．C． D．5．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過直線反射，反射光線恰好過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A．始終過定點(diǎn) B．若，則或C．若，則或2 D．當(dāng)時(shí)，始終不過第三象限11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），且，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡長度為B．點(diǎn)到平面的距離是定值C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知過點(diǎn)的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為．13．已知向量，若共面，則.14．如圖，在正三棱柱中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)求邊上的高所在的直線方程.16．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與直線的夾角的余弦值.17．如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.(1)求證：四邊形為正方形；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知直線過定點(diǎn)P.(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程；(2)若直線過點(diǎn)且交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，記的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時(shí)直線的方程.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.

參考答案1．【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由直線，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以.故選A.2．【答案】B【分析】根據(jù)得到，根據(jù)數(shù)量積為求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故選B.3．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，又直線過，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，所以.故選D.4．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算將所求向量用基底表示化簡即得.【詳解】如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹匦?，故，又點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，故.故選A.5．【答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于線的對稱找出對稱點(diǎn)，結(jié)合光線反射性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)設(shè)為，則，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為，即.故選C.6．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選C.7．【答案】D【詳解】由題意知，點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可得點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，，如圖所示，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是.故選：D.8．【答案】B【詳解】如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：B.9．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷B；根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷D.【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，，設(shè)，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選ABD.10．【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：：，令，得，過點(diǎn)，A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，重合，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，得或2，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，：始終過，斜率為負(fù)，不會(huì)過第三象限，故D正確.故選：ACD11．【答案】BCD【詳解】對于A，因?yàn)?，即，所以，即點(diǎn)在底面內(nèi)是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A錯(cuò)誤；對于B，在正方體中，，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，又平面，所以點(diǎn)到平面的距離是定值，故B正確；對于C，因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成角，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為定值2，記點(diǎn)在平面的投影為，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；對于D，到直線的距離為，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，故D正確.故選：BCD.12．【答案】（答案不唯一：或）【詳解】由題意若過點(diǎn)的直線在坐標(biāo)軸上的截距均為0，則顯然滿足題意，即，否則設(shè)滿足題意的直線方程為，將代入得a=2，即也滿足題意.故答案為：（答案不唯一：或）.13．【答案】5【分析】根據(jù)共面向量基本定理，即可列式求解.【詳解】因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，即，解得：，，.故答案為：5.14．【答案】【詳解】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，于是，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)，則，，故，即直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.故答案為：．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，再由兩點(diǎn)求出斜率，最后由點(diǎn)斜式方程求出即可；（2）由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】求三角形一邊的高所在的直線方程時(shí)，可利用點(diǎn)斜式求解，由于高線過三角形一個(gè)頂點(diǎn)，與對邊垂直，借助垂直求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.16．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先證，再由線線平行正線面平行即可；（2）由題意建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因?yàn)槭侵比庵瑒t，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，故平面；?）如圖，因?yàn)橹比庵?，故可以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于是，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，故可取，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以即直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)或或；(2)24，.【分析】（1）求出直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況討論求解即可；（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，求出直線交軸的正半軸的點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸的點(diǎn)，求出面積，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）直線，即，令即即，若直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.若直線不過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，若，則，所以直線的方程為，若，則，所以直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或.（2）由題意可知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線，令，則；令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，故的最小值為24，此時(shí)，所以直線.19．【答案】(1)證明見