2024屆福建省長泰名校高三摸底聯(lián)考數(shù)學試題文試題

2023屆福建省長泰名校高三摸底聯(lián)考數(shù)學試題文試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直角坐標平面上，點的坐標滿足方程，點的坐標滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸3．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．4．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．155．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長寬高互不相等的長方體6．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．下列函數(shù)中，圖象關于軸對稱的為（）A． B．，C． D．8．已知函數(shù)的導函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A． B．C． D．10．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+112．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.14．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則_________．15．在邊長為的菱形中，點在菱形所在的平面內(nèi)．若，則_____．16．已知兩動點在橢圓上，動點在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點的直角坐標.18．（12分）已知函數(shù)().（1）討論的單調(diào)性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若對于任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的范圍；（2）當時，是否存在實數(shù)，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為，求的最小值.21．（12分）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點在拋物線上，直線與拋物線交于另一點.（1）設直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點的橫坐標；②當?shù)膬?nèi)切圓的面積為時，求直線的方程.22．（10分）某商場為改進服務質(zhì)量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由點的坐標滿足方程，可得在圓上，由坐標滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)形結合可得結果.【詳解】點的坐標滿足方程，在圓上，在坐標滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設兩圓內(nèi)公切線為與，由圖可知，設兩圓內(nèi)公切線方程為，則，圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數(shù)形結合思想的應用，屬于綜合題.數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.2．A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎題.3．C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題.4．B【解析】，∴，選B．5．C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形．故選：C．【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．6．C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【詳解】對于，當為內(nèi)與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內(nèi)與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設，則當為內(nèi)與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.7．D【解析】

圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關于原點(軸)對稱．8．D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.9．A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.10．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．11．C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./12．B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法的運算法則，考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質(zhì)的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14．【解析】

由題意可得，又由于為的中點，且點在軸上，所以可得點的橫坐標，代入拋物線方程中可求點的縱坐標，從而可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解：因為是拋物線的焦點，所以，設點的坐標為，因為為的中點，而點的橫坐標為0，所以，所以，解得，所以點的坐標為所以，故答案為：【點睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，中點坐標公式，屬于基礎題.15．【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據(jù)求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解：連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則：設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,．故答案為：．【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數(shù)量積的有關問題,屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當直線與圓相離時，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【解析】

利用極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.18．（1）①當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導函數(shù)，，對討論，得導函數(shù)的正負，得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）法一:由得，分別運用導函數(shù)得出函數(shù)()，的單調(diào)性，和其函數(shù)的最值，可得，可得的范圍;法二:由得，化為令()，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，，①當時，由得，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，恒成立,在上單調(diào)遞增；（2）法一:由得，令()，則，在上單調(diào)遞減，，，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，所以，即，(*)當時，，(*)式恒成立，即恒成立，滿足題意法二:由得，，令()，則，在上單調(diào)遞減，，，即，當時，由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意當時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，當時，，，使得，當時，，即，又，，，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論，不等式恒成立時，求解參數(shù)的范圍，屬于難度題.19．（1）；（2）不存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

（1）分類時，恒成立，時，分離參數(shù)為，引入新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)最值即可；（2），導出導函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上有解．再用導數(shù)研究的性質(zhì)可得．【詳解】解：（1）因為當時，恒成立，所以，若，為任意實數(shù)，恒成立.若，恒成立，即當時，，設，，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值.，所以，要使時，恒成立，的取值范圍為.（2）由題意，曲線為：.令，所以，設，則，當時，，故在上為增函數(shù)，因此在區(qū)間上的最小值，所以，當時，，，所以，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而，即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立，考查用導數(shù)的幾何意義，由導數(shù)幾何把問題進行轉(zhuǎn)化是解題關鍵．本題屬于困難題．20．（1）（2）【解析】

（1）用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式；（2）由（1）得的最小值為4，則由，代換后用基本不等式可得最小值．【詳解】解：（1）討論：當時，，即，此時無解；當時，；當時，.所求不等式的解集為（2）分析知，函數(shù)的最小值為4，當且僅當時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查用基本不等式求最小值．解絕對值不等式的方法是分類討論思想．21．（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】

（1）設過的直線交拋物線于，，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋達定理表示出，化簡即可；（2）由（