湖南省邵東市 2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）．A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知直線與不重合，則“直線與的斜率相等”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要3．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且為的中點(diǎn)，，則的值分別為（

）

A． B． C． D．5．到直線的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．若直線：關(guān)于直線l：對(duì)稱(chēng)的直線為，則的方程為（

）A． B．C． D．7．公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．①三棱錐中，點(diǎn)P到面的距離為定值②過(guò)點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為③直線與面所成角的正弦值的范圍為④當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B．過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線的方程為C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是10．已知圓及點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓心的坐標(biāo)為B．若點(diǎn)在圓上，則直線的斜率為C．點(diǎn)在圓外D．若是圓上任一點(diǎn)，則的取值范圍為．11．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，，將翻折成，且平面平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球半徑為C．三棱錐與三棱錐體積之和的最大值為D．存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的大小為三、填空題（本大題共3小題）12．第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)女子10米跳臺(tái)跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計(jì)某社團(tuán)一位運(yùn)動(dòng)員10次跳臺(tái)跳水的訓(xùn)練成績(jī)：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為.13．曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．14．記函數(shù)的最小正周期為.若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）求過(guò)點(diǎn),且與直線垂直的直線方程；（2）已知直線，.若，求的值.16．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求外接圓的方程；(2)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(3)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求出直線的斜率.17．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積.18．已知平面四邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.(1)證明：；(2)若M是線段上一點(diǎn)，且平面，①求三棱錐的體積；②求二面角的平面角的余弦值.19．已知圓的方程為．(1)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；(2)已知，直線與圓交于M，N（異于A點(diǎn)）兩點(diǎn)，若直線的斜率之積為2，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】B【解析】將直線化成斜截式，前系數(shù)即為直線斜率，通過(guò)斜率求傾斜角．【詳解】將直線化成斜截式得，所以直線斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，則，即，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】因?yàn)閮蓷l直線與不重合，由“與的斜率相等”可得“與平行”；由“與的平行”則可得“與的斜率相等”或“與的斜率均不存在”，即“與的斜率相等”是“與的平行”的充分不必要條件.故選：A.3．【答案】B【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，則向量在向量上的投影向量為:.故選：B4．【答案】C【詳解】連接，，所以的值分別為.故選：C

5．【答案】C【詳解】設(shè)到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得或.選項(xiàng)中符合條件的點(diǎn)為.故選：C6．【答案】D【詳解】聯(lián)立，解得，即與l的交點(diǎn)為.又點(diǎn)在上，設(shè)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，所以直線的斜率，從而直線的方程為，即.故選：D7．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.8．【答案】D【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建系如圖：,，，設(shè),則，所以設(shè)面的一個(gè)法向量為，則令得，對(duì)于①：到平面的距離為，故①正確；對(duì)于②：連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，又面，面，面，同理可證面，又，所以面面，所以過(guò)點(diǎn)P且平行于面的平面被正方體截得的多邊形為，它是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故面積為，故②正確；對(duì)于③：設(shè)直線與面所成角為，則，，，所以直線與面所成角的正弦值的范圍為，故③正確；對(duì)于④：當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)三棱錐的外接球球心，，，解得，所以外接球半徑滿(mǎn)足：，三棱錐的外接球表面積為，故④正確；綜上：①②③④均正確.故選：D9．【答案】BC【詳解】直線中，令，得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故A正確.當(dāng)時(shí)，過(guò)，兩點(diǎn)所有直線的方程為，故B錯(cuò)誤.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都等于零時(shí)，直線方程為：，故C錯(cuò)誤.設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，所以三角形的面積，故D正確.故選：BC10．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓心坐標(biāo)可判斷A選項(xiàng)，通過(guò)點(diǎn)代入圓的方程求得的值，進(jìn)而由斜率公式可求的斜率并可判斷B選項(xiàng)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)，利用圓心到的距離可得的取值范圍并可判斷D選項(xiàng)；【詳解】將把轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則，如圖所示：對(duì)于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)點(diǎn)在圓上，則有，化簡(jiǎn)得，解得.即，所以直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，即，故D正確.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，連接，由已知可得，，，，故，則，即，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，設(shè)，，則，，因?yàn)椋瑒t，，易得，則點(diǎn)、、，，，若存在點(diǎn)，使得，，化簡(jiǎn)可得，即，則，這與矛盾，故不存在點(diǎn)，使得，①錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，，取的中點(diǎn)，連接、，則，，且，，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，平面，同理可證平面，所以，三棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)球的半徑為，由勾股定理得，即，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，由A選項(xiàng)可知，平面，，因?yàn)?，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，令，可得，即，所以，令，令，易知函?shù)在上連續(xù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，因此，存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的大小為，D對(duì).故選：BCD.12．【答案】75【分析】先進(jìn)行排序，后按照百分位數(shù)概念計(jì)算可得.【詳解】先將成績(jī)進(jìn)行排序：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.由于，60%分位數(shù)為第6和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均值.即.故答案為：75.13．【答案】【詳解】曲線，即.直線過(guò)定點(diǎn)，如圖：，當(dāng)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則直線夾在了直線與直線之間，而，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓心到直線的距離為：，解得，所以，故直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．【答案】1【詳解】函數(shù)的最小正周期為T(mén)，則由，得,∴，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，∴，且，則,∴，由可得，而，，可得，所以，故，故答案為：1.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，直線斜率為，∴所求直線斜率為，∵直線過(guò)點(diǎn),∴直線方程為，整理得.（2）∵，∴，∴或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足要求.綜上得，.16．【答案】(1)(2)或(3)，【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即；（2）由（1）得圓心，半徑，又，可知圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，則直線方程為，即；綜上，直線方程為x=1或.（3）由D1,4在圓外，則在中，，，又，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，此時(shí)為等腰直角三角形，即圓心到直線的距離，即，解得.

17．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)椋瑒t，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②【詳解】（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，,平面平面,則平面,又平面，則,又,因平面，故平面,因平面，故；（2）①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面,則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故②如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,因，故,,設(shè)平面的法向量為，則由，可取，易得平面的法向量可取為，故，又由圖知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的平面角的余弦值為.19．【答案】(1)或(2)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的圓C的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為；當(dāng)斜率存在時(shí)，