2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明章末優(yōu)化總結(jié)課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2

PAGE章末檢測(cè)(三)推理與證明(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)第Ⅰ卷(選擇題，共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行類(lèi)比解析：由條件知S扇＝eq\f(1,2)lr.答案：C2．給出下列推理：①由A，B為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿意||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式；③由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積為S＝abπ；④科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇．其中是歸納推理的命題個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：由題意知只有②是歸納推理．答案：B3．設(shè)f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，則f2011(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：由條件知f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，故函數(shù)f(x)以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，故f2011(x)＝sinx.答案：A4．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，a5＝2，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的類(lèi)似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比數(shù)列中積的關(guān)系在等差數(shù)列中應(yīng)為加，同理，等比數(shù)列中的乘方在等差數(shù)列中應(yīng)為積．答案：D5．奇數(shù)不能被2整除，32010－1是奇數(shù)，所以32010－1不能被2整除，上述推理()A．正確B．推理形式不正確C．錯(cuò)誤，因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤D．錯(cuò)誤，因?yàn)樾∏疤徨e(cuò)誤解析：因?yàn)?2010－1是偶數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤．答案：D6．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表依據(jù)規(guī)律，從2009到2011，箭頭的方向依次為()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：視察特例的規(guī)律知位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列．由此知從2009到2011為→↑，故選B.答案：B7．若0<a<1,0<b<1且a≠b，則在a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2和2ab中最大的是()A．a(chǎn)＋b B．2eq\r(ab)C．a(chǎn)2＋b2 D．2ab解析：因?yàn)?<a<1,0<b<1且a≠b，所以a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab，又0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b.答案：A8．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516……則數(shù)表中的數(shù)字2010出現(xiàn)在()A．第44行第75列 B．第45行第75列C．第44行第74列 D．第45行第74列解析：第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字，∴2010在第89－15＝74列，故選D.答案：D9．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定解析：要比較P與Q的大小，只需比較P2與Q2的大小，只需比較2a＋7＋2eq\r(aa＋7)與2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)的大小，只需比較a2＋7a與a2＋7a＋12的大小，即比較0與12的大小，而0<12.故P<Q成立．答案：C10．設(shè)f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，則f2017(x)等于()A．－eq\f(1,x) B．xC.eq\f(x－1,x＋1) D.eq\f(1＋x,1－x)解析：計(jì)算f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，歸納得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N＋，從而f2017(x)＝eq\f(1＋x,1－x).答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．若數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，則a10＝________.解析：前10項(xiàng)共運(yùn)用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個(gè)奇數(shù)，a10為由第46個(gè)到第55個(gè)奇數(shù)的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(10×91＋109,2)＝1000.答案：100012．依據(jù)前面的推理，在下表的空白處添加相應(yīng)的結(jié)論.三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的面積等于底乘高的eq\f(1,2)三棱錐的體積等于底面積乘高的eq\f(1,3)三角形的面積等于三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑的積的eq\f(1,2)解析：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，圓心為O，三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個(gè)小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面積和為S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.類(lèi)似地，設(shè)三棱錐S-ABC的內(nèi)切球半徑為R，球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將三棱錐分割為四個(gè)小三棱錐O-SAB，O-SAC，O-SBC，O-ABC，其體積和為三棱錐S-ABC的體積，則V＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f(1,3)S表R.答案：三棱錐的體積等于三棱錐的表面積與內(nèi)切球半徑的積的eq\f(1,3)13．設(shè)a≥0，b≥0，a2＋eq\f(b2,2)＝1，則aeq\r(1＋b2)的最大值為_(kāi)_____．解析：∵a≥0，b≥0，∴aeq\r(1＋b2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2a2)·eq\r(1＋b2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2a2＋1＋b2,2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)14．視察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝________.解析：視察各式簡(jiǎn)單得m＝29＝512，留意各等式右面的表達(dá)式各項(xiàng)系數(shù)和均為1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，將m＝512代入得n＋p＋350＝0.對(duì)于等式⑤，令α＝60°，則有cos600°＝512·eq\f(1,210)－1280·eq\f(1,28)＋1120·eq\f(1,26)＋eq\f(1,16)n＋eq\f(1,4)p－1，化簡(jiǎn)整理得n＋4p＋200＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋p＋350＝0，,n＋4p＋200＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－400，,p＝50.))∴m－n＋p＝962.答案：962三、解答題(本大題共4小題，共44分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(10分)已知a＋b＋c＝1，求證：ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).證明：∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴將以上三個(gè)不等式相加，得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).16．(10分)設(shè){an}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中全部的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….將數(shù)列{an}各項(xiàng)依據(jù)上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成如圖所示的三角形數(shù)表：(1)寫(xiě)出這個(gè)三角形數(shù)表中的第4行、第5行各數(shù)；(2)求a100.解析：(1)將前三行各數(shù)分別寫(xiě)成2t＋2s的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此歸納猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.經(jīng)計(jì)算可得第4行各數(shù)依次是：17,18,20,24；第5行各數(shù)依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行數(shù)的個(gè)數(shù)與所在行數(shù)相同，即第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91個(gè)數(shù)．因此，a100應(yīng)當(dāng)是第14行中的第9個(gè)數(shù)．所以a100＝214＋28＝16640.17．(12分)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面體A-BCD中，類(lèi)比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明猜想是否正確及理由．解析：猜想：類(lèi)比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A-BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．18．(12分)設(shè)f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)(其中a>0，a≠1)．(1)請(qǐng)你推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來(lái)表示；(2)假如(1)中獲得一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推想能否推廣并加以證明．解析：(1)5＝3＋2，且f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a＋a－1－a－5＋a5＋a－a－1－a－5,4)＝eq\f(a5－a－5,2).又g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．于是