2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明章末優(yōu)化總結(jié)課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2

PAGE章末檢測(三)推理與證明(時間：90分鐘滿分：100分)第Ⅰ卷(選擇題，共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的)1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行類比解析：由條件知S扇＝eq\f(1,2)lr.答案：C2．給出下列推理：①由A，B為兩個不同的定點，動點P滿意||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得點P的軌跡為雙曲線；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出數(shù)列{an}的前n項和Sn的表達(dá)式；③由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積為S＝abπ；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇．其中是歸納推理的命題個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：由題意知只有②是歸納推理．答案：B3．設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，則f2011(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：由條件知f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，故函數(shù)f(x)以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，故f2011(x)＝sinx.答案：A4．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，a5＝2，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比數(shù)列中積的關(guān)系在等差數(shù)列中應(yīng)為加，同理，等比數(shù)列中的乘方在等差數(shù)列中應(yīng)為積．答案：D5．奇數(shù)不能被2整除，32010－1是奇數(shù)，所以32010－1不能被2整除，上述推理()A．正確B．推理形式不正確C．錯誤，因為大前提錯誤D．錯誤，因為小前提錯誤解析：因為32010－1是偶數(shù)，所以小前提錯誤．答案：D6．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表依據(jù)規(guī)律，從2009到2011，箭頭的方向依次為()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：視察特例的規(guī)律知位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列．由此知從2009到2011為→↑，故選B.答案：B7．若0<a<1,0<b<1且a≠b，則在a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2和2ab中最大的是()A．a(chǎn)＋b B．2eq\r(ab)C．a(chǎn)2＋b2 D．2ab解析：因為0<a<1,0<b<1且a≠b，所以a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab，又0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b.答案：A8．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516……則數(shù)表中的數(shù)字2010出現(xiàn)在()A．第44行第75列 B．第45行第75列C．第44行第74列 D．第45行第74列解析：第n行有2n－1個數(shù)字，前n行的數(shù)字個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89個數(shù)字，∴2010在第89－15＝74列，故選D.答案：D9．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定解析：要比較P與Q的大小，只需比較P2與Q2的大小，只需比較2a＋7＋2eq\r(aa＋7)與2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)的大小，只需比較a2＋7a與a2＋7a＋12的大小，即比較0與12的大小，而0<12.故P<Q成立．答案：C10．設(shè)f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，則f2017(x)等于()A．－eq\f(1,x) B．xC.eq\f(x－1,x＋1) D.eq\f(1＋x,1－x)解析：計算f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，歸納得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N＋，從而f2017(x)＝eq\f(1＋x,1－x).答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝________.解析：前10項共運用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個奇數(shù)，a10為由第46個到第55個奇數(shù)的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(10×91＋109,2)＝1000.答案：100012．依據(jù)前面的推理，在下表的空白處添加相應(yīng)的結(jié)論.三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于底乘高的eq\f(1,2)三棱錐的體積等于底面積乘高的eq\f(1,3)三角形的面積等于三角形的周長與內(nèi)切圓半徑的積的eq\f(1,2)解析：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，圓心為O，三邊長分別為a、b、c，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面積和為S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.類似地，設(shè)三棱錐S-ABC的內(nèi)切球半徑為R，球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將三棱錐分割為四個小三棱錐O-SAB，O-SAC，O-SBC，O-ABC，其體積和為三棱錐S-ABC的體積，則V＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f(1,3)S表R.答案：三棱錐的體積等于三棱錐的表面積與內(nèi)切球半徑的積的eq\f(1,3)13．設(shè)a≥0，b≥0，a2＋eq\f(b2,2)＝1，則aeq\r(1＋b2)的最大值為______．解析：∵a≥0，b≥0，∴aeq\r(1＋b2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2a2)·eq\r(1＋b2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2a2＋1＋b2,2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)14．視察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝________.解析：視察各式簡單得m＝29＝512，留意各等式右面的表達(dá)式各項系數(shù)和均為1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，將m＝512代入得n＋p＋350＝0.對于等式⑤，令α＝60°，則有cos600°＝512·eq\f(1,210)－1280·eq\f(1,28)＋1120·eq\f(1,26)＋eq\f(1,16)n＋eq\f(1,4)p－1，化簡整理得n＋4p＋200＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋p＋350＝0，,n＋4p＋200＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－400，,p＝50.))∴m－n＋p＝962.答案：962三、解答題(本大題共4小題，共44分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)已知a＋b＋c＝1，求證：ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).證明：∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴將以上三個不等式相加，得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).16．(10分)設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中全部的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….將數(shù)列{an}各項依據(jù)上小下大，左小右大的原則寫成如圖所示的三角形數(shù)表：(1)寫出這個三角形數(shù)表中的第4行、第5行各數(shù)；(2)求a100.解析：(1)將前三行各數(shù)分別寫成2t＋2s的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此歸納猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.經(jīng)計算可得第4行各數(shù)依次是：17,18,20,24；第5行各數(shù)依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行數(shù)的個數(shù)與所在行數(shù)相同，即第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91個數(shù)．因此，a100應(yīng)當(dāng)是第14行中的第9個數(shù)．所以a100＝214＋28＝16640.17．(12分)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面體A-BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由．解析：猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A-BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如圖所示，連接BE，并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．18．(12分)設(shè)f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)(其中a>0，a≠1)．(1)請你推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)假如(1)中獲得一個結(jié)論，請你推想能否推廣并加以證明．解析：(1)5＝3＋2，且f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a＋a－1－a－5＋a5＋a－a－1－a－5,4)＝eq\f(a5－a－5,2).又g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．于是