黑龍江省牡丹江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

2023~2024學(xué)年度上學(xué)期高一11月月考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊第一章~第四章4.5.2.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，，，則（

）A． B． C． D．3．已知，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，，則4．設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．86．若，則（

）A．5 B．7 C． D．7．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．已知集合，對于它的任一非空子集，可以將中的每一個元素都乘再求和，例如，則可求得和為，對所有非空子集，這些和的總和為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．，B．至少有個，使能同時(shí)被和整除C．，D．每個平行四邊形都是中心對稱圖形10．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．的圖象關(guān)于y軸對稱C．在定義域上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域?yàn)?1．下列說法正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為2C．的最小值為4D．的最小值為212．已知函數(shù)若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，若，則a的值為．14．函數(shù)的定義域?yàn)?15．某單位建造一個長方體無蓋水池，其容積為，深3m.若池底每平米的造價(jià)為150元，池壁每平米的造價(jià)為120元，則最低總造價(jià)為元.16．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對任意，總存在使得，則的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．計(jì)算下列各式的值：(1)；(2).18．已知命題，，命題，.(1)若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p，q至少有一個為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．已知，，且.(1)求ab的最小值；(2)求的最小值.20．已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.21．已知函數(shù)（且）.(1)若在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，求a的值；(2)解關(guān)于x的不等式.22．已知函數(shù)為常數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明(2)討論零點(diǎn)的個數(shù)并說明理由．1．C【分析】根據(jù)題意直接可得集合中只有元素2，由交集的定義可得答案.【詳解】由集合則.故選：C2．B【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，即，因此?故選：B.3．D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，故A錯誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯誤；∵，，顯然不能得到，例如當(dāng)，時(shí)，，故C錯誤；若，，則，故D正確.故選：D.4．A【分析】由不等式性質(zhì)及特殊值法判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分必要性的定義即可確定答案.【詳解】由且，必有且；當(dāng)且時(shí)，如，不滿足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要條件．故選：A．5．D【分析】利用指數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，，則.故選：D6．C【分析】對兩邊平方化簡可求出的值，然后對變形，分子分母同除以，再代值可得答案.【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，所以原?故選：C.7．A【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后將不等式化為,則可得出不等式解集.【詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以且，由，得，即，解得，即關(guān)于的不等式的解集是.故選：A.8．B【分析】先計(jì)算出集合的非空子集個數(shù)，然后結(jié)合新定義計(jì)算結(jié)果所出現(xiàn)的情況，把結(jié)果相加【詳解】因?yàn)樵?，，，，，在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，則對的所有非空子集中元素執(zhí)行乘再求和，則這些和的總和是．故選：B.9．AB【分析】AB選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；C選項(xiàng)，根據(jù)所有實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，得到C為假命題；D選項(xiàng)為全稱量詞命題，不合要求.【詳解】中，當(dāng)時(shí)，滿足，所以A是真命題B中，能同時(shí)被和整除，所以B是真命題C中，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的平方非負(fù)，即，所以C是假命題D是全稱量詞命題，所以不符合題意.故選：AB．10．AD【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則，所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域上不具有單調(diào)性，函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?，故BC錯誤，D正確，故選：AD．11．AC【分析】對A考慮運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)驗(yàn)證；對于BCD，運(yùn)用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原則判斷即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又無解，故不能取到等號，故D錯誤.故選：AC.12．CD【分析】首先根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，得到，，即可得到答案.【詳解】函數(shù)的圖象圖所示：設(shè)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，即.故選：CD13．【分析】利用集合的包含關(guān)系列方程即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.故．故答案為：-2.14．【分析】根據(jù)分式函數(shù)和根式函數(shù)，由求解.【詳解】解：由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：15．8160【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)長，寬，∴，∴，總造價(jià).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.故答案為：816016．【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)及其單調(diào)性可求得的值，求出函數(shù)在上的值域，以及函數(shù)在上的值域，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，，在上單調(diào)遞減，則，可得，，在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，根?jù)題意有，的范圍為.故答案為：.17．(1)(2)4【分析】（1）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出答案.【詳解】（1）原式=；（2）原式.18．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)命題是真命題，將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，即可求的取值范圍；（2）求命題q為真命題時(shí)的取值范圍，再求兩個集合的并集.【詳解】（1）若命題p為真命題，則對恒成立，因此，解得.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2）若命題q為真命題，則，即，解得或.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或；若命題p，q至少有一個為真命題，可得或或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.19．(1)(2)【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用基本不等式中的常數(shù)代換技巧求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，即ab的最小值為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.20．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，則，并檢驗(yàn)，即可；（2）化簡得，求出對稱軸，分，兩種情況分別求得函數(shù)的最大值，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）由題知，，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以.（2）.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，所以，解得.綜上所述，存在正數(shù)，使得在區(qū)間上的最大值為5.21．(1)或(2)答案見解析【分析】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出絕對值方程求解即可；（2）利用對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，列出不等式組，討論參數(shù)a的范圍，即可得到解集.【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，所以，解得或.（2）因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式解集為.22．(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）由單調(diào)性的定義證明，（2）由換元法與二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解，【詳解】（1）當(dāng)，且時(shí)，是單調(diào)遞減的．證明：設(shè)任意，則，，，，，，，故當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減的（