正余弦定理解三角形（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第08講正余弦定理解三角形

（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15題,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面積公式及其應(yīng)用

正弦定理解三角形

2024年新H卷，第15題,13分輔助角公式

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17題,10分用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值

三角形面積公式及其應(yīng)用

三角形面積公式及其應(yīng)用

2023年新II卷,第17題,10分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無(wú)

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計(jì)算

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

2021年新H卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無(wú)

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17題,10分無(wú)

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新II卷,第17題,10分無(wú)

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分

【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用

2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.

3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來(lái)命題、考查正余弦定理和三角形面積公式

在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識(shí)點(diǎn)1正弦定理及其變用

知識(shí)點(diǎn)2三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)3余弦定理

知識(shí)點(diǎn)4三角形的面積公式

考點(diǎn)1正弦定理邊角互化解三角形

考點(diǎn)2利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

考點(diǎn)3余弦定理求值

考點(diǎn)4利用正余弦定理判斷三角形的形狀

考點(diǎn)5三角形面積的應(yīng)用

考點(diǎn)6外接圓、內(nèi)切圓半徑問(wèn)題

考點(diǎn)7雙正弦

考點(diǎn)8雙余弦

考點(diǎn)9解三角形中的證明問(wèn)題

考點(diǎn)1。解三角形中的實(shí)際應(yīng)用

知識(shí)講解

1.正弦定理

(1)基本公式：

nhc

----=2R(其中R為A45C外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

（2）變形

abcQ+6+C"bQ+Cb+c

----=-----=-----=2R=-----------------=-----------=-----------=-----------

sin/sin5sinCsin24+sinS+sinCsinA+^mBsin/+sinCsin5+sinC

Q:b:c=sin4:sin5:sinC

2.三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系

A+B兀c

..?/+3+。=兀--------=—

'222

/.sin(5+C)=sin4,cos(B+C)=-cosA,tan(S+C)=-tanA

sin(W1鳥(niǎo)=sin|7l_C=cos|,cos(^)=cos|K_C=sin|tan(^)=tan|7l_C=cot^

5一萬(wàn)5一萬(wàn)萬(wàn)一萬(wàn)2

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a2+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

b2+c2-a2Q2+02a2+Z>2-c2

cosA=cosB=cosC=

2bc2aclab

4.三角形的面積公式

SMBC=5皿

SMBC=—absinC=—acsinB=—besinA

考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化解三角形

典例引領(lǐng)

jr

1.（2023,全國(guó)考真題）在A(yíng)ZSC中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別是〃也c,若acosB-bcos/=c,且。=5，

則N5=()

兀713兀2K

A.——B.C.—D.——

105105

2.（2024?湖南永州?三模）已知在。5C中,角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,。，且

巳7

acosB+bcosA=-2ccosC,sinf24+貝!]cos(/-8)=

8

...acGsB-bcGsAb.?,

3.（2024?四川涼山?二模）設(shè)。8C的內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為Q,b,c

右ac°s…皿+U'則

A=

4.（2024,全國(guó)?圖考真題）記”BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c已知sin/+百cosA=2.

⑴求4

（2）若。=2,同sinC=csin25，求。5C的周長(zhǎng).

即

1.（2024?江西九江?三模）在“8C中，角4民c所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知2c-a=26cos/,則2=

()

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。也c,若36cos3=QCOSC+ccos”,且

3b=4c,則C=.

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在中，記角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知

百a=VJccosB+csinB?

⑴求角C;

⑵已知點(diǎn)。在/C邊上，且BC=6,BD=2#i,求。的面積.

考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

典例引領(lǐng)

冗

L（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在A(yíng)A8C中，角4及C所對(duì)的邊分別為a,6,c.若B=3，a=4,且該三角形有兩解,

則6的范圍是（）

A.Q6,+qB.（273,4）

C.（0,4）D.（3月,4）

2.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為。,仇。，則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件

TT

6=6的三角形不唯一的。的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+oo）C.（0,6）D.（0,3）

3.（2023?廣東茂名?三模）（多選）A/8C中，角4民C所對(duì)的邊分別為仇然以下結(jié)論中正確的有（）

A.若a=40,6=20,8=25°,則必有兩解

B.若sin2/=sin28,則以8C一定為等腰三角形

C.若acosB-6cos/=c,則“3C一定為直角三角形

D.若8=梟=2,且該三角形有兩解，貝g的范圍是即,+對(duì)

即時(shí)竄L

JT

1.（23-24高二下?浙江?期中）在“8C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則。的

取值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（2后4）

2.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）（多選）在“BC中，AB=y/3,B=60°,若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則/C邊的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

3.（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且已知a=2,

則（）

A.若N=45°,且“8C有兩解，則6的取值范圍是（2,2亞）

B.若4=45。,且6=4,則“3C恰有一解.

C.若c=3,且AA8C為鈍角三角形，則b的取值范圍是（加,5）

D.若c=3,且“8C為銳角三角形，則6的取值范圍是（石，屈）

考點(diǎn)三、余弦定理求值

典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?高考真題）在“5C中,(a+c)(sinA-sinC)=Z?(sinA-sinB),貝()

兀712兀5兀

A.-B.一C.—D.—

6336

2.（2021?全國(guó)?高考真題）在。8C中，己知8=120°,AC=曬,AB=2,則8C=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.（2023?全國(guó)?高考真題）在。8C中，NBAC=60。,AB=2,BC=&,/A4C的角平分線(xiàn)交2c于D,則

AD=.

4.（2023?全國(guó)?高考真題）記。8C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a/,c,已知。=2.

cos/

⑴求6c;

,、升acosB-bcos力b,十%

⑵若——一;一-二1，求"BC面積?

acGsB+bcosZc

即時(shí)檢測(cè)

■一

1.（2021?安徽安慶?二模）在。5C中，a,b,。分別是NB,C的對(duì)邊.若加=收，且

a2+43bc=c2+ac9則//的大小是（）

71712兀5兀

A.—B.一C.——D.——

6336

2.（2024?安徽合肥?一模）在A(yíng)/8C中，內(nèi)角4及。的對(duì)邊分別為a,6,c,若26cosc=a（2-c）,且&=5，

則。=（）

A.1B.^/2C.5/3D.2

3.Q023?廣東廣州?三模）在“8C中，點(diǎn)。在邊BC上，AB=46>CD=3,8=45。，ZADB=60°,^\\AC

的長(zhǎng)為.

4.（2023?全國(guó),高考真題）在中，已知NR4c=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sinN/BC；

（2）若。為BC上一點(diǎn)，且N84D=90。，求△4DC的面積.

考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀

典例引領(lǐng)

■——

1.（22-23高三?吉林白城?階段練習(xí)）已知“8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c,若

（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且sinN=2sin8cosC,那么小8。是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

A

2.（22-23高三上?河北?階段練習(xí)）在“8C中，角4瓦C對(duì)邊為a,b,c,且2c-cos?5=6+c,則“8。的形

狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

Aa

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△ZBC的三邊長(zhǎng)為BC=Q,CA=b,AB=c,若tan—=^—,

2b+c

Bb

tan—=-------,則△ABC是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

即時(shí)啊

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在A(yíng)48c中，若acosN=6cosB,則的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

2.（22-23高三?河南商丘?階段練習(xí)）在A(yíng)48C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin2g=F，

22c

則A42C是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.4=30。的三角形

3.（22-23高三?階段練習(xí)）設(shè)“3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2=c2+a2-ca,且

sin/=2sinC,則“BC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

4.（2023?四川涼山?二模）在。8C中，角/,B,C對(duì)邊分別為a,b,c.命題

]_㈤2且

P----------""（廿,）=0,命題為等腰三角形.則p是4的（）

1+tan2—a

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）在“8C中，己知NA4c=120。，AB=2,/C=l.

⑴求sin/NBC；

（2）若。為2C上一點(diǎn)，且4840=90。，求△NDC的面積.

2.（2022?浙江?高考真題）在A(yíng)ABC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=底,cosC=g.

⑴求sin/的值；

（2）若6=11,求的面積.

3.（2024?全國(guó)可考真題）記。8c的內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=V^cosB，

a*"+Z>2_c?=y[^ub

①求8;

（2）若AA8C的面積為3+6，求c.

4.（2022?北京?高考真題）在中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C;

（2）若6=6,且。3C的面積為6月，求A/BC的周長(zhǎng).

即反購(gòu)

1.（2024?北京大興?三模）"BC中，角/,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,acosB=73,bsinA=l.

（1）求的大?。?/p>

（2）若b=亞，求/8C的面積.

2.（2024?福建莆田?三模）在"BC中，內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a/,c,且6（cosC+l）=c（2-cosB）.

(1)證明：a+b=2c.

9一

(2)右a=6,cosC=一,求AZSC的面積.

16

3.（2024?浙江.模擬預(yù)測(cè)）已知18C中，角48,C所對(duì)的邊分別為。也c.已知c=3,S“Bc=b2sinC.

⑴求。的取值范圍;

⑵求最大時(shí)，08c的面積.

4.（2024?安徽滁州?三模）在“8C中,角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,26cosc-c=2a.

⑴求3的大小;

（2）若°=3,且4C邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為叵，求“8C的面積.

2

考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問(wèn)題

典例引領(lǐng)

7T

1.(2024?貴州六盤(pán)水?三模)在UBC申，AB=2,AC=3,乙4=§,則。8C外接圓的半徑為（）

V212V72V2T

Rrnu.------

333

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成的四邊形/BCD中，AB=\,

⑴求“CD面積的取值范圍；

（2）若四邊形/BCD存在外接圓，求外接圓面積.

3.（2023?湖北?二模）已知在中，其角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,且滿(mǎn)足

bcosC+43bsinC=a+c-

⑴若6=6,求的外接圓半徑;

（2）若a+c=4G，且說(shuō)?元=6，求A/BC的內(nèi)切圓半徑

即時(shí)

1.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知。=9,6=8,c=5,

則的外接圓的面積為（）

113

D.——7t

6

7T

2.（2024?遼寧大連,一■模）在中,//==3,/C=2

⑴求點(diǎn)A到邊3c的距離：

（2）設(shè)尸為邊48上一點(diǎn)，當(dāng)「B'+PC?取得最小值時(shí)，求APBC外接圓的面積.

3.（2024?山西晉城?一模）在A(yíng)/8C中，AB=3。,AC=5也,BC=：也.

⑴求N的大?。?/p>

（2）求^ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在“8C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

.2/?2八sin2A-sin2B

sinA-sinB=-----------

4

⑴求C;

（2）若。=2,求。內(nèi)切圓半徑取值范圍.

考點(diǎn)七、雙正弦

典例引領(lǐng)

I_____________________

1.（2024?福建泉州?一模）在A(yíng)ASC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ccosB-bcosC=,

點(diǎn)D是BC上靠近C的三等分點(diǎn)

⑴若。8C的面積為36，求/。的最小值；

7T

⑵若=—,求sin2g.

6

2.（2024?山東日照?二模）"BC的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為見(jiàn)仇c.分別以。也。為邊長(zhǎng)的正三角形的面積

依次為國(guó),$2,$3,且E-S2-邑=，兒.

⑴求角A；

（2）若麗=4麗，NC4D=J,求sin/NCB.

0

3.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）在A(yíng)/8C中，。為BC邊的中點(diǎn).

⑴若ZC=2A/LNACD=NDAC=j求的長(zhǎng)；

6

jr

(2)若/B4D+/4CD),AS-AC^O,試判斷。BC的形狀.

4.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面四邊形/BCD中，\AB\=\AC\=243,ZADC=ZCAB=120°,設(shè)

ZDAC^G.

⑴若⑷=2,求忸力的長(zhǎng);

(2)若乙4。8=15。，求tan。.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))在A(yíng)/3C中，角HB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知/=c(c+b).

⑴求證：B+3C=7t；

(2)若//8C的角平分線(xiàn)交/C于點(diǎn)。，且。=12,6=7,求1ao的長(zhǎng).

TT3冗

2.(2024?河南,三模)已知P是。3C內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC,/BAC=—,/BPC=——，/ABP=0.

44

(1)若6a,求NC；

兀

(2)若e=§,求tan/3/尸.

3.(23-24高三下?安徽?階段練習(xí))已知a,b,c分別是△N8C的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且

J5csinA+acosC=b+c.

⑴求/;

(2)若8c=2,將射線(xiàn)8/和。分別繞點(diǎn)8,C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°,30°,旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)。(如圖所示),

且ND8C=30°,求40.

考點(diǎn)八、雙余弦

典例目闞

1.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）記。8C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,九c,taiU=VL6sinC=2sing+C）.

⑴求c；

（2）若點(diǎn)。在邊8C上，且AD=—,求A/8C的面積.

33

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?山東濟(jì)南?二模）如圖，已知平面四邊形/BCD中，AB=BC=20CD=2,AD=4.

⑴若48,C,。四點(diǎn)共圓，求/C;

（2）求四邊形23cZ）面積的最大值.

2.（2024?河北?二模）已知AA8C中，角42,C的對(duì)邊分別為a/,c,A4BC的面積為S,a=26.

⑴若S=4而,A/BC為等腰三角形，求它的周長(zhǎng)；

3

⑵若sinC=-,求siih4,sin5.

考點(diǎn)九、解三角形中的證明問(wèn)題

典例引領(lǐng)

L（23-24高二下?浙江杭州?期中）在A(yíng)ABC中,內(nèi)角4瓦C所對(duì)的邊分別為.也c,滿(mǎn)足b=a-26cosC.

⑴求證：C=2B；

（2）求2sinC+cos5—sinB的最大值.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在。5c中，點(diǎn)。，E都是邊5C上且與5,。不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)。在5,￡之間,

AEACBD=ADABCE.

⑴求證：sinXBAD=sinZCAE.

22

（2）若求證：*AD+牛AF=——-?——.

BD-CE21-sinZDAE

3.（23-24高三上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）設(shè)。的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為b、c,已知

1-sin^4_1-cos2B

cosAsin25

TT

⑴證明：A+2B=~.

2

（2）求冬的取值范圍.

c

即時(shí)購(gòu)

1.（23-24高三上?廣東?階段練習(xí)）已知。8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,。是邊3C上一點(diǎn),

NBAD=a,ACAD=p,AD=d,且2acsina+sin6=3bc.

5兀

（1）若/=L，證明：a=3d；

6

⑵在（1）的條件下，且CO=23。，求cos4DC的值.

2.（22-23高一下?山東棗莊?期中）中，內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c已知

4asinA=bsinCcosA+csinAcosB.

,siib4_

⑴求蓊的值;

（2）若BD是/ABC的角平分線(xiàn).

(i)證明：BD2=BABC-DADC;

（ii）若a=l,求502C的最大值.

3.（23-24高三上?江蘇?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在內(nèi)任取一點(diǎn)尸，直線(xiàn)4P、BP、CP分別與邊2C、CA,

AB相交于點(diǎn)。、E、F.

BD_ABsinZBAD

⑴試證明:

~ACsinZDAC

⑵若。為重心，4D=5,BE=4,CF=3,求AA8C的面積.

考點(diǎn)十、解三角形中的實(shí)際應(yīng)用

典例后闞

1.2（021?全國(guó)?高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的

高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線(xiàn)4c上，和尸G是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為表

高"，EG稱(chēng)為"表距”，GC和E"都稱(chēng)為"表目距"，GC與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高/8=

()

表圖x表距表iW]x表距

C.+表距D.-表距

表目距的差表目距的差

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A處，測(cè)得正西方向地面上5、C兩點(diǎn)（從C與樓底在同一

水平面上）的俯角分別是75。和15。，則8、C兩點(diǎn)之間的距離為（）.

A.200也B.240A萬(wàn)C.180GD.20073

3.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中有一道測(cè)量山

上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高

度.把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)c,D,CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)aB,測(cè)得/8=20百m,

在點(diǎn)/處測(cè)得點(diǎn)C,。的仰角分別為30°,60°,在點(diǎn)8處測(cè)得點(diǎn)。的仰角為30°,則塔高C。為m.

即

1.（2024?廣東?二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小

鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為

?1=1.00m,之后將小鏡子前移。=6.00m,重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為出=0-60m,已

知人的眼睛距離地面的高度為〃=1.75m,則鐘樓的高度大約是（）

C.26.75mD.26.25m

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常

在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的

限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物的樓頂￡為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)/為塔底，4G。在水平地面上，來(lái)

雁塔和建筑物均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得CD=18m,/D=15m,在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為

30。，在E點(diǎn)處測(cè)得2點(diǎn)的仰角為60。，則來(lái)雁塔的高度約為（）（百。1.732,精確到0.1m）

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

3.（2024?山東臨沂?一模）在同一平面上有相距14公里的48兩座炮臺(tái)，A在3的正東方.某次演習(xí)時(shí)，A

向西偏北。方向發(fā)射炮彈，8則向東偏北。方向發(fā)射炮彈，其中。為銳角，觀(guān)測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外

n

的同一目標(biāo)，接著A改向向西偏北］方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)則8炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的

距離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

IA.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、單選題

1.（2024?浙江,模擬預(yù)測(cè)）在。8c中，a/,c分別為角4瓦。的對(duì)邊，若taiU=3,B=（,bc=2回,則

”（）

A.2B.3C.2A/2D.372

2

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）記AASC的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a,6,c,若5=§兀=6,/+/=3ac,則

的面積為（）

9-x/399-739

A.—B.-C.—D.-

4422

二、多選題

3.（2024?重慶?三模）在。8C中，角48,C的對(duì)邊為a也c,若6=2指,0=2,。=￡,則“3C的面積可以是

6

（）

A.V3B.3C.2A/3D.373

三、填空題

4.（2024?山東威海?二模）在“8C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=",b+c=4,

COSC=--?貝!Isin/=.

6

5.（2024?北京西城?三模）在“8C中，若c=2,a=0,^=7）貝UsinC=,b=.

o

四、解答題

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）記》5C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為。也c,已知26=°.

⑴若cosB=sinC,求tanfi；

a

⑵若cos/=—,a=C,求A48C的面積.

4

7.（2024?河北?一模）在A(yíng)43c中，內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足/+/?+"z6=（?.

⑴求角。的大??；

（2）若6=1,c=2bcosB,求“BC的面積.

A-L-C

8.（2024?貴州黔東南?二模）在“8C中，角42,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且6sin（/+2?）-csin三上=0.

⑴求3；

（2）若b=5,a+c=8,求的面積.

9.（2024?江西新余?二模）在“8C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且“8C的面積

S=g（/+<?-62卜in瓦

（1）求角8;

⑵若//8C的平分線(xiàn)交4C于點(diǎn)。，?=3,c=4,求3。的長(zhǎng).

10.（2024?陜西西安?一模）在。3c中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a/,c,csin^+V3asinfc+-|j=0,

c=6.

⑴求角c；

（2）若c=A，求。BC的周長(zhǎng).

能力提列,

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）記。5C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為eb,c,

sin（3-C）+sin/=T，6=gc,則角C=（）

2.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在“8C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

c（sin/-sinC）=（a-6）（sin/+sinB）,若“BC的面積為",周長(zhǎng)為36,則/C邊上的高為（）

4

A.立B."C.V3D.2月

32

二、多選題

3.（2024,江蘇宿遷?三模）在。8C中，角/，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,若2y/3ccos2=6sinC,且

邊/C上的中線(xiàn)2D長(zhǎng)為百，貝。（）

B.b的取值范圍為［2,26）

c.”BC面積的最大值為2百D.“8C周長(zhǎng)的最大值為3太

三、填空題

Z7h

4.（2024?湖北武漢?二模）在。5C中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,C,-+-=4cosC.且

ba

tanBtan4+tan5tanC=tanAtanCf貝UcosA=.

5.2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在08C中，內(nèi)角42,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若b=2,與二三+f

cosCcosncosC

則2a+c的最大值為.

四、解答題

6.Q024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）在中，角N,8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知。<6<c且taM/an民tanC

均為整數(shù).

(1)證明：tan25-1=tan^tanC；

（2）設(shè)/C的中點(diǎn)為D,求/COB的余弦值.

7.(2024高三下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在①6(sin/+sinB)=(c+a)(sinC-sin4),②tan8+tanC=-

ccosB

③y/3bsin~~~~=csinB

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上,并解答.

在。3c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,且,

⑴求角C的大小;

⑵已知c=7,。是邊43的中點(diǎn)，S.CD1CB,求的長(zhǎng).

bb2+c2-a2

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）記。8C的內(nèi)角4反。的對(duì)邊分別為a,6,c.已知

2c-ba2+c2-b2

⑴求A；

⑵若。為48的中點(diǎn)，且6。。=而48,求cosN/CB.

9.（2023?黑龍江佳木斯?三模）"8C中，角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知

csinCcosB+bsinCcosC=出ccosA?

⑴求

⑵若/4BC=NACB,滿(mǎn)足2。=3,0）=2,四邊形48OC是凸四邊形，求四邊形ARDC面積的最大值.

10.（2024?河北?二模）若"8C內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)滿(mǎn)足NP/8=NPBC=NPC/=e,則稱(chēng)點(diǎn)尸為。BC的布洛卡點(diǎn),

0為的布洛卡角.如圖,已知。3c中，BC=a,AC=b,45=c,點(diǎn)尸為的布洛卡點(diǎn)，B為〃BC

的布洛卡角.

求/48C的大小.

（2）若O8C為銳角三角形.

11-+」

(i)證明:+1

tan。tanZBACtanZABCtanZACB

(ii)若PB平分/ABC,證明：b2=ac.

真題感知

1.（2024?上海?高考真題）已知點(diǎn)8在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，8C=CZ）,存在點(diǎn)N滿(mǎn)足

NB4c=ZDAC=37。，則NBCA=（精確到0.1度）

2.（2024?北京?高考真題）在中，內(nèi)角4及。的對(duì)邊分別為a,6,c,為鈍角，a=l,

?CD6hn

sinIB=——bcosB■

7

⑴求4；

⑵從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得“8C存在，求“3C的面積.

條件①：6=7；條件②：cos5=j|;條件③：csin/=g百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

9a2

3.（2024?天津遍考真題）在A(yíng)AS。中，角4叢。所對(duì)的邊分別為。也c,已知COSB=7，=5,—=—.

16c3

⑴求。；

⑵求sirU；

⑶求cos（B—2/）的值.

4.（2022?浙江?高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法

稱(chēng)為〃三斜求積〃，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是

S=c2y,其中歷兒c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a—>/2,b-V3,c=2f則該二角形的面積S=.

5.（2022?天津?高考真題）在A(yíng)Z8C中，角/、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=新力=2c,cos/=—.

4

⑴求c的值；

（2）求sin8的值；

⑶求sin（2/-8）的值.

6.2022?全國(guó)?高考真題）記AA8C的內(nèi)角/,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin（4-8）=sin8sin（C-/）.

⑴若/=28,求C；

(2)證明：2/=^+°2

7.(2022?全國(guó)?高考真題)記。8C的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(N-B)=si