24.5 相似三角形的性質(zhì)（第4課時(shí)）同步練習(xí)

24.5相似三角形的性質(zhì)（第4課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的長(zhǎng)是（）A．12 B．9 C．6 D．162．（2019·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點(diǎn)P，M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝3：2，則PM的長(zhǎng)為()A．60mm B．mm C．20mm D．mm3．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：34．（2022·上海楊浦·九年級(jí)期末）如圖，在梯形中，ADBC，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線與兩底分別交于點(diǎn)，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．（2022·上海奉賢·九年級(jí)期末）如圖，已知是邊上的一點(diǎn)，如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2020·上海·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC＝24，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，，MD與AC交于點(diǎn)K，則CK的長(zhǎng)為_(kāi)____．7．（2018·上海·格致中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)若，則________________．8．（2021·上海閔行·九年級(jí)期中）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝4，BC邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是____．9．（2022·上?！ひ荒＃┤鐖D，△ABC，△FGH中，D，E兩點(diǎn)分別在AB，AC上，F(xiàn)點(diǎn)在DE上，G，H兩點(diǎn)在BC上，且DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，F(xiàn)H∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，△FGH的面積是4，則△ADE的面積是______．10．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，分別是邊上的點(diǎn)，，如果，那么_________三、解答題11．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上，PA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，DP⊥BC，垂足為點(diǎn)P，＝．(1)求證：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的長(zhǎng)．12．（2021·上海閔行·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝20，BA＝10，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且CD＝3BD，聯(lián)結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：∠EBA＝∠C；(2)如果∠DAC＝90°，求△BAE的面積．13．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：點(diǎn)E在菱形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，AE交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥CE交DE于點(diǎn)G．求證：FG＝FC．14．（2021·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：AB2＝DE?BF；(2)如果OE＝1，EF＝2，求的長(zhǎng)．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB交BC于點(diǎn)F，那么＝_____．2．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．二、解答題3．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，連結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．4．（2022·上海閔行·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．5．（2022·上海市楊浦民辦凱慧初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，在中，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且(1)求證：；(2)如圖2，D在上且，延長(zhǎng)交于F，若，求的值．6．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知在梯形中，，對(duì)角線、交于，平分，點(diǎn)在底邊上，連結(jié)交對(duì)角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．7．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，CF．求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形：(2)．8．（2022·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上．聯(lián)結(jié)、、．(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，求證：．9．（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）已知:如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EM并延長(zhǎng)，交∠DCB的外角∠DCN的平分線于點(diǎn)F．(1)求證:ME=MF；(2)聯(lián)結(jié)DF，如果AB2=EB·BD，求證:四邊形DECF是正方形．10．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級(jí)期中）將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，連接BD．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長(zhǎng)線上．求證：點(diǎn)B是線段DC′的黃金分割點(diǎn)；(2)如圖2，連接AC′，過(guò)點(diǎn)D′作D′MAC′交BD于點(diǎn)M，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N．求證：MN2＝PN?DN．11．（2018·上?！ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？12．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)．(1)聯(lián)結(jié)CP并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：PC2＝PE?PF；(2)若AB2＝BD?DP，求證：∠BPC＝90°．13．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知MN∥BC，A是MN上一點(diǎn)，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，聯(lián)結(jié)DE．(1)求證：DE∥BC；(2)設(shè)MC與BN的交點(diǎn)為點(diǎn)G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．14．（2022·上海虹口·二模）如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)．點(diǎn)、分別在線段、上，且，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)作平行于的直線，分別交、、于點(diǎn)、、．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．15．（2022·上海寶山·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E在線段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．求證：(1)；(2)FD⊥DG．16．（2020·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、都不重合），是射線上一點(diǎn)，且，設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，的面積為．(1)求證：；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)與相似時(shí)，求的面積．

24.5相似三角形的性質(zhì)（第4課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的長(zhǎng)是（）A．12 B．9 C．6 D．16【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)兩次相似，然后找中間量等量代換即可求解．【詳解】解：AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，∴△ABE∽△DCE，∴，AB＝4，∴BE?CD＝4EC∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，EF＝3，∴BE?CD＝3BC＝3（BE+EC），∴4EC＝3BE+3EC，∴EC＝3BE，∴BC＝4BE，，∴CD＝12．答：CD的長(zhǎng)為12．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．2．（2019·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，有一塊三角形余料ABC，BC＝120mm，高線AD＝80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點(diǎn)P，M分別在AB，AC上，若滿足PM：PQ＝3：2，則PM的長(zhǎng)為()A．60mm B．mm C．20mm D．mm【答案】A【分析】利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，設(shè)AD交PN于點(diǎn)K，∵PM：PQ=3：2，∴可以假設(shè)MP=3k，PQ=2k，∵四邊形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴，∴，解得k=20mm，∴PM=3k=60mm，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．3．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GE∥BC交AC于點(diǎn)E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：3【答案】A【分析】根據(jù)題意由AD∥BC，GE∥BC，可證得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，設(shè)OD=x，OB=4x，則BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【詳解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴設(shè)OD=x，OB=4x，則BD=5x，∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴BG=BD=2.5x，∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．解決此題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)將OG、OB表示出來(lái)．4．（2022·上海楊浦·九年級(jí)期末）如圖，在梯形中，ADBC，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線與兩底分別交于點(diǎn)，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)ADBC，可得△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，再利用相似三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵ADBC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，∴，故A正確，不符合題意；∵ADBC，∴△DOE∽△BOF，∴，∴，∴，故B錯(cuò)誤，符合題意；∵ADBC，∴△AOD∽△COB，∴，∴，故C正確，不符合題意；∴，∴，故D正確，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海奉賢·九年級(jí)期末）如圖，已知是邊上的一點(diǎn)，如果，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件：，，可判定，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵，，∴，∴，即．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)隱含條件公共角是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC＝24，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，，MD與AC交于點(diǎn)K，則CK的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】15．【分析】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠N＝∠ADM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BN＝AD，求得＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于N，∵AD∥BC，∴∠N＝∠ADM，在△ADM與△BNM中，，∴△ADM≌△BNM（AAS），∴BN＝AD，∵，∴＝，∵CN∥AD，∴△CNK∽△ADK，∴＝＝，∴＝，∵AC＝24，∴CK＝15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2018·上海·格致中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)若，則________________．【答案】【分析】△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【詳解】∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．∴△ACD∽△ABC，∴，∵AD=1，BD=4，∴AB=5，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的高線把這個(gè)直角三角形分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海閔行·九年級(jí)期中）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝4，BC邊上的高是6，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是____．【答案】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，再證明△AGF∽△ABC，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得=，然后解關(guān)于x的方程即可．【詳解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，∵BC邊上的高是6，即設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，則GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)．也考查了正方形的性質(zhì)．9．（2022·上海·一模）如圖，△ABC，△FGH中，D，E兩點(diǎn)分別在AB，AC上，F(xiàn)點(diǎn)在DE上，G，H兩點(diǎn)在BC上，且DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，F(xiàn)H∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，△FGH的面積是4，則△ADE的面積是______．【答案】9【分析】只要證明△ADE∽△FGH，可得，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假設(shè)BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，F(xiàn)H∥AC，∴四邊形BGFD是平行四邊形，四邊形EFHC是平行四邊形，∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH，∴．∵△FGH的面積是4，∴△ADE的面積是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，分別是邊上的點(diǎn)，，如果，那么_________【答案】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝60°，證明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性質(zhì)得出則可求出答案．【詳解】解：∵是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上，PA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，DP⊥BC，垂足為點(diǎn)P，＝．(1)求證：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）通過(guò)證明Rt△ABP∽R(shí)t△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性質(zhì)可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明△APC∽△ADP，可得，即可求解．（1）證明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP＝∠DPC＝90°，設(shè)＝＝k，∴AP＝k?PD，BP＝k?CD，∴AB＝，PC＝，∴＝k＝＝，∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCD，∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，∵∠DPB＝∠C＋∠CDP＝∠APB＋∠APD，∴∠APD＝∠C；（2）解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝6，∵CD＝4，∴AD＝2，∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴，∴AP2＝2×6＝12，∴AP＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．12．（2021·上海閔行·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝20，BA＝10，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且CD＝3BD，聯(lián)結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：∠EBA＝∠C；(2)如果∠DAC＝90°，求△BAE的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，等量代換即可得證；（2）設(shè)，勾股定理求得，進(jìn)而求得，由可得，，代入數(shù)值，求得，根據(jù)三角形的面積公式求解即可．(1)∵，，∴，，∵，∴，，∴在與中，∴∴∵，∴，∴(2)∵，∴，設(shè)，∵，在中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：點(diǎn)E在菱形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，AE交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥CE交DE于點(diǎn)G．求證：FG＝FC．【分析】利用平行線證明△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，利用比例式證明即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，DC∥AB，AD∥BC，∵FG∥BC，∴FG∥AD，∴△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，∴＝，＝，∴＝，∴FG＝FC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行得出三角形相似，利用比例式證明線段相等．14．（2021·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：AB2＝DE?BF；(2)如果OE＝1，EF＝2，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)＝【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，從而得到△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，進(jìn)而得到，即可求證；（2）根據(jù)△CEF∽△BAF，△ADO∽△FBO，可得＝，＝，從而得到AO＝，即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE?BF；(2)解：∵△CEF∽△BAF，△ADO∽△FBO，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO＝，∴＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB交BC于點(diǎn)F，那么＝_____．【答案】【分析】由點(diǎn)G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，則GE：AE=1：3，再GF∥AB，得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∴GF∥AB，△EGF∽△EAB∴，是邊上的中線，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．2．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．【答案】【分析】由DE∥AB可得，進(jìn)而結(jié)合題干中的條件得到AE＝DE，即可求解．【詳解】解：∵DE∥AB，∴，∴，又∵＝，∴＝，又∵AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、角平分線的定義；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，連結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）因?yàn)锽D=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四邊形ADFE是平行四邊形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四邊形ADFE是菱形；（2）利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證明△ADE∽△ACB，再用比例式求出DE的長(zhǎng)．(1)證：∵BD=2AD，AE=2EC，∴，

∵DF//AC，∴，∴，∴EF//AB，

∴四邊形ADFE是平行四邊形．

∴EF=AD=，DF=AE=．∵AB=2AC，∴EF=，

∴EF=DF，∴四邊形ADFE是菱形．(2)如圖：∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=，AE=，∴，∵，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴DE=．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)證明平行是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·上海閔行·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG；（2）證明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問(wèn)題．(1)證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)證明：連接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB?EM=EC?AE，∵AB?DM=EC?AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題．5．（2022·上海市楊浦民辦凱慧初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，在中，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且(1)求證：；(2)如圖2，D在上且，延長(zhǎng)交于F，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）判斷出△BAE∽△CAB，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)CD＝m，則BD＝3m，BC＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，進(jìn)而得出，BE＝6m，過(guò)點(diǎn)E作EHBC交AF的延長(zhǎng)線于H，再判斷出△ACD∽△AEH，求出EH＝m，再判斷出△BDF∽△EHF，得出，進(jìn)而求出EF，即可求出答案；(1)證明：∵∠E＝∠ABC，∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴∴AB2＝AC?AE；(2)解：如圖3，設(shè)CD＝m，則BD＝3CD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，∴∵，∴∴，BE＝6m，過(guò)點(diǎn)E作EHBC交AF的延長(zhǎng)線于H，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE∴△ACD∽△AEH，∴，∴∴EH＝m，∵EHBC，∴∠BDF＝∠EHF，∠DBF＝∠HEF∴△BDF∽△EHF，∴，∴∴，∵BE＝EF+BF＝EF+EF＝EF，∴EF＝，∴；【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知在梯形中，，對(duì)角線、交于，平分，點(diǎn)在底邊上，連結(jié)交對(duì)角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，然后可得，則有，由角平分線及平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）可知，然后可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．(1)證明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；(2)證明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，CF．求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形：(2)．【分析】（1）根據(jù)已知首先證明△ADF≌△EDC，再利用AF=CE，AF∥BC得出即可；（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，進(jìn)而得出比例式，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可．(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADF和△EDC中，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；(2)證明：∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG?BE=AF?AE，∴FG?BE=CE?AE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出證明等積式需證明△AFG∽△BEA是解決問(wèn)題的關(guān)鍵8．（2022·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上．聯(lián)結(jié)、、．(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，求證：．【分析】（1）設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，BE=CE=2x，勾股定理求出AE2，EF2，AF2，證得△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，利用線段比例得到，證得△ABE∽△AEF，即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，證明△ABE≌△AHE（AAS），得到AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，則CE=BE=a，BC=2BE=2a，AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，由此得到Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），得到DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，勾股定理得到CE2+CF2=EF2，求出DF=，即可得到結(jié)論．(1)解：∵四邊形是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，∵DF=3CF，∴設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴BE=CE=2x，∵，，，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，∵，，∴，∴△ABE∽△AEF，∴；(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，∵，AE=AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE=a，BC=2BE=2a，∴AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，∵∠AHF=∠D=90°，AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴a2+（2a-m）2=（a+m）2，解得m=，即DF=，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握正方形的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)表示線段的長(zhǎng)度，由此利用全等和相似進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）已知:如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EM并延長(zhǎng)，交∠DCB的外角∠DCN的平分線于點(diǎn)F．(1)求證:ME=MF；(2)聯(lián)結(jié)DF，如果AB2=EB·BD，求證:四邊形DECF是正方形．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，根據(jù)已知條件以及中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角以及角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可證明（2）根據(jù)已知恒等式可證明，進(jìn)而可得，則四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，由（1）可得出四邊形DECF是矩形，根據(jù)鄰邊相等，即可證明四邊形DECF是正方形．(1)四邊形是菱形對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，，是的外角，是∠DCN的角平分線，又(2)AB2=EB·BD，又四邊形是菱形四邊形是正方形由（1）可知四邊形是矩形四邊形是正方形【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級(jí)期中）將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，連接BD．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長(zhǎng)線上．求證：點(diǎn)B是線段DC′的黃金分割點(diǎn)；(2)如圖2，連接AC′，過(guò)點(diǎn)D′作D′MAC′交BD于點(diǎn)M，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N．求證：MN2＝PN?DN．【分析】（1）如圖1，設(shè)AB=1，BC=x，則，，，然后證明，得到，即解得或（舍去），則，即可得到點(diǎn)B是線段的黃金分割點(diǎn)；（2）如圖2所示，連接，連接AM，先證明，然后證明，得到，則；推出，得到，即可證明，得到，即可推出，得到NA=NM，證明△ANP∽△DNA，得到，則，．（1）解：如圖1，設(shè)AB=1，BC=x，∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形，∴點(diǎn)A、B、三點(diǎn)共線，∴，，∴，∵點(diǎn)恰好在DB延長(zhǎng)線上，∴，又∵，∴，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，∴點(diǎn)B是線段的黃金分割點(diǎn)；（2）解：如圖2所示，連接，連接AM，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在△ADM和中，，∴，∴，∵，，∴，∴NA=NM，∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，∴△ANP∽△DNA，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2018·上?！ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？【答案】這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為．【分析】先根正方形對(duì)邊平行可得BC//EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”證得，可得；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，然后列分式方程解答即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵AD⊥BC∴設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∴

，整理得：，解得．答：這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，證得和靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．12．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)．(1)聯(lián)結(jié)CP并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：PC2＝PE?PF；(2)若AB2＝BD?DP，求證：∠BPC＝90°．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出DC∥AB，BC∥AD，證明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性質(zhì)得出，，則可得出結(jié)論；（2）證明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性質(zhì)得出∠DCP＝∠BDC，證出∠DPC＝90°，則可得出結(jié)論．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC∥AB，BC∥AD，∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，∴，，∴，，∴PC2＝PE?PF；(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠DCB＝90°，∵∴DC2＝BD?DP，∴，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCP＝∠BDC，∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，∴∠DPC＝90°，∴∠BPC＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知MN∥BC，A是MN上一點(diǎn)，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，聯(lián)結(jié)DE．(1)求證：DE∥BC；(2)設(shè)MC與BN的交點(diǎn)為點(diǎn)G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）由題意根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由題意根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得AN=，得到MN=，推出△MGN∽△CGB，進(jìn)而即可得到結(jié)論．(1)解：證明：∵M(jìn)N∥BC，∴△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，∴，∵AM=AN，∴，∴DE∥BC；(2)解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∵M(jìn)N∥BC，∴△BDE∽△BAN，∴，∴AN=，∴MN=，∵DE∥MN，DE∥BC，∴MN∥BC，∴△MGN∽△CGB，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上海虹口·二模）如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)．點(diǎn)、分別在線段、上，且，聯(lián)結(jié)，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)平行四邊形是矩形時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)過(guò)點(diǎn)作平行于的直線，分別交、、于點(diǎn)、、．當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）由，平分，可知，利用等角對(duì)等邊，