2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率2.2建立概率模型課時作業(yè)含解析北師大版必修3

PAGE第三章概率2古典概型2．1古典概型的特征和概率計算公式2．2建立概率模型[課時作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．某學(xué)校食堂推出兩款實惠套餐，甲、乙、丙三位同學(xué)選擇同一款套餐的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：設(shè)兩款實惠套餐分別為A，B，列舉基本領(lǐng)件如下：可得甲、乙、丙三名學(xué)生選同一款套餐的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).答案：C2．有五根細(xì)木棒，長度分別為1，3，5，7，9(cm)，從中任取三根，能搭成三角形的概率是()A.eq\f(3,20) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,10)答案：D3．某班打算到郊外野營，為此向商店定了帳篷，假如下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是()A．肯定不會淋雨 B．淋雨的可能性為eq\f(3,4)C．淋雨的可能性為eq\f(1,2) D．淋雨的可能性為eq\f(1,4)答案：D4．某天放學(xué)以后，教室里還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué)．若他們依次走出教室，則第2位走出的是男同學(xué)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：2位男同學(xué)和2位女同學(xué)走出教室的全部可能依次有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6種，所以第2位走出的是男同學(xué)的概率是P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故選A.答案：A5．甲、乙兩人隨意入住三間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是________．解析：設(shè)房間的編號分別為A、B、C，事務(wù)“甲、乙兩人各住一間房”包含的基本領(lǐng)件有：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6個，基本領(lǐng)件總數(shù)為3×3＝9，所以所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是________．解析：設(shè)從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1，2，3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，組成實數(shù)對(a，b)，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15種，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)3種，所以b>a的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)為6個，由1，3，4組成的三位自然數(shù)為6個，由2，3，4組成的三位自然數(shù)為6個，共有24個．由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．高三(1)班班委會由4名男生和3名女生組成，現(xiàn)從中任選3人參與上海市某社區(qū)敬老服務(wù)工作，則選出的人中至少有一名女生的概率是________．(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)解析：設(shè)4名男生用1，2，3，4表示，3名女生用a，b，c表示，從中任選3人有35種選法，其中只有男生有4種選法，所以至少有一名女生的概率為eq\f(31,35).答案：eq\f(31,35)9．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．解析：法一：(列舉法)從三件產(chǎn)品中不放回地取出兩件，基本領(lǐng)件的個數(shù)不是很大，我們可以一一列舉出來．每次取一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，基本領(lǐng)件如下：(a1，a2)、(a1，b1)、(a2，a1)，(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)．共有6個，由于是隨機(jī)的抽取，我們認(rèn)為這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰有一件次品”這一事務(wù)，A共包含以下4個基本領(lǐng)件：(a1，b1)、(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).法二：(列表法)其次次所選產(chǎn)品選取結(jié)果第一次所選產(chǎn)品a1a2b1a1(a1，a1)(a1，a2)(a1，b1)a2(a2，a1)(a2，a2)(a2，b1)b1(b1，a1)(b1，a2)(b1，b1)因為每次取出后不放回，所以兩次所取產(chǎn)品不行能為同一產(chǎn)品，因此應(yīng)去掉表中左上到右下對角線上的三種結(jié)果，故共有9－3＝6(種)不同狀況，即n＝6.設(shè)事務(wù)A為“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品”，即含有b1的狀況，由表易知共有4種，即m＝4，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).法三：(坐標(biāo)法)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，可能出現(xiàn)的狀況如圖所示．因每次取出后不放回，所以應(yīng)去掉角平分線上的狀況，因此共有9－3＝6(種)狀況，其中，含有b1產(chǎn)品的基本領(lǐng)件共有4種，所以P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).法四：(樹狀圖法)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次的全部可能結(jié)果可用樹狀圖列舉如下：易得P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).10．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次．(1)若每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取出后放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．解析：(1)不放回地連續(xù)取兩次，其基本領(lǐng)件為(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共6個．記“取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”為事務(wù)A，則事務(wù)A由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)這4個基本領(lǐng)件組成，因而P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取兩次，其基本領(lǐng)件為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9個．記“取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品”為事務(wù)B，則事務(wù)B由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)這4個基本領(lǐng)件組成，因而P(B)＝eq\f(4,9).[B組實力提升]1．甲、乙兩人一起去巡游公園，他們約定各自獨(dú)立地從1號到6號景點中任選4個進(jìn)行巡游，每個景點參觀1小時，則最終一小時他們在同一個景點的概率是()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,36) D.eq\f(1,6)解析：甲、乙最終一小時所在的景點共有36種狀況，甲、乙最終一小時在同一個景點共有6種狀況．由古典概型的概率公式，知后一小時他們在同一個景點的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：D2．如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成果，其中一個數(shù)字被污損(圖中陰影表示)，則甲的平均成果超過乙的平均成果的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(9,10)解析：由88＋89＋90＋91＋92＝83＋83＋87＋99＋x，得x＝98，要使甲的平均成果超過乙的平均成果，則污損部分的數(shù)字應(yīng)比8小，即可取0，1，2，3，4，5，6，7，因此所求概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).答案：C3．盒中裝有形態(tài)、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于________．解析：從盒中隨機(jī)取出2個球的全部可能結(jié)果為(紅1，黃1)，(紅1，黃2)，(紅2，黃1)，(紅2，黃2)，(紅3，黃1)，(紅3，黃2)，(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅2，紅3)，(黃1，黃2)，共10種等可能發(fā)生的結(jié)果，所取出的2個球顏色不同包括：(紅1，黃1)，(紅1，黃2)，(紅2，黃1)，(紅2，黃2)，(紅3，黃1)，(紅3，黃2)，共6種可能結(jié)果，由古典概型的概率計算公式可得所求事務(wù)的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578)，在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是________．解析：十位是1的“漸升數(shù)”有8個，十位是2的“漸升數(shù)”有7個，…，十位是8的“漸升數(shù)”有1個；所以二位的“漸升數(shù)”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個，以3為十位比37大的“漸升數(shù)”有2個，分別以4、5、6、7、8為十位的“漸升數(shù)”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15個，所以比37大的“漸升數(shù)”共有2＋15＝17個，故在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是eq\f(17,36).答案：eq\f(17,36)5．一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3.這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外，其他完全相同．現(xiàn)隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解析：(1)由題意，(a，b，c)全部可能的結(jié)果為(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務(wù)A，則事務(wù)A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事務(wù)B，則事務(wù)eq\o(B,\s\up6(－))包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).6．在人群流量較大的街道，有一中年人叫賣“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3個黃球、3個白球(其體積、質(zhì)地完全相同)，旁邊立著一塊小黑板，上面寫道：摸球方法：一次從袋中隨機(jī)摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．(1)一次摸出的3個球均為白球的概率是多少？(2)一次摸出的3個球為2個黃球和1個白球的概率是多少？(3)假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月(按30天計)的收入．解析：(1)把3個黃球分別記為A，B，C，3個白球分別記為1，2，3.從6個球中隨機(jī)摸出3個球的全部基本領(lǐng)件為ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共20個