2024-2025學年高考數學一輪復習專題6.2平面向量的基本定理及坐標表示知識點講解含解析

專題6.2平面對量的基本定理及坐標表示【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解平面對量的基本定理及其意義，會用平面對量基本定理解決簡潔問題.2．駕馭平面對量的正交分解及其坐標表示.3．駕馭平面對量的加法、減法與數乘的坐標運算.4．培育學生的數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理、直觀想象等核心數學素養(yǎng).5.高考預料：（1）考查平面對量基本定理、坐標表示平面對量的加法、減法與數乘運算；（2）經常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數、解析幾何等學問相結合，以工具的形式出現．6.備考重點：(1)理解坐標表示是基礎，駕馭坐標運算的方法是關鍵；(2)解答與平面幾何、三角函數、解析幾何等交匯問題時，留意運用數形結合的數學思想，通過建立平面直角坐標系，利用坐標運算解題.【學問清單】1．平面對量基本定理平面對量基本定理假如是一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內隨意向量，有且只有一對實數，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內全部向量的一組基底．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．平面對量的坐標運算1.平面對量的正交分解把一個向量分解為兩個相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面對量的坐標表示(1)在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內的一個向量，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得，這樣，平面內的任一向量都可由x、y唯一確定，因此把叫做向量的坐標，記作，其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標．(2)若，則．3．平面對量的坐標運算(1)若，則；(2)若，則．(3)設，則，.3．平面對量共線的坐標表示向量共線的充要條件的坐標表示若，則?.【典例剖析】高頻考點一：平面對量基本定理及其應用【典例1】（2024·煙臺市教化科學探討院高一期末）在△中，為邊上的中線，為的中點，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.詳解：依據向量的運算法則，可得，所以，故選A.【典例2】（2024·山東高考模擬（文））如圖，在中，，是上一點，若則實數的值為________．【答案】【解析】由題意及圖，，又，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案為：．【總結提升】1.用平面對量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數乘運算．2.特殊留意基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內隨意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．【變式探究】1.（2025屆浙江省教化綠色評價聯盟5月適應性考試）如圖，在△中，點是線段上兩個動點，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖可知x，y均為正，設，共線，∴m+n=1,λ+μ=1，，則x+y=m+n+λ+μ=2，，則的最小值為，故選D.2.（2024·江西高考模擬（理））如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面對量基本定理，化簡，所以，即，故選：A．【易錯提示】平面對量基本定理的實質及解題思路(1)應用平面對量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．高頻考點二：平面對量的坐標運算【典例3】（2024·天津濱海新·高三月考）如圖，，點由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）.且，則實數對可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據平面對量基本定理和平行四邊形法則可知：若取，則，點在陰影區(qū)域內，A正確；若取，則，點在直線的上方，B錯誤；若取，則，點在直線的下方，C錯誤；若取，則，點在射線上，D錯誤，故選：A.【典例4】（浙江省2025屆高考模擬卷（三)）已知直線l:y=x+1與拋物線交于A,B兩點，點，，且，則__________．【答案】-3【解析】設，，則PQ=-1,-1，，，則有，代入方程，故有，同理，有，即可視為方程的兩根，則.故答案為-3.【總結提升】平面對量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．要留意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．【變式探究】1．（2024·吉林高考模擬（理））已知向量，其中，則的最小值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，故的最小值為.故選A2．（2024·上海高二課時練習）已知三點共線，則，則______，______．【答案】3【解析】由，可得，因為，即，可得，解得.故答案為：，.高頻考點三：平面對量共線的坐標表示【典例5】（2024·桂陽縣其次中學期中）已知、、，，.（1）求點、及向量的坐標；（2）求證：.【答案】（1），，（2）證明見解析【解析】（1）設點，即，解得：，故設點，即，解得，故（2），，故【典例6】（浙江省金麗衢十二校2025屆聯考）過點的直線與橢圓交于點和，且.點滿意，若為坐標原點，則|OQ|的最小值為_．【答案】【解析】設，，則于是，同理，于是我們可以得到.即，所以Q點的軌跡是直線，即為原點到直線的距離，所以【規(guī)律方法】平面對量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數．假如已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．【變式探究】1．（2024·山東諸城·高一期中）（多選題）已知，，則以下結論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BD【解析】，則.對于A選項，若，則，所以，或，A選項錯誤；對于B選項，若，則，，，則，，B選項正確；對于C選項，若，且，則，或，C選項錯誤；對于D選項，由向量模的三角不等式可得，D選項正確.故選：BD.2．（2024·陜西咸陽市試驗中學高考模擬（文））已知平面對量，，若向量與向量共線，則x=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得因為∥所以，解得故選：B高頻考點四：平面對量共線坐標表示的應用【典例7】（2024·江蘇高考模擬）如圖，在平面四邊形中，，，，點為線段的中點．若()，則的值為_______．【答案】【解析】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設AB＝BC＝2，則有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，過D作DF⊥x軸于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因為，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值為故答案為：【典例8】（2024·遼寧沈陽·高一期末）在平行四邊形中，，（1）若為上一點，且，用基底表示；（2）若，，且與平行，求實數的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）因為，所以由于則所以.【總結提升】利用兩向量共線求參數．假如已知兩向量共線，求某些參數的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．【變式探究】1.（2024·四川高考模擬（理））已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，，則______．【答案】【解析】向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，則sin2αcosα=0，即2sinαcosα=cosα；又，∴cosα≠0，∴sinα=，∴．故答案為：．2.（2024·上海高二課時練習）