江蘇省某中學(xué)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

2024/2025學(xué)年度高三第一次調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)

2025.09

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.命題XGN,N>0”的否定為

A.VXGN,NW0B.E尤GN,尤2W0

C.ZXGN,N>0D.V尤GN,x2<0

2.已知集合A={x||x|<2,尤GZ},B={x|y=ln（3尤一/）},則AriB=

A.[x\O<x<2}B.{x\-2<x<3]C.{1}D.{0,1,2}

3.已知點(diǎn)P（3,-4）是角a終邊上一點(diǎn)，貝cos2a=

（a+-y,x<l

4.已知函數(shù)/（無(wú)）=,在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

——

.2x

1171

A.a<0B.a>—-C.--<a<0D.0<a<-

227

,則其解析式可能為

5.已知函數(shù)八尤）部分圖象如圖所示1

2x-x

A./(x)=N(眇一e")B./(x)=x(e+e)i[/

C./(x)=X(0^—匕—%)一寸

6.過(guò)點(diǎn)(3,1)作曲線y=ln(x—1)的切線,則這樣的切線共有

A.0條B.1條C.2條D.3條

7.銳角。、夕滿足sinA=cos(a+.)sina,若tana=—,貝!Jcos(a+￡)=

1B0

A.-D.W

8.若函數(shù)/(%)=sin2ox—2，Jcos2a>x+^3(。＞0)在(0,三)上只有一個(gè)零點(diǎn)，則3的

取值范圍為

14rB.4g)17、

A.(--]c(￡]D.[r一,一)

3f366

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.己知0＜。＜1一》＜1,則

1

A.0<Z?<lB.a>bC.a~b<.1D.ab<—

4

10.已知xi,尤2,%3是函數(shù)/(x)的三個(gè)零點(diǎn)(°>0,xi<X2<X3),則

A.°3>X^B.X1<O<X2

111A

a?南+耐+很=0

11.若定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對(duì)稱(chēng)，且/(x+1)是偶函數(shù)，則

A./(x)圖象關(guān)于x=0軸對(duì)稱(chēng)B./(x+2)-2為奇函數(shù)

20

C./(x+2)=f(x)D.2；/(,)=42

JO

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)/(尤)=是奇函數(shù)，則/(-)=_______.

cosx-22

13.“1＜無(wú)＜,”是“xlnxCylny”的條件，(選填“充分不必要、必要不充

分、充要、既不充分也不必要”)

14.班上共有45名學(xué)生，其中40人會(huì)打乒乓球，30人會(huì)騎自行車(chē)，25人會(huì)打羽毛球,

則三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目都會(huì)的同學(xué)至少有人.

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

J51

已知a、乃為銳角，sina———,tanP--.

103

(1)求tan2a的值;

⑵求a+2￡的大小.

16.(15分)

已知函數(shù)/'(x)=eA—e-'—2x+2.(e=2.71828…)

(1)判斷函數(shù)y=/(x)—2的奇偶性并證明，據(jù)此說(shuō)明了(尤)圖象的對(duì)稱(chēng)性;

(2)若任意—(1,+oo),/(mInx)+/(x)>4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

17.(15分)

若函數(shù)/(尤)=8$(。彳+夕)(°>0"/<2)圖象的相鄰對(duì)稱(chēng)軸距離為2,且/(乃)=

225

1

2

⑴求了(%)的解析式;

(2)將/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位，再將所得圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

12

2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)xe(0,7r)時(shí),求不等式g(2x)Wg(尤+-)的

解.

18.(17分)

綠色、環(huán)保是新時(shí)代健康生活的理念,某一運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館投放空氣凈化劑凈化場(chǎng)館，已知

每瓶空氣凈化劑含量為。，投放后該空氣凈化劑以每小時(shí)10%的速度減少，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)

場(chǎng)館內(nèi)空氣凈化劑含量不低于3a時(shí)有凈化效果，且至少需要持續(xù)凈化12小時(shí)才能達(dá)到

凈化目的.現(xiàn)有9瓶該空氣凈化劑.

(1)如果一次性投放該空氣凈化劑9瓶，能否達(dá)到凈化的目的?如果能，說(shuō)明理由；如

果不能，最多可凈化多長(zhǎng)時(shí)間？(精確到0.1小時(shí))

(2)如果9瓶空氣凈化劑分兩次投放，在第一次投放后間隔6小時(shí)進(jìn)行第二次投放,

為達(dá)到凈化目的，試給出兩次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶數(shù)為整數(shù)，投放用時(shí)

忽略不計(jì))

(參考數(shù)據(jù):1g320.477,0.96Po.53).

19.(17分)

已知函數(shù)/(x)=2\nx~ax2+l,

(1)若/(%)的最大值為0,求。的值；

(2)若存在k￡(m,〃)，使得了㈤—/(m)=/'(女)("一根)，則稱(chēng)k為/(%)在區(qū)間(m,ri)上

的“巧點(diǎn)”.

⑴當(dāng)。=0時(shí)，若1為/(%)在區(qū)間(辦近上的“巧點(diǎn)””，證明:機(jī)+〃>2；

(ii)求證:任意。>0,/(x)在區(qū)間(加,〃)上存在唯一“巧點(diǎn)”k.

參考答案

1-8BCBDACBA9-11ACDABDBD

12、-113、充分必要14、5

15.（13分）

【解】

(1)因?yàn)閍w(0,孕，sina?

所以cosa=Vi-sin2a=

所以tana=?@=《，

cosa7

所以tan2a=23*_="乂普=[.

1-tan-a74824

(2)因?yàn)閠an4=(，所以tan2夕=32粵_=?*±=￡

31-tan^P384

lana+lan267+41

所以tan(a+20)=

1-tanatan20i3

~28

因?yàn)閠ana=y<1?且aw（0,?，

所以0va<1：

4

因?yàn)閠an2/=N<1,且夕€（0,到，

42

所以0<2￡<1,

所以0<a+2夕<當(dāng)，

（注意：學(xué)生控制范圍0<a+2y?〈普，確保角度唯一性亦可）

所以a+2/斗.

16.(15分)

【解】

(1)函數(shù)v=〃x)-2是奇函數(shù)，理由如卜'：

設(shè)g(x)=f(x]一2=e'-e'-2x,函數(shù)。(x)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)閂xeR,都有-xwR,

(沒(méi)有說(shuō)明定義域?qū)ΨQ(chēng)性、至少要判斷定義域，否則扣2分)

且g(-x)=e-x-e*+2x=-g(x),

所以g(x)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱(chēng)；

因?yàn)?(x)=g(x)+2，

所以fix)圖象是由g(x)向上平移2個(gè)單位得到，

所以“X)圖像關(guān)于(0,2)中心對(duì)稱(chēng).

(2)因?yàn)閒(x)=g(x)+2,

所以/(minx)+/(x)>4可以化為g(mlnx)+g(x)>0，

所以g(wlnV)>-g(x)=g(-x)，

因?yàn)?lt;(外=/+?-*-2，

因?yàn)閑'>0,所以/+小》2,

所以g'(x)N0且不恒為0,即以x)在R上單調(diào)遞增，

所以minx>-x在。，+8)上恒成立，

所以用〉三工在(I,+8)上恒成立，

Inx

令h(x)=m,

In.r

所以伍”)=上譬，

Inx

所以人(x)在(l,c)上遞增，在(e,+8)遞減,

所以-W力?=-c,

所以5A-e.

17.(15分)

【解】(I)因?yàn)?(工)圖象相鄰對(duì)稱(chēng)軸距離為

所以r=w,即再=兀，

同

因?yàn)棰?gt;0,所以0=2,

所以/(x)=cos(2x+(p)：

因?yàn)?(為=—4，所以cos?+⑺=一J,

n2.52

因?yàn)閻濾,，

所以一券〈目+0〈婪，

636

所以］+0=竽，即尹=全，

所以/(x)=cos(2x+爭(zhēng).

(2)因?yàn)?(x)=cos(2x+?圖象向右平移需個(gè)單位得到y(tǒng)=cos(2x-^)=sin2x

再將y=sin2x圖象上每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)2倍得到y(tǒng)=sinx,

所以g(x)=sinx；

所以不等式為sin2xWsin(x+/),

令f=x+q,則fw(］，孕),

444

不等式化為sin2(r-^)Wsinr,

所以一cos2Ksim,

所以2sin，-sinfTWO，

所以—；Wsinf&l>

結(jié)合函數(shù)v=sinf在號(hào))上的圖象得品Wg，

所以0<xW者即為所求不等式的解.

18.(17分)【解】(1)假設(shè)一次性投放9瓶，可持續(xù)凈化x小時(shí),

則9。(1-10%)*23。(x>0)

所以0.9*N；

兩邊取常用對(duì)數(shù)得，xlg0.9>lg1,

所以XWT\=10-4,

1-21g3

因?yàn)?0.4<12，

所以不能達(dá)到凈化目的，最多可凈化10.4小時(shí).

(2)設(shè)第一次投放〃瓶，第二次投放9-〃瓶，〃€!<且“忘9,

依據(jù)題意得，<,,.

Inail-10%)12+(9-n)a(l-10%?>3o②

由①得，"23=5.7,

0.96

由②得，nW9x”'Y=7.1,

0.96_0,產(chǎn)

(兩組近似計(jì)算碎一個(gè)給1分，只要保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)據(jù)一致即可)

所以5.7<〃<7.1；

又因?yàn)椤癢N”,所以，〃可取6或7.

所以?xún)纱瓮斗趴赡艿耐斗欧桨笧榈?次投放6瓶，第二次投放3瓶；

或者第?次投放7瓶，第二次投放2瓶.

19.(17分)

(1)因?yàn)?'(x)=2-2ar=型二竺口

XX

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)在(0,+oo)上遞增，不符合；

當(dāng)”>0時(shí)，/⑴在(0,4)上遞增，在(J=,+8)上單調(diào)遞減,

yjayja

所以/(K)最大值為/(J=)=21n-1==0,

y/ayja

所以j==l,即0=1,

綜上，a=1.

(2)因?yàn)?U)=M-2加="〃)一八⑼,ke(m,n),

kn-m

(i)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=21nx+l,f'(x)=—,

因?yàn)锳=1,mv1<”.

所以久)二/㈣=2,21n〃-21nm二2,

n-mn-m

即n-m=1;

Inn-Inm

要證制+">2，

即證產(chǎn)千旦，

Inn-Inm2

令3=r,因?yàn)椤ā?M,所以/>1,

m

設(shè)g(，)=lnf.

所以g，a)=L2T>o,

所以g⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g")>g(l)=o，

2(——1)

所以In旦〉口----即