2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專題6.2平面對(duì)量的基本定理及坐標(biāo)表示【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解平面對(duì)量的基本定理及其意義，會(huì)用平面對(duì)量基本定理解決簡(jiǎn)潔問題.2．駕馭平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3．駕馭平面對(duì)量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.4．培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).5.高考預(yù)料：（1）考查平面對(duì)量基本定理、坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；（2）經(jīng)常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等學(xué)問相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．6.備考重點(diǎn)：(1)理解坐標(biāo)表示是基礎(chǔ)，駕馭坐標(biāo)運(yùn)算的方法是關(guān)鍵；(2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時(shí)，留意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.【學(xué)問清單】1．平面對(duì)量基本定理平面對(duì)量基本定理假如是一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)隨意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．6．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面對(duì)量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面對(duì)量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面對(duì)量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，因此把叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．(2)若，則．3．平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若，則；(2)若，則．(3)設(shè)，則，.3．平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示若，則?.【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：平面對(duì)量基本定理及其應(yīng)用【典例1】（2024·煙臺(tái)市教化科學(xué)探討院高一期末）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【典例2】（2024·山東高考模擬（文））如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【解析】由題意及圖，，又，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案為：．【總結(jié)提升】1.用平面對(duì)量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算．2.特殊留意基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)隨意向量都可被這個(gè)平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．【變式探究】1.（2025屆浙江省教化綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟5月適應(yīng)性考試）如圖，在△中，點(diǎn)是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線，∴m+n=1,λ+μ=1，，則x+y=m+n+λ+μ=2，，則的最小值為，故選D.2.（2024·江西高考模擬（理））如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面對(duì)量基本定理，化簡(jiǎn)，所以，即，故選：A．【易錯(cuò)提示】平面對(duì)量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面對(duì)量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．高頻考點(diǎn)二：平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例3】（2024·天津?yàn)I海新·高三月考）如圖，，點(diǎn)由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)平面對(duì)量基本定理和平行四邊形法則可知：若取，則，點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，A正確；若取，則，點(diǎn)在直線的上方，B錯(cuò)誤；若取，則，點(diǎn)在直線的下方，C錯(cuò)誤；若取，則，點(diǎn)在射線上，D錯(cuò)誤，故選：A.【典例4】（浙江省2025屆高考模擬卷（三)）已知直線l:y=x+1與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)，，且，則__________．【答案】-3【解析】設(shè)，，則PQ=-1,-1，，，則有，代入方程，故有，同理，有，即可視為方程的兩根，則.故答案為-3.【總結(jié)提升】平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．要留意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．【變式探究】1．（2024·吉林高考模擬（理））已知向量，其中，則的最小值為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故的最小值?故選A2．（2024·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，則，則______，______．【答案】3【解析】由，可得，因?yàn)?，即，可得，解?故答案為：，.高頻考點(diǎn)三：平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示【典例5】（2024·桂陽縣其次中學(xué)期中）已知、、，，.（1）求點(diǎn)、及向量的坐標(biāo)；（2）求證：.【答案】（1），，（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，即，解得：，故設(shè)點(diǎn)，即，解得，故（2），，故【典例6】（浙江省金麗衢十二校2025屆聯(lián)考）過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)和，且.點(diǎn)滿意，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OQ|的最小值為_．【答案】【解析】設(shè)，，則于是，同理，于是我們可以得到.即，所以Q點(diǎn)的軌跡是直線，即為原點(diǎn)到直線的距離，所以【規(guī)律方法】平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．【變式探究】1．（2024·山東諸城·高一期中）（多選題）已知，，則以下結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BD【解析】，則.對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，或，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，，則，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，且，則，或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由向量模的三角不等式可得，D選項(xiàng)正確.故選：BD.2．（2024·陜西咸陽市試驗(yàn)中學(xué)高考模擬（文））已知平面對(duì)量，，若向量與向量共線，則x=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得因?yàn)椤嗡?，解得故選：B高頻考點(diǎn)四：平面對(duì)量共線坐標(biāo)表示的應(yīng)用【典例7】（2024·江蘇高考模擬）如圖，在平面四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若()，則的值為_______．【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB＝BC＝2，則有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，過D作DF⊥x軸于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因?yàn)?，所以，?,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值為故答案為：【典例8】（2024·遼寧沈陽·高一期末）在平行四邊形中，，（1）若為上一點(diǎn)，且，用基底表示；（2）若，，且與平行，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）因?yàn)?，所以由于則所以.【總結(jié)提升】利用兩向量共線求參數(shù)．假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．【變式探究】1.（2024·四川高考模擬（理））已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，，則______．【答案】【解析】向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，則sin2αcosα=0，即2sinαcosα=cosα；又，∴cosα≠0，∴sinα=，∴．故答案為：．2.（2024·上海高二課時(shí)練習(xí)）