23.4 中位線 同步練習(xí)

第23章圖形的相似23.4中位線基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1三角形的中位線1.(2023山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn).若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為()A.4 B.5 C.8 D.102.(2023四川眉山仁壽一中月考)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，S四邊形BCED=15，則S△ABC=()A.30 B.25 C.22.5 D.203.如圖，要測(cè)量池塘岸邊相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，現(xiàn)做如下操作：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)N.連結(jié)DM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使DM=ME；連結(jié)DN并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DN=NF，連結(jié)EF.測(cè)量得知AM=7m，BN=4m，EF=52m，則A、B兩點(diǎn)間的距離為m.

4.(2022吉林長(zhǎng)春東北師大附中凈月實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)如圖所示，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，DC=AC=10，且ADBD=32，作∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F，CF=8，E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF的長(zhǎng)為5.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn).延長(zhǎng)線段AD交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：∠AEN=∠F；(2)若∠A+∠ABC=122°，求∠F的大小.知識(shí)點(diǎn)2三角形的重心6.(2023福建泉州晉江一中期中)如圖，G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作DE∥BC，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為()A.6 B.8 C.9 D.187.(2022上海黃浦期末)如圖，在△ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn)O，如果△AOE的面積是4，那么四邊形OECD的面積是.

能力提升全練8.(2022浙江麗水中考)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn).若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是()A.28 B.14 C.10 D.79.(2022河南開封蘭考模擬)如圖，△ABC的周長(zhǎng)為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A'、B'、C'分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，如果△ABC、△EFG、△A'B'C'分別為第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()A.64×12n B.64×12n?1 C.32×[變式](2023河北石家莊高邑期末)如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第2023個(gè)矩形的面積為.

10.(2023吉林長(zhǎng)春凈月模擬)在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC邊上，連結(jié)DE，DF，EF，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使△BED與△FDE全等.

11.(2022湖北荊門中考)如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1.已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為.

12.(2022河南南陽(yáng)模擬)如圖1，已知E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連結(jié)EF、FG、GH、HE.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)在電腦上用適當(dāng)?shù)膽?yīng)用程序畫出圖1，然后用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D在原四邊形ABCD的內(nèi)部、在原四邊形ABCD的外部時(shí)，圖1依次變?yōu)閳D2、圖3，則其中四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?選擇其中之一說(shuō)明理由.圖1 圖2 圖3素養(yǎng)探究全練13.(2023吉林長(zhǎng)春榆樹期末)[教材呈現(xiàn)]下面是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容.[猜想]如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE=12對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明.證明：在△ABC中，∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴ADAB=AEAC=請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程. 圖① 圖②[結(jié)論應(yīng)用]如圖②，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是BO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF、FG、GD.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；(2)若△ADE的面積為12，則四邊形DEFG的面積為.

第23章圖形的相似23.4中位線答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B∵D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，∴FD、FE、DE為△ABC的中位線，∴DF=12AC，F(xiàn)E=12AB，DE=1∴DF+FE+DE=12AC+12AB+12BC=12(AB+AC+CB2.D∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=12BC∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC∴S△ADE∶S四邊形BCED=1∶3，即S△ADE∶15=1∶3，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5+15=20.3.15解析∵DM=ME，DN=NF，∴MN是△DEF的中位線，∴MN=12EF=12∵AM=7m，BN=4m，∴AB=26-7-4=15m，故A、B兩點(diǎn)間的距離為15m.4.4解析∵DC=AC=10，CF平分∠ACB，∴F為AD的中點(diǎn)，CF⊥AD，∴∠CFD=90°，∵DC=10，CF=8，∴DF=CD2∴AD=2DF=12，∵ADBD=3∴BD=8，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴EF為△ABD的中位線，∴EF=12BD=45.解析(1)證明：∵P是BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，∴PM∥BC，PM=12BC∴∠PMN=∠F，同理PN∥AD，PN=12AD∴∠PNM=∠AEN，∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∴∠AEN=∠F.(2)∵PN∥AD，∴∠PNB=∠A，∵∠DPN是△PNB的一個(gè)外角，∴∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠F=∠PMN，∠MPD=∠DBC，∴∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=122°，∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM=12×(180°-122°)=29°∴∠F=∠PMN=29°.6.C如圖，連結(jié)AG并延長(zhǎng)，交BC于H，∵G為△ABC的重心，∴AG=2GH，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，ADAB=AGAH=∴△ADE與△ABC的面積之比為49∵△ADE的面積為4，∴△ABC的面積為9.7.8解析∵在△ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，BO∶OE=2∶1，∵△AOE的面積是4，∴△AOB的面積=2×△AOE的面積=8，∴△BOD的面積=12×△AOB的面積=4∴△ABD的面積=△AOB的面積+△BOD的面積=12，∴△ADC的面積=△ABD的面積=12，∴四邊形OECD的面積=△ADC的面積-△AOE的面積=12-4=8.能力提升全練8.B∵D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，∴DE=BF=12AB=3，EF=BD=12BC∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)為2×(3+4)=14.9.B∵E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴EF=12BC，EG=12AC，F(xiàn)G=1∴△EFG的周長(zhǎng)為64×12，同理可得△A'B'C'的周長(zhǎng)為64×122，……，則第n[變式]1解析已知第一個(gè)矩形的面積為1，第二個(gè)矩形的面積為122×2?2=14，第三個(gè)矩形的面積為122×3?2=116，……，故第n個(gè)矩形的面積為122n10.答案不唯一，如D是BC的中點(diǎn)解析答案不唯一.∵E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，當(dāng)E，D分別是邊AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，ED∥AC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴△BED≌△FDE.11.18解析∵CG∶GF=2∶1，△AFG的面積為3，∴△ACG的面積為6，∴△ACF的面積為3+6=9，∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴△ACF的面積=△BCF的面積，∴△ABC的面積為9+9=18.12.解析(1)證明：如圖1，連結(jié)AC，∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，GH是△DAC的中位線，∴EF∥AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)四邊形EFGH還是平行四邊形，以題圖2為例，理由如下：如圖2，連結(jié)AC.在△BAC中，∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=12在△DAC中，∵H、G分別為AD、CD的中點(diǎn)，∴HG∥AC，HG=12AC∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.圖1 圖2素養(yǎng)探究全練13.解析[猜想]證明：在△ABC中，∵點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴ADAB=AEAC=∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=∴DE∥BC，且DE=12[結(jié)論應(yīng)用](1)證明：∵BD、CE是△ABC的中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE=12BC.∵F、G分別是BO、CO的中點(diǎn)∴FG是△BCO的