2025年湖北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.（5分）設(shè)集合力={￡€N|y=生有eN},則集合4的真子集個數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

-1

2.(5分)若復(fù)數(shù)Z滿足-=-i,則閭等于（）

Z

1V2

A.-B.一C.V2D.2

22

TTTT,TT

3.(5分)已知向量Q=（1，t），b=(—3,1),且(2a+b)lb,貝“a—口=(

A.5B.2V5C.D.2V6

1

(5分-

-，

4.2

117

ABC

一--

?639D.

5.（5分）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出

來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體

積之比為（）

（—2ax—1?xV2

6.（5分）已知函數(shù)/（%）=，貝！1。三2”是“/（x）在R上單調(diào)遞增”的（）

\loga（x-1）+2a,x>2

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

7.（5分）已知函數(shù)/（x）=sinx（xG[O,Tt]）和函數(shù)g（x）=■Itanx的圖象相交于B,C三點，則△48C

第1頁（共16頁）

的面積為（)

8.（5分）已知函數(shù)>=/（x）（x=0）滿足f（xy）=/（x）+f（y）-1,當(dāng)x>l時，/（x）<1,貝lj（）

A./（x）為奇函數(shù)

B.若/（2x+l）>1,貝

C.若-2）=.，則/（1024）=-4

11

D.若/弓）=2,財八壺）=10

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級雜

交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究

所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高F（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N（100,IO?）.已知x?N（H，O

2）時，有P（區(qū)-TW。）-0.6827,P（|X-N|W2。）七0.9545,P（因-國（3。）處0.9973.下列說

法正確的是（）

A.該地水稻的平均株高約為100cm

B.該地水稻株高的方差約為100

C.該地株高超過110cm的水稻約占68.27%

D.該地株高低于130cm的水稻約占99.87%

（多選）10.（6分）設(shè)函數(shù)/（x）=2x3-3ax2+l,貝I］（）

A.當(dāng)a>l時，f（x）有三個零點

B.當(dāng)。<0時，x=0是/G）的極大值點

C.存在a,b,使得x=6為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在°,使得點（1,/（1））為曲線y=/（x）的對稱中心

（多選）11.（6分）把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)x（x為銳角），記表面積增加

量為S=/（x）,則下列說法正確的是（）

第2頁（共16頁）

圖I圖2

A兀、1

A-"6）=4

B./（x）的圖像關(guān)于直線x=多寸稱

C.S的最大值為6-4a

D.S的最大值為3—2近

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=2%-。?2一”是偶函數(shù)，則〃=.

13.（5分）若雙曲線a—y2=1（a＞0）的一條漸近線與直線6x-3y+l=0垂直，則該雙曲線的離心率

為.

14.（5分）在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)。為樣本空間，若事件/1,Ai,4,兩兩互斥，/1U/2

U…U/”=Q，則對任意的事件BUQ,有尸（2）=P（出）P（⑹/1）+P（如）P（為血）+---+P（4,）

P（引也）.若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有x個白球（xCN）、3個紅球、2個黑

球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒

中取出的球顏色相同的概率大于等于靜，則x的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（13分）在△/3C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△/3C的面積，且4百S=a?-（b-c）2.

（1）求角4

（2）求生二的取值范圍.

a

/v21

16.（15分）已知橢圓C：7■+記=1（。＞6＞。）的右頂點為4（2,0）,離心率為

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點/的直線/與橢圓。交于另一點3,若|/同=竽，求直線/的方程.

17.（15分）如圖，在三棱錐S-48c中，底面/2C是正三角形，AB=4,SA=SC=2?側(cè)面S/CL底

面48C,D,￡分別為S3的中點.

第3頁（共16頁）

(I)求證：ACLSB-,

(II)求直線SC與平面ECD所成角的正弦值;

(III)求二面角E-CD-B的余弦值.

(1)若/'(x)，。恒成立，求a的最小值；

,、e~x

(2)求證：---+x+Inx-1>0；

X

(3)已知左(/工+一)恒成立，求人的取值范圍.

19.(17分)若數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，對任意“CN*,有延+12冊+2即，則稱數(shù)列｛即｝為“對數(shù)凹性”

數(shù)列.

(1)已知數(shù)列1,3,2,4和數(shù)列1,2,4,3,2,判斷它們是否為“對數(shù)凹性”數(shù)列，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(無)=%++為/+/爐有三個零點，其中歷>0(z=l,2,3,4).

證明：數(shù)列加，bl,b3,b4為“對數(shù)凹性”數(shù)列；

(3)若數(shù)列｛Cn｝的各項均為正數(shù)，C2>C1，記｛Cn｝的前〃項和為S”Wn^^Sn,對任意三個不相等正

整數(shù)0,q,r,存在常數(shù)使得(p-q)Wr+(q-r)Wp+(r-p)Wq=t.

證明：數(shù)列｛S〃｝為“對數(shù)凹性”數(shù)列.

第4頁(共16頁)

2025年湖北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.(5分)設(shè)集合4={xeN[y=]geN},則集合/的真子集個數(shù)為()

A.7B.8C.15D.16

17

【解答】解：由y=^eN且X6N可知，x+3可以取3,4,6,12,則x可取0,1,3,9,

即/={0,1,3,9},故集合/的真子集個數(shù)為24-1=15.

故選：C.

2.(5分)若復(fù)數(shù)2滿足一=-3則團(tuán)等于()

z

A.-B.—C.V2D.2

22

1

【解答】解：若復(fù)數(shù)Z滿足-=?-i，

Z

[H|i1乃+i

則2=石=丁

米甲4

故選：A.

TTTTTTT

3.(5分)已知向量a=(l,t),b=(—3,1),且(2a+b)lb,貝!||a—b|=()

A.5B.2V5C.2V7D.2V6

【解答】解：由題意，2a+b=(2,2t)+(—3,=2t+1),(2a+b)_L匕=(2a+b)?b=

3+21+1=21+4=0,解得t=-2,

tTT

故a-b-bIa-—?b

(43p)

故sir

選h4

i,

1

分

1)若)-

)?-2"

1172

Bc

一--

A.6-39D.3

,1

【解答】解：因為sin(a+p)=sinacosB+sin0cosa=2,

又tana=5tanP，

第5頁(共16頁)

sinaSsinp

所以----=-----,BPsinacosB=5sinBcosa,

cosacosp

51

所以sinacosP=迪，sin0cosa二誦，

貝Usin(a-p)=sinacosP-sin0cosa=亍

故選：B,

5.(5分)如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出

來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體

【解答】解：設(shè)半球的半徑為八圓錐的母線長為/,則圓錐的高〃=62一

??,圓錐形脆皮筒的側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，

/.^7=2X271^,.*./=4r,.\h=V15r,

^7rr2xV15r在耳

...此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為一^—=—

鏟了乙

故選：B.

_%22ax_1x<^2

'，則“aN2”是“/(x)在R上單調(diào)遞增”的()

loga(x-1)+2a,x>2

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

【解答】解：因為/(x)在R上單調(diào)遞增，

a>2fa>2

所以，a>l=><CL>1=2<a<

-4+4a—1<logJ+2a<|-

第6頁(共16頁)

所以是2WaW搟的必要不充分條件，即a22是“/(X)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.

故選：C.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=sinr(xG[O,TT])和函數(shù)g(x)=Itanx的圖象相交于N,B,C三點，則△4BC

的面積為()

TT2TT37r47r

A,gB-TC.=D.M

【解答】解：?函數(shù)/(x)=sinx(xE[O,n])和函數(shù)g(x)=的圖象相交于4,B,C三點，

由sinx='tanx,可得sinx=O,或cosx=.

即sinx=O,或sinx=引

..4

??x=0,x=ir,x~~arcsin~?

…44

???可設(shè)/(0,0),B(arcsin-,-C(TT,0),

142TT

則△45C的面積為,

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)(x)(xWO)滿足f(盯)=f(x)+f(y)-1,當(dāng)x>l時，/(x)VI,貝!J()

A./(x)為奇函數(shù)

B.若/(2x+l)>1,則-l<x<0

C.若f(2)=.，則/(1024)=-4

D.若f?)=2,則f(表)=10

【解答】解：令x=l,y=~1,則/(I)=1；

令x=-1,y=-1,則/(-1)=1.

令^=-L得/(-x)=f(x),

故>=/(x)(xWO)為偶函數(shù)，故4不正確；

%2

任取XI，X2G(0,+°°),X1<X2，則一>1,

.%?

則f(X2)=f(XI)+f(—)-l<f(xi),

故(x)(xWO)在(0,+8)上為減函數(shù).

由已知/(2x+l)>1,可得/(|2x+l|)>/(1),

第7頁（共16頁）

1

故|2x+l|<l,解得且xK-之，故2不正確；

若/(2)=去則/(1024)(210)=/(29)+f(2)-l=10f(2)-9=-4,故C正確；

1,1111

若/(5)=2,則/(豆)=2f(-)-1=3,/(-4)=2/(-2)-1=5,

乙乙乙乙乙

11111

/(k)=f<7)V<^5)-1=6,所以/(而工)="(k)-1=11，故。不正確?

ZZZJ.UZ4Z

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級雜

交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究

所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高F(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(100,102).已知X?N(p,。

2)時，有尸(|X-n|W。)^0.6827,P(|X-n|W2。)仁0.9545,P(因-川?3。)^0.9973.下列說

法正確的是()

A.該地水稻的平均株高約為IOOC/M

B.該地水稻株高的方差約為100

C.該地株高超過110cm的水稻約占68.27%

D.該地株高低于130cm的水稻約占99.87%

【解答】解：由題意可知，四=100,o2=102=100,故/,8正確，

11

P(X>110)=|x[l-P(90<JT<110)(1-0.6827)=0.15865處15.865%,故C錯誤，

P(XV130)=1-J[1-P(70<JV<130)]=1-^0.99865^99.87%,故。正確.

故選：ABD.

(多選)10.(6分)設(shè)函數(shù)f(x)=2?-3°『+1,貝!]()

A.當(dāng)a>\時，f(x)有三個零點

B.當(dāng)。<0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=6為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,/(1))為曲線y=/(x)的對稱中心

【解答】解：由/"(x)=2x3-3ax2+l,得/(x)=6x(x-a),

對于4當(dāng)。>1時，/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(-8,0)和(d+oo)上單調(diào)遞增；

/(x)的極大值/(0)=1>0,/(x)的極小值/(a)=1-a3<0,所以/(x)有三個零點，故/正確；

第8頁(共16頁)

對于8,當(dāng)a<0時，/（x）在（a,0）上單調(diào)遞減，在（-8,。）和（o,+8）上單調(diào)遞增，x=0是

極小值點，故2錯誤；

對于C,任何三次函數(shù)不存在對稱軸，故C錯誤；

對于。，當(dāng)。=2時，f（x）=2x3-6^+1=2（x-1）3-6（x-1）-3,關(guān)于點（1,-3）中心對稱，

故。正確.

故選：AD.

（多選）11.（6分）把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)xG為銳角），記表面積增加

量為S=/（x）,則下列說法正確的是（）

黜

圖1

A￡f兀、1

A."G）=4

B./（x）的圖像關(guān)于直線x=多寸稱

C.S的最大值為6-4魚

D.S的最大值為3—2近

【解答】解：圖中陰影部分表面積增加量S,假設(shè)斜邊長為a,

則acosx+asinx+a=1①，

所以S=/（%）=2-acosx?asinx-8=26z2sin2x,

對于選項當(dāng)％=看時，由①式得，a=鄉(xiāng)3G

所以S=/（x）=2x（與1）2義:=包注，故力錯誤；

對于選項5,sin2x的對稱軸為2%=5+/CTT=>%=與+苧兀，臟Z,

當(dāng)左=0時，x=爭

即/G）的圖像關(guān)于直線汽對稱，故5正確;

對于選項。、D,S=4a2siwccosx,

第9頁（共16頁）

因為sinxcosx<⑸,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx時，等號成立，

又由①可得，sinx+cosx=V2sin(x+*)=

所以SW4a2x(S成丁SX)2=〃x(m)2=(i)2,

因為x為銳角，所以xe(0,1),

――>TT7T37r

所以1十工€(―,—

444

所以&sin(x+/=(1,V2],

1

所以tzG[V2-1,-),

1

所以(1-Q)G(-,2-V2],

所以(1-Q)2<(2-V2)2=6-4近,

即SW6-4魚，故。正確，。錯誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知函數(shù)/(%)=2%-。?2一”是偶函數(shù)，則4=-1.

【解答】解：???函數(shù)/(%)=2%-〃?2汽xCR是偶函數(shù)，

11

.*./(-1)=f(1),則5-2a=2--a,解得Q=-1,

當(dāng)a=-1時，f(x)=2%+2%,

(-x)=2~x+2x=f(x),故/(%)是偶函數(shù).

綜上所述，a=-1.

故答案為：-1.

13.(5分)若雙曲線葭一丁=1(口>0)的一條漸近線與直線6x-3y+l=0垂直，則該雙曲線的離心率

*V5

為一1■一.

【解答】解：雙曲線7―y2=i(a>0)的漸近線方程為y=±《x,直線6x-3尹1=0斜率為2,

由一條漸近線與直線垂直得-/x2=-1,解得。=2,

所以離心率為e=耳比=等^=卓.

故答案為：y.

第10頁(共16頁)

14.（5分）在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)。為樣本空間，若事件〃，A2,4兩兩互斥，/1U/2

U…0/“=。，則對任意的事件8UQ,有P（8）=P（?。㏄（用小）+P（血）P（8出）+---+P（A?）

P（耳/〃）.若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有x個白球（xCN）、3個紅球、2個黑

球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒

中取出的球顏色相同的概率大于等于卷，則x的最大值為6.

【解答】解：設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為/1，A2,A3,

從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為2,

則尸⑻=尸（出）尸⑷4）+尸。2）尸的2）+尸（出）尸（即3）=￡浜+|?象+1磊=靠卷,

因為P(B)>

?,2%+135

所以充拓-五’

解得xW6,

則X的最大值為6.

故答案為：6.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（13分）在△/3C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△/3C的面積，且4百S=a?-（b-c）2.

（1）求角4

（2）求生二的取值范圍.

a

【解答】解：（1）由余弦定理知*a2=Z>2+c2-IbccosA,

所以『-（b2+c2）=-2bccosA,

因為4百S=a2—（b—c）2,

1

所以4V3?—&csiiL4=6Z2-（b2+c2）+2bc=-2bccosA+2bc,

整理得V^siiU+cosZ=1,

所以2sin（/+看）—b即sin（—+卷）=）

因為4c（0,ii）,所以即4=

663

2IT

（2）由Cl）知/=等

所以8+C=

第11頁（共16頁）

b2+c2sin2B+sin2C4

由正弦定理知,=~(sin25+sin2C),

a2sin2,A3

rc兀,V3

而sin25+sin2Csin25+sin2(——Bsin95+(z—cosB—isinB)2

32

%出+*(1-sin25)一字sinScosB

31l—cos2BV331TT

'COS8+4=2?---~~s;in25+4=--^sin(25+石)+1,

__7T,TT7157rTT1

因為t(0,]),所以25+石6N-),sin(25+石)E(5,1],

113

所以sin25+sin2c=—Rn(25+,)+16[—,—

房+。242

所以--n-=—(sin25+sin2C)€[二,1),

a433

b2+c22

即一廠的取值范圍為仁，1).

a乙3

%2y21

16.(15分)已知橢圓C：9+會=1(a>b>0)的右頂點為4(2,0),離心率為了

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點/的直線/與橢圓。交于另一點3,若|/同=衿@，求直線/的方程-

【解答】解：(1)由題意可得，。=2.

因為e=W=*，所以c=l，b=Va2—c2=V3,

x2y2

故橢圓C的方程為,+—=1;

43

(2)由題意可知，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為夕=后(x-2).

身工藝_1

聯(lián)立43，得(4乒+3)--16廬x+16F-12=0,

y=k(x-2)

易知△>0,設(shè)8易2,”)，

則加=璞青,

8k2—6-12k

所以％2=y2=

因為|4切2=(小-2)2+%=(,2

由[、“8k2—621c-12k、2

所以(際—2)2+(許)2=f(2

即(F-l)(32F+31)=0,解得左=土1,

所以直線/的方程為＞=土(x-2),BPx+y-2—0.

第12頁(共16頁)

17.(15分)如圖，在三棱錐S-/8C中，底面/3C是正三角形，4B=4,SA=SC=2^,側(cè)面“C，底

面NBC,D,E分別為48,S2的中點.

(I)求證：ACLSB-,

(II)求直線SC與平面ECD所成角的正弦值;

(III)求二面角E-CZ>-B的余弦值.

【解答】(I)證明：取/C的中點，連接02,0S.

'：SA=SC,AB=CB,

：.ACLSO,ACLBO.

又?.?平面S/C_L平面ABC,

且zC是平面與平面的交線，

；.S0_L平面N3C.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.…(1分)

由已知得/(2,0,0),B(0,2V3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2四)，D(1,V3,0),E(0,

V3,V2).

/.AC=(-4,0,0),SB=(0,2V3,-2V2).

—>—?

：.AC-SB=(-4,0,0)?(0,2V3,-2V2)=0,

C.ACLSB.…(5分)

->T->

(II)解：CE=(2,V3,V2),DE=(-1,0,V2).SC=(-2,0,-2夜).

設(shè)平面ECD的法向量為臣=(x,y,z),

T—TT

\*n*CE=0,n9DE=0

.(2x+V3y+V2z=0

I—%+V2z=0

令z=l,則x=a,y=-V6.

故7=(V2,-V6,1)為平面ECD的一個法向量.…(8分)

第13頁(共16頁)

-4722V6

則a>=

cos<n,3X275--

|n|-|5C|

直線SC與平面ECD所成角的正弦值為一半.…(10分)

y

(III)解：由(II)可知蔡=(V2,-V6,1)為平面ECD的一個法向量,

―>

而。S=(0,0,2V2),為平面8c。的一個法向量.

設(shè)二面角E-CD-B的大小為。，易知二面角E-CD-B是銳角,

->T

.n「OS2V21

??cos。-1TTI=二=3

171110sl3X2,2J

1

工二面角的余弦值等于］…(13分)

(1)若/(%)20恒成立，求。的最小值；

e~x

(2)求證：---+%+Inx-1>0；

x

(3)已知左(/%+/)2%-動吠恒成立，求左的取值范圍.

【解答】解：(1)因為函數(shù)/(x)=ax-lnx-1,x>0,所以不等式/(x)20等價于a2

X

人1、Znx+1口m.1,,、％?+0)-(伍％+1)Inx甘出

令g(x)=---,且x>0,貝Ijg(x)=—-----p----------二一轉(zhuǎn)，其中

當(dāng)(0,1)時，g'(x)>0,當(dāng)(1,+°°)時，gr(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+°°)上單調(diào)遞減，

所以g(%)max=g(1)=1，

所以。21,即。的最小值為1.

(2)證明：當(dāng)。=1時，由(1)得12配什1,即￡2歷什1,其中>0.

x

第14頁(共16頁)

e~x

所以--->—x—Inx+1,

x

口L

即---+%+Inx—1>0.

x

(3)因為左(e%+/)三%-》瓦廣恒成立，即+%)21—仇久恒成立,

p—X..

所以仁置一

p—X

e~x一、

由(2)知一+x+Znx-1>0恒成立,

x

p—X.y

—^—\-x+lnx—l

所以1—p-X<1,

所以后21,