《高等數(shù)學（經(jīng)濟類）下冊 第2版》習題及答案 第10、11章 二重積分、級數(shù)

習題10-1（A）1．設，其中；，其中，利用二重積分的幾何意義說明與的關(guān)系.解：由于，所以.2.用幾何意義計算下列二重積分值：（1），其中由直線及兩坐標軸圍成；解：由二重積分的幾何意義可知，為以為底，以為頂?shù)乃拿骟w的體積，如圖10-2所示，故.（2），其中：.解：由二重積分的幾何意義可知，此二重積分為以為底，以曲面為頂?shù)纳习肭虻捏w積，即.3．比較下列二重積分的大?。海?）與，其中由直線及兩坐標軸圍成；解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有.（2）與，其中：，；解：由于在積分區(qū)域上有，，所以，故有.（3）與，其中；解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有（4）與，其中是以點為頂點的三角形區(qū)域.解：由于在積分區(qū)域上有，所以，故有.4．估計下列二重積分的值：（1），其中；解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.（2），其中；解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.（3），其中.解：由于在積分區(qū)域上函數(shù)的最大值，最小值，且，由，故有即.習題10-1（B）利用二重積分的幾何意義說明：（1）當積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，且函數(shù)滿足（即函數(shù)是變量的奇函數(shù)）時，有.解：由于積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱，故可以把分成兩部分和，即，且與的面積相等，故.由于，即在與中關(guān)于軸對稱點上函數(shù)值符號相反．根據(jù)幾何意義是以（不妨設為頂、為底的曲頂柱體體積；而是以（這時為頂、而以為底的曲頂柱體體積的負值，并且這兩塊立體區(qū)域關(guān)于軸對稱，其體積值相等，如果記，則，所以．（2）當積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，且函數(shù)滿足（即函數(shù)是變量的偶函數(shù)）時，有，其中為在的部分.解：由于積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱，故可以把分成兩部分和，即，且與的面積相等，故，由于，即在與中關(guān)于軸對稱點上函數(shù)值相等．根據(jù)幾何意義是以（不妨設為頂、為底的曲頂柱體體積；同樣是以（這時為頂、而以為底的曲頂柱體體積，并且這兩塊立體區(qū)域關(guān)于軸對稱，其體積值相等，如果記，則，所以．并由此計算下列二重積分的值，其中.（1）；（2）；（3）.解：（1）由于且，積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱所以.（2）由于且，積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以.（3）由于且，積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以.估計積分的值，其中.解：由于，且積分區(qū)域的面積，在上的最大值，最小值，故.判斷積分的符號，其中.解：當時，有，故，因此.

習題10-2（A）在下列區(qū)域上分別將二重積分化為直角坐標系下的二次積分：由直線，軸和軸圍成；解：.由拋物線和直線圍成；解：由解得故.由曲線及圍成；解：由解得，故.由拋物線及直線圍成；解：由解得，故.由不等式確定；解：.由不等式確定.解：.利用直角坐標計算下列二重積分：（1），其中由直線圍成；解：.（2），其中由直線，及圍成；解：.（3），其中由直線，，及圍成；解：.（4），其中由雙曲線及直線，圍成；解：.（5），其中由雙曲線及直線，圍成；解：.如果二重積分的被積函數(shù)是兩個函數(shù)與的乘積，即，并且積分區(qū)域，證明這個二重積分等于兩個定積分的乘積，即.并由此計算二重積分，其中，.解：（1）.（2）.交換下列累次積分的次序：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.計算下列二次積分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.設平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量.解：由題意可得故所求平面薄片的質(zhì)量為.求由平面，，及所圍成的立體體積.解：由題意可知該立體體積，其中由軸、軸及直線圍成。所以.為修建高速公路，要在一山坡中開辟出一條長500米，寬20米的通道.據(jù)測量，以出發(fā)點一側(cè)為原點，往另一側(cè)方向為軸，往公路延伸方向為軸，且山坡的高度為（米）試計算所需挖掉的土方量.解：由題意可知，需要挖掉的土方量即為以為頂，以為底的曲頂柱體的體積，其中，即,其中，.故(立方米)即需要挖掉的土方量為立方米.習題10-2（B）在直角坐標系計算下列二重積分：（1），其中由拋物線，直線及軸圍成的閉區(qū)域；（2），其中是由所圍成的閉區(qū)域；（3），其中由直線，及所圍成的閉區(qū)域.解：（1）由解得，故.（2）由于是由所圍成，故.（3）因為，并且，，，所以.將下列累次積分或二重積分化為定積分：（1），其中在區(qū)間上連續(xù)；解：由于，，故將原積分交換積分次序可得.（2），其中由直線，及所圍成的閉區(qū)域，函數(shù)連續(xù).解：.交換積分次序：（1）；（2）.解：（1）積分區(qū)域，交換積分次序.（2）積分區(qū)域，交換積分次序為.設在上連續(xù)，并設，計算.解：由積分可知，積分區(qū)域為，交換累次積分的次序，由于,所以.又因為，所以.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，區(qū)域為，，證明.證：由于積分區(qū)域為，，故該區(qū)域滿足關(guān)于直線對稱.將這個區(qū)域劃分為兩個區(qū)域為，，因此.從而有得證.

習題10-3（A）在極坐標系下，將二重積分化為二次積分,其中區(qū)域分別是：（1）；解：.（2）；解：.（3）由直線及圓圍成的第一象限部分；解：.（4）是圓的外部和圓的內(nèi)部圍成的在第一象限部分；解：由得，故有.（5）是兩圓域，的公共部分；解：由得，故有.（6）.解：.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中區(qū)域為，.解：.（2），其中是圍成的閉區(qū)域；解：.（3），其中；解：.（4），其中是由，及直線，圍成的位于第一象限部分的閉區(qū)域；解：.（5），其中是位于第一象限的圓域.解：.將下列直角坐標系下的二次積分化為極坐標系下的二次積分：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.將下列極坐標系下的二次積分化為直角坐標系下的二次積分：（1）；（2）.解：（1）.（2）.習題10-3（B）在極坐標系下計算下列二重積分：（1），其中是圓域；解：由可知，其對應的極坐標方程為，故.（2），其中為圓域.解：由于，其中為圓域，為圓域.故.所以.計算以面上的圓周的閉區(qū)域為底，以曲面為頂?shù)那斨w體積.解：根據(jù)題意可知，其中積分區(qū)域是由圍城的圓域，故有.某水池呈圓形，半徑為5米，以中心為坐標原點，距中心距離為處的水深為米，試計算該水池的蓄水量.解：該水池的蓄水量，其中由圓圍成，故（立方米）所以該蓄水池的蓄水量為立方米.

習題10-4（A）計算，其中積分區(qū)域.解：.計算，其中是由曲線，在第一象限所圍成的區(qū)域.解：.計算，其中是由不等式，確定的無界區(qū)域.解：.習題10-4（B）1.討論并計算下列反常二重積分：（1），其中；（2），其中.解：（1）,當，即時，,當，即時，,所以，當時，此反常二重積分收斂于，其他情況下發(fā)散.（2）由于，故當，即時，,所以，當時，此積分收斂于，當時，此積分發(fā)散.

總習題十1.填空.（1）積分的值是；（2）設閉區(qū)域，則=.解：（1）填.此題需要交換積分次序才能計算所得的二次積分，得.（2）填.此題需用極坐標下計算重積分..2.計算下列二重積分:（1），其中是頂點分別為，，和的梯形閉區(qū)域；（2），其中；（3），其中是圓周所圍成的閉區(qū)域；（4），其中.解：（1）可以表示為，，于是.（2）由于，，故.（3）利用極坐標計算.在極坐標系中的，于是.（4）利用對稱性可知，，用極坐標計算.因此，原式.3.交換下列二次積分的次序:（1）；（2）；（3）.解：（1）所給的二次積分等于閉區(qū)域上的二重積分，其中.將表達為，，則得.（2）所給的二次積分等于閉區(qū)域上的二重積分，其中.將表達為，其中，，故.（3）所給的二次積分等于閉區(qū)域上的二重積分，其中.將表達為，于是.4.證明：.證：上式左端的二次積分等于二重積分，其中,于是交換積分次序即得.5.設在閉區(qū)域上連續(xù)，且,求.解：設，則.從而.而的面積,故得.因此,在極坐標系中,因此.于是得.從而習題11-1(A)寫出下列級數(shù)的前5項：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）.（2）.（3）.（4）．根據(jù)級數(shù)收斂于發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，故有．由于，所以此級數(shù)發(fā)散．（2）由于，故有．由于，所以此級數(shù)收斂．（3）由于，故有．由于，所以此級數(shù)收斂．（4）由于，故有．由于，所以此級數(shù)發(fā)散．判定下列級數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于此級數(shù)的，所以此級數(shù)為首項，公比的等比級數(shù)，且，故此級數(shù)收斂于．（2）級數(shù)，由于級數(shù)是調(diào)和級數(shù)，且是發(fā)散的，所以原級數(shù)發(fā)散．（3）級數(shù)的一般項，且，故原級數(shù)發(fā)散．（4）由于此級數(shù)的，所以此級數(shù)為首項，公比的等比級數(shù)，且，故此級數(shù)發(fā)散．（5）．由于是首項為，公比的等比級數(shù)，故此級數(shù)收斂于，是首項為，公比的等比級數(shù)，故此級數(shù)收斂于，有性質(zhì)2可知原級數(shù)收斂于．（6）由于，故有級數(shù)收斂于，級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散．若級數(shù)收斂，求極限．解：由于數(shù)收斂，故由級數(shù)收斂的必要條件可知，所以．設銀行存款的年利率為10%，若以年復利計算，應在銀行中一次存入多少資金才能保證從存入之后起，以后每年能從銀行提取500萬元以支付職工福利直至永遠．解：設為年復利率，由于以后每年需要支付500萬元直至永遠，故在銀行存入的資金總額為．該冪級數(shù)是公比為，所以該級數(shù)的和函數(shù)．即銀行應一次性存入5000萬元才能保證以后每年能從銀行提取500萬元以支付職工福利直至永遠．習題11-1(B)判定下列級數(shù)的斂散性:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）級數(shù)的一般項，該級數(shù)的部分和，因此，．所以該級數(shù)收斂．（2）級數(shù)的一般項，故該級數(shù)的部分和，因此，．所以該級數(shù)收斂．（3）級數(shù)的一般項，故．所以該級數(shù)發(fā)散．（4）該級數(shù)可以寫成，令，，由于級數(shù)收斂，發(fā)散，由級數(shù)的性質(zhì)可知該級數(shù)發(fā)散．

習題11-2(A)用比較審斂法或其極限形式判定下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）由于，又因為級數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)是發(fā)散的．（2）由于，級數(shù)是等比級數(shù)且是收斂的，由比較審斂法可知級數(shù)是收斂的．（3）由于，級數(shù)是調(diào)和級數(shù)且是發(fā)散的，由比較審斂法可知級數(shù)是發(fā)散的．（4）由于，又因為級數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)是發(fā)散的．（5）由于，級數(shù)是p-級數(shù)，且，故級數(shù)是收斂的，由比較審斂法可知級數(shù)是收斂的．（6）由于，又因為級數(shù)是p-級數(shù)，且，是收斂的，由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)是收斂的．（7）由于，又因為級數(shù)是等比級數(shù)且是收斂的，由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)是收斂的．（8）由于，級數(shù)是等比級數(shù)且是收斂的，由比較審斂法可知級數(shù)是收斂的．用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，由比值審斂法可知該級數(shù)發(fā)散．（2）由于，由比值審斂法可知該級數(shù)收斂．（3）由于，由比值審斂法可知該級數(shù)收斂．（4）由于，由比值審斂法可知該級數(shù)收斂．習題11-2(B)用適當?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑墧?shù)的收斂性（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）由于．又因為是等比級數(shù)，是收斂的，由比較判別法可知原級數(shù)收斂．（2）由于，當時，，由比值審斂法可知該級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，，所以級數(shù)發(fā)散．（3）由于．當時，，由比值審斂法可知該級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，，所以級數(shù)收斂．（4）由于，且級數(shù)是收斂的，故原級數(shù)收斂．（5）由于，，且是發(fā)散的，由比較判別法的極限形式可知原級數(shù)是發(fā)散的．（6）由于，故由比值判別法可知原級數(shù)收斂．若正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)與級數(shù)都收斂．證：（1）由于，且級數(shù)收斂，由比較審斂法的極限形式可知級數(shù)收斂．（2）由于，且級數(shù)收斂，故，所以，由比較審斂法的極限形式可知級數(shù)收斂．若存在，證明：正項級數(shù)收斂．證：由于，又因為級數(shù)是收斂的，由比較判別法的極限形式可知正項級數(shù)收斂．求下列極限（1）；（2）．解：（1）考慮級數(shù)，由于，且，故級數(shù)是收斂的．由級數(shù)收斂的必要條件可知．（2）考慮級數(shù)，由于，而收斂，由比較審斂法可知級數(shù)收斂，不妨記其和為，因此，所以．

習題11-3(A)討論下列交錯級數(shù)的收斂性:（1）；（2）．解：（1）由于，故此級數(shù)發(fā)散．（2）所給級數(shù)為交錯級數(shù)滿足，，滿足萊布尼茨定理的條件，故此級數(shù)收斂．判定下列級數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．解：（1）由于，因為級數(shù)是收斂的，所以原級數(shù)是絕對收斂的．（2）由于，故原級數(shù)絕對收斂．（3）由于，故原級數(shù)發(fā)散．（4）由于又發(fā)散；而對于，因為，所以收斂．所以原級數(shù)條件收斂．（5）由于，而，又所以原級數(shù)絕對收斂．（6）由于，又，所以發(fā)散；而對于，有，所以收斂．故原級數(shù)條件收斂．（7）由于，，所以發(fā)散；而對于，有，所以條件收斂．習題11-3(B)已知級數(shù)收斂，對于任意常數(shù)，證明：當時，級數(shù)絕對收斂．證：，，而收斂，收斂，所以收斂．所以級數(shù)當時絕對收斂．若存在，證明：級數(shù)絕對收斂．證：因為存在，可設即又收斂，所以收斂，因此絕對收斂．證明：．證：若考察級數(shù)因為，所以所以．判斷級數(shù)是否收斂？若收斂是條件收斂還是絕對收斂？解：由于，而是發(fā)散的，所以發(fā)散；由于該級數(shù)是交錯級數(shù)，不滿足萊布尼茨定理，故用定義考慮，進一步，．所以為單調(diào)減少且有下界的數(shù)列，從而，又因為，所以，故原級數(shù)收斂．所以條件收斂．

習題11-4(A)求下列冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．解：（1）因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為發(fā)散，當時，級數(shù)為發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為．（2）因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為發(fā)散，當時，級數(shù)為收斂，所以級數(shù)的收斂域為．（3）因為，所以收斂半徑，級數(shù)只在收斂，所以級數(shù)的收斂域為（4）因為，所以收斂半徑，收斂域為（5）因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為收斂，當時，級數(shù)為收斂，所以級數(shù)的收斂域為．（6）因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為發(fā)散，當時，級數(shù)為收斂，所以時級數(shù)收斂，所以級數(shù)的收斂域為．（7）因為，故所以級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為收斂，當時，級數(shù)為收斂，所以級數(shù)的收斂域為．（8）因為，故所以級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)為發(fā)散，當時，級數(shù)為發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為．利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)：（1）；（2）；（3）．解：（1）級數(shù)的收斂域為，設其和函數(shù)為．（2）級數(shù)的收斂域為，設其和函數(shù)為，．（3）級數(shù)的收斂域為，設其和函數(shù)為，所以．習題11-4(B)若冪級數(shù)在點收斂，證明該級數(shù)在點處絕對收斂．解：冪級數(shù)在點收斂，即，所以滿足而，所以原級數(shù)在處絕對收斂求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）；（2）．解：（1）因為對于級數(shù)，有，故收斂半徑；收斂區(qū)間為；對于級數(shù)，有，故收斂半徑；收斂區(qū)間為；當時，級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散．當時，級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散．所以級數(shù)的收斂域為．（2）令，原級數(shù)變?yōu)?，由此可知，所以，即原級?shù)的收斂區(qū)間為當時，原級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)收斂．故原級數(shù)的收斂域為．求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求收斂域．解：級數(shù)，，所以原級數(shù)的和函數(shù)．求冪級數(shù)的和函數(shù)，指出收斂域，并計算．解：因為，，則，因此，所以，原級數(shù)的和函數(shù)因此，．

習題11-5(A)將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式的收斂區(qū)間:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）由于，并且，所以.（2）由于，又因為,所以.（3）由于，，所以.故.（4）由于，所以.（5）.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù):（1）；（2）.解：（1）由于，并且，有，所以.（2）由于，并且，所以.所以.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：由于，并且有所以，.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：由于，并且，，所以.習題11-5(B)將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出收斂范圍.解：由，得.將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出收斂范圍.解：由于，所以.故，.將級數(shù)的和函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：.

總習題十一1．填空題（1）對級數(shù)，是它收斂的條件；（2）部分和數(shù)列有界是正項級數(shù)收斂的條件；（3）若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定；若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)必定．解答：（1）必要；（2）充要；（3）收斂，發(fā)散．2．判定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）．解：（1），因．而級數(shù)是發(fā)散的，故由比較審斂法的極