專項(xiàng)24-切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓-重難點(diǎn)題型

切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓】（1）切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角（2）三角形內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【題型1切線長(zhǎng)定理（周長(zhǎng)問題）】【例1】（永定區(qū)模擬）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【變式1-1】（龍鳳區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝9，CD＝15，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．【變式1-2】（崇川區(qū)月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F，交AD邊于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為12，則直角梯形ABCE周長(zhǎng)為．【變式1-3】（錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，C是AB上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PA＝4，求△PED的周長(zhǎng)．【題型2三角形的內(nèi)切圓（求半徑）】【例2】（張店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為（）A．1 B．3 C．2 D．2【變式2-1】（新豐縣期末）已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為4、3，則其內(nèi)切圓的半徑為．【變式2-2】（東臺(tái)市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑是（）A．5 B．2 C．5或2 D．2或7?【變式2-3】（江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為．【題型3三角形的內(nèi)切圓（求面積）】【例3】（遵化市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是（）A．6 B．7 C．73 D．12【變式3-1】（河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【變式3-2】（荊門一模）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A．43 B．23 C．2【變式3-3】（黃岡期中）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB是⊙O的直徑，CF是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面積．【題型4三角形的內(nèi)切圓（求角度）】【例4】（萊蕪區(qū)三模）如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，I為△ABC內(nèi)心，已知∠OAB＝50°，則∠AIB的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．130° D．135°【變式4-1】（夏津縣期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIA的度數(shù)是．【變式4-2】（龍巖期末）如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，若∠P＝40°，則∠PAE+∠PBE的度數(shù)為（）A．50° B．62° C．66° D．70°【變式4-3】（沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，則∠COD的度數(shù)是．

切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓】（1）切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角（2）三角形內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【題型1切線長(zhǎng)定理（周長(zhǎng)問題）】【例1】（永定區(qū)模擬）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長(zhǎng)定理，將△ABC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為切線長(zhǎng)求解．【解答】解：根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：PA＝PB，F(xiàn)A＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周長(zhǎng)＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故選：C．【變式1-1】（龍鳳區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝9，CD＝15，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為48．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，故答案為：48．【變式1-2】（崇川區(qū)月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F，交AD邊于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為12，則直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)知：AE＝EF，BC＝CF；根據(jù)△CDE的周長(zhǎng)可求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)；在Rt△CDE中，利用勾股定理可將AE的長(zhǎng)求出，進(jìn)而可求出直角梯形ABCE的周長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∵CE與半圓O相切于點(diǎn)F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14．故答案為：14．【變式1-3】（錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，C是AB上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PA＝4，求△PED的周長(zhǎng)．【分析】由PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB＝4，同理得DC＝DA，EC＝EB，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義得到△PED的周長(zhǎng)＝PD+DE+PE，然后利用等相等代換得到△PDE的周長(zhǎng)＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴PA＝PB＝4，∵過點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E，∴DC＝DA，EC＝EB，∴△PED的周長(zhǎng)＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．【題型2三角形的內(nèi)切圓（求半徑）】【例2】（張店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為（）A．1 B．3 C．2 D．2【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC=A如圖，分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB=12BC?DO+12AC?OE+12AB?FO=12（∵∠C＝90°，∴12×AC?BC=12（BC+AC+∴OD=3×4故選：A．【變式2-1】（新豐縣期末）已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為4、3，則其內(nèi)切圓的半徑為1．【分析】連接OE、OQ，根據(jù)圓O是三角形ABC的內(nèi)切圓，得到AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝90°，OE＝OQ，推出正方形OECQ，設(shè)OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，得到方程4﹣r+3﹣r＝5，求出方程的解即可．【解答】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=A∴∠C＝90°，連接OE、OQ，設(shè)圓O是三角形ABC的內(nèi)切圓，∴AE＝AF，BQ＝BF，∠OEC＝∠OQC＝∠C＝90°，OE＝OQ，∴四邊形OECQ是正方形，∴設(shè)OE＝CE＝CQ＝OQ＝r，∵AF+BF＝5，∴4﹣r+3﹣r＝5，∴r＝1，故答案為：1．【變式2-2】（東臺(tái)市期末）在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑是（）A．5 B．2 C．5或2 D．2或7?【分析】根據(jù)Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，分兩種情況討論：當(dāng)BC邊為直角邊和斜邊兩種情況求解即可．【解答】解：設(shè)直角三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)I，半徑為r，三邊上的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接ID、IE、IF，得正方形，則正方形的邊長(zhǎng)即為r，如圖所示：當(dāng)BC為直角邊時(shí)，AC=A根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；當(dāng)BC為斜邊時(shí)，AC=BC2根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝27?r∴BC＝BF+CF＝6﹣r+27?r解得r=7答：這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑是2或7?故選：D．【變式2-3】（江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為4．【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，設(shè)BH＝x，則CH＝14﹣x，根據(jù)勾股定理可得x的值，可得△ABC的面積，根據(jù)△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，AI，BI，CI，可得ID＝IE＝IF，根據(jù)S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，列式計(jì)算即可得△ABC的內(nèi)切圓半徑．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵AB＝13，AC＝15，BC＝14，設(shè)BH＝x，則CH＝14﹣x，在Rt△ABH中，AH2+x2＝132，在Rt△AHC中，AH2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，解得x＝5，在Rt△ACH中，AH=A∴△ABC的面積=12BC?AH∵△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，AI，BI，CI，∴ID＝IE＝IF，∴S△ABC＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，∴84=12AB?ID+12BC?IE+∴84=12∴ID＝4．∴△ABC的內(nèi)切圓半徑為4．故答案為：4．【題型3三角形的內(nèi)切圓（求面積）】【例3】（遵化市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是（）A．6 B．7 C．73 D．12【分析】利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定方法得出四邊形OECD是正方形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．【解答】解：連接DO，EO，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3又∵∠C＝90°，∴四邊形OECD是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，設(shè)EO＝x，則EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+2）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC=1故選：A．【變式3-1】（河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【分析】設(shè)⊙O與正方形ABCD的邊CD切于E，與BC切于F，連接OE，OF，得到四邊形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)⊙O與正方形ABCD的邊CD切于E，與BC切于F，連接OE，OF，則四邊形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面積為4π，故選：C．【變式3-2】（荊門一模）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A．43 B．23 C．2【分析】過點(diǎn)C作CH⊥BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，可得∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+12∠A＝120°，所以∠COH＝60°，利用含30度角的直角三角形可得CH【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+12∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝23，∴△OBC的面積=12×OB?CH=12故選：B．【變式3-3】（黃岡期中）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB是⊙O的直徑，CF是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面積．【分析】設(shè)AF＝x，由切線長(zhǎng)定理可得EF＝AF＝x，則FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出問題的答案．【解答】解：設(shè)AF＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圓的切線，∵CF是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB為⊙O的切線，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=1∴DF＝1﹣x=3∴S△CDF=12×【題型4三角形的內(nèi)切圓（求角度】【例4】（萊蕪區(qū)三模）如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，I為△ABC內(nèi)心，已知∠OAB＝50°，則∠AIB的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．130° D．135°【分析】根據(jù)OA＝OB，得∠O＝80°，則∠C＝40°，由I為△ABC內(nèi)心，得AI、BI為∠CAB、∠CBA的平分線，則有∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）=1【解答】解：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝80°，∴∠C＝40°，∵I為△ABC內(nèi)心，∴AI、BI為∠CAB、∠CBA的平分線，∴∠IAB=12∠CAB，∠∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）=1∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣70°＝110°．故選：A．【變式4-1】（夏津縣期末）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIA的度數(shù)是135°．【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓得出∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，求出∠IAB+∠IBA=【解答】解：∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案為：135．【變式4-2】（龍巖期