人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第28講3.2.1雙曲線及其標準方程(學(xué)生版+解析)

第03講3.2.1雙曲線及其標準方程課程標準學(xué)習(xí)目標①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應(yīng)用。②通過對雙曲線標準方程的推導(dǎo)，提高求動點軌跡方程的能力。③初步會按特定條件求雙曲線的標準方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標準方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.知識點01：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B知識點02：雙曲線的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標軸，中心在原點，兩焦點為，直線過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且，則雙曲線的方程為．【答案】或【詳解】由題意，點為雙曲線上一點，且，可得，即，解得，又由直線過雙曲線的一個焦點，當時，可得；當時，可得；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為，所以雙曲線的方程為或.故答案為：或題型01雙曲線定義的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點A到右焦點的距離為3，則點A到左焦點的距離為（

）A．5 B．6 C．9 D．11題型02利用雙曲線定義求方程【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）一動圓P過定點，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是．【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）到點，的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標準方程為．【變式2】2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程題型03利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線在左支上一點M到右焦點的距離為18，N是線段的中點，O為坐標原點，則等于（

）A．4 B．2 C．1 D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左?右焦點是、，點在雙曲線上，若，則（

）A． B． C．或 D．或【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎请p曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為．【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標為，則的最小值為.題型05判斷方程是否表示雙曲線【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（

）A．曲線可以表示圓B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)校考開學(xué)考試）方程表示的曲線可以是（

）A．圓B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的雙曲線題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件題型07求雙曲線方程【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，若，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·上海·高三專題練習(xí)）過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為.題型08雙曲線中的軌跡方程問題【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知中的兩個頂點是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點的軌跡．【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，，點的軌跡為.求的方程；【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，動點與兩定點、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動點的軌跡為．求軌跡的方程；題型09雙曲線中的焦點三角形問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則的面積為（

）A． B．4 C． D．3【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)切圓上一點，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例4】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則．【典例5】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點，分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與該雙曲線交于，兩點（點位于第一象限），點是△內(nèi)切圓的圓心，則；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為.【變式1】（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（

）A．8 B． C．10 D．【變式2】（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【變式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校碾p曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標原點，則的值是.【變式5】（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知兩點．點滿足，則的面積是；的一個取值為．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．82．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．7 B． C．8 D．4．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┯蓚惗刂ㄖ聞?wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，，點在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（

）

A． B． C． D．7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點，.B能力提升1．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點相同．③M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點，A是橢圓上任一點（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·高二課時練習(xí)）已知點P在雙曲線C：上，、是雙曲線C的左右焦點，若的面積為20，則下列說法中正確的是.（填序號）①點P到x軸的距離為；②；③為鈍角三角形；④.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為是雙曲線上一點.(1)求雙曲線的方程；(2)過點作斜率大于0的直線與雙曲線的右支交于兩點，若平分，求直線的方程.3．（2023秋·山東青島·高二青島二中校考期末）已知橢圓的左右焦點分別為，雙曲線與共焦點，點在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程：（2）已知點P在雙曲線上，且，求的面積．

第03講3.2.1雙曲線及其標準方程課程標準學(xué)習(xí)目標①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應(yīng)用。②通過對雙曲線標準方程的推導(dǎo)，提高求動點軌跡方程的能力。③初步會按特定條件求雙曲線的標準方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標準方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.知識點01：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B知識點02：雙曲線的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標軸，中心在原點，兩焦點為，直線過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且，則雙曲線的方程為．【答案】或【詳解】由題意，點為雙曲線上一點，且，可得，即，解得，又由直線過雙曲線的一個焦點，當時，可得；當時，可得；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為，所以雙曲線的方程為或.故答案為：或題型01雙曲線定義的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】由雙曲線標準方程得：，由雙曲線定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】D【詳解】設(shè)，，則.則由已知可得，，所以點的軌跡是雙曲線的左支.故選：D.【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【答案】B【詳解】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點A到右焦點的距離為3，則點A到左焦點的距離為（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的實軸長為，則，由雙曲線的定義知，，故選：D題型02利用雙曲線定義求方程【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由點，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點的軌跡方程為.故選：C.【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)?？计谀┮粍訄AP過定點，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是．【答案】【詳解】圓N：的圓心，半徑，∵，∴點在圓N外，則圓P包含圓N，設(shè)圓P的半徑為，由題意可得：，即，可得，故動圓圓心P的軌跡是以為焦點的雙曲線的右半支，可得，則，故動圓圓心P的軌跡方程是.故答案為：.【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）到點，的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標準方程為．【答案】【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，焦距設(shè)為，由題意可知所求雙曲線的兩焦點為，，故，又雙曲線上的點到點，的距離的差的絕對值等于6，故，所以，故雙曲線標準方程為.故答案為：.【變式2】2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程【答案】【詳解】因為圓C與圓A、圓B外切，設(shè)C點坐標，圓C半徑為，則，，所以，所以點的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為.題型03利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線在左支上一點M到右焦點的距離為18，N是線段的中點，O為坐標原點，則等于（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【詳解】因為雙曲線左支上的點M到右焦點的距離為18，所以M到左焦點的距離，N是的中點，O是的中點，所以.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【詳解】記雙曲線的右焦點為，所以，當且僅當點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．故選：C．【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左?右焦點是、，點在雙曲線上，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】在雙曲線中，，，，設(shè)點，易知，若點在雙曲線的右支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，不合乎題意；若點在雙曲線的左支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，合乎題意.綜上所述，.故選：A.【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）已知是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【詳解】解：由題知，，因為在雙曲線上，且，所以，點在雙曲線靠近的那支上，由雙曲線定義知，故；所以，故選：C【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】

則故雙曲線的兩個焦點為,,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,則的最大值為故選：D【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點，記點、，當取最大值時，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點，設(shè)右焦點.當?shù)闹荛L最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故選：C.【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】若C為雙曲線右焦點C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當共線且在之間時等號成立，所以，當共線且在之間時等號成立.故選：D【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為．【答案】【詳解】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，則，由，因為，所以，設(shè)，則，．可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線C的實半軸長為，右焦點為，所以，當且僅當M為的延長線與雙曲線交點時取等號.故選：C．【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.又由雙曲線的定義可得，當且僅當共線且在中間時取得等號.此時直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.故選：B【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標為，則的最小值為.【答案】/【詳解】

由雙曲線方程知：，，，則，，由雙曲線定義知：，（當且僅當在線段上時取等號），又，.故答案為：.題型05判斷方程是否表示雙曲線【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于、的方程表示的軌跡可以是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【答案】BC【詳解】當時，該方程表示的軌跡是直線；當時，該方程表示的軌跡是直線；當且時，原方程可化為.當或時，，該方程表示的軌跡是雙曲線；當，又，則，此時方程為，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【詳解】當曲線C為圓時，則，無解，故錯誤；當曲線C為焦點在y軸上的雙曲線時，則，無解，故正確；若，則，，此時曲線C是橢圓，故正確；若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．故選．【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（

）A．曲線可以表示圓B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線【答案】CD【詳解】對A，若曲線表示圓，則有，無解，A錯；對BC，若曲線表示橢圓，則有，此時，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，C對B錯；對D，若曲線表示雙曲線，則有，此時，此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，D對.故選：CD.【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_學(xué)考試）方程表示的曲線可以是（

）A．圓B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的雙曲線【答案】ABC【詳解】對于A，當，即時，方程可化為，該方程表示圓，故A正確；對于B，當，即時，方程可化為，該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故B正確；對于C，當，即時，方程可化為，該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故C正確；對于D，因為由得無解，所以當方程化為時，由于，，所以該方程無法表示焦點在x軸上的雙曲線，故D錯誤.故選：ABC.題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若方程表示雙曲線，則，即，由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立，故“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為曲線是雙曲線，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.解得或，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：B.【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得或，因為由可推出或，，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.題型07求雙曲線方程【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由橢圓，可化為標準方程，可得，因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以，又因為雙曲線過點，可得，則，所以雙曲線的標準方程為.故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因為，則，顯然圓O的半徑為3，又因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個端點坐標為；所以雙曲線焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為，且，點在雙曲線上，即，解得；所以雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為，將兩點代入可得，解得；所以雙曲線的標準方程為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，，由于在以為直徑的圓周上，∴，∵為平行四邊形，∥，∴，在直角三角形中，，即，解得，所以，；在直角三角形中，，即，得，又因為，所以，，所以雙曲線的方程為.故選:D.【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，若，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，因為，所以，由雙曲線定義可得，又，所以，所以，所以，，雙曲線的方程為故選：D.【變式3】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為.【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，，則，四邊形為矩形，.故，，則，，故，.雙曲線的方程為.故答案為：題型08雙曲線中的軌跡方程問題【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，所以直線與雙曲線相切，聯(lián)立，消去并整理得，所以，即，將代入，得，得，因為，，所以，所以，，即，由可知，所以過點且與垂直的直線為，令，得，令，得，則，，由，得，，代入，得，即，故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；【答案】【詳解】由題設(shè)得，即，整理得.所以曲線的方程為.【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知中的兩個頂點是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點的軌跡．【答案】去掉頂點的雙曲線【詳解】解：設(shè)點，因為中的兩個頂點是，所以，，因為邊與邊所在直線的斜率之積是，所以，整理得所以，頂點的軌跡方程為，所以，頂點的軌跡是以為焦點，實軸為，且去掉頂點的雙曲線.【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動圓的半徑為，則，即.即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，故動圓圓心P的軌跡方程是故選：A【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，，點的軌跡為.求的方程；【答案】；【詳解】因為，由雙曲線的定義可知，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，即，所以，所以軌跡的方程為.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，動點與兩定點、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動點的軌跡為．求軌跡的方程；【答案】（）【分析】設(shè)，當時，直線的斜率不存在；當時，直線的斜率不存在．于是且.此時，的斜率為，的斜率為.由題意，有，化簡可得，故動點的軌跡的方程為（）題型09雙曲線中的焦點三角形問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】雙曲線的實半軸長，由雙曲線的定義，可得所以，則三角形的周長為.故選：B【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則的面積為（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【詳解】∵為正三角形，設(shè)，則，，又雙曲線，則根據(jù)雙曲線定義得，∴，即等邊三角形的邊長為4，故的面積為.故選：A.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)切圓上一點，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與相切于,圓心為,由切線長的性質(zhì)以及雙曲線定義可得，又，因此，所以,設(shè)角,且為銳角，由于，所以，為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)，故在中，，,當共線時，此時，當方向相同時，，當方向相反時，，因此,故選：C【典例4】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎?，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則．【答案】/【詳解】，，則，，，.故答案為：.【典例5】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點，分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與該雙曲線交于，兩點（點位于第一象限），點是△內(nèi)切圓的圓心，則；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為.【答案】29【詳解】由雙曲線，可得，,記的內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在邊上的切點分別為，易知兩點橫坐標相等，，

由，即，得，即，記點的橫坐標為，則，則，得．記的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標也為，則軸，已知直線的傾斜角為，則，設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，△的內(nèi)切圓半徑為在中，，同理，在中，，所以，所以.故答案為：2;9.【變式1】（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】D【詳解】由題意知.又，所以.根據(jù)雙曲線的定義可知，所以，解得，所以.故選：D【變式2】（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為離心率為，則，則，所以雙曲線方程為，設(shè)，則①，因為，所以，所以②，又因為的面積為，所以，即，所以③，由②③得④，將④③代入①得，，所以.故選：D.

【變式3】（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【答案】/【詳解】因為雙曲線，則，，所以，因為為雙曲線右支上一點，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：【變式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校碾p曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標原點，則的值是.【答案】/【詳解】不妨將點置于第一象限.設(shè)是雙曲線的右焦點，連接.分別為的中點，故.又由雙曲線定義得，故.故答案為：【變式5】（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知兩點．點滿足，則的面積是；的一個取值為．【答案】/（答案不唯一）【詳解】由點可知，，所以點在圓，且，則點在雙曲線的右支上，其中，，，則雙曲線方程為，聯(lián)立，解得：或，則的面積；當時，，，，當時，，，，則其中的一個取值是.故答案為：；（答案不唯一）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8【答案】B【詳解】對于，，所以P點在雙曲線的左支，則有；故選：B.2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】方程表示雙曲線,則，解得或，故選：D3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．7 B． C．8 D．【答案】D【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，，又根據(jù)雙曲線的第一定義得，所以，所以當點M在雙曲線的右支頂點時達到最小值，由雙曲線方程得，所以.故選：D4．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，，，不符合題意；對于B，，，符合題意；對于C，，實軸在x軸上，不符合題意；對于D，，實軸在x軸上，不符合題意；故選：B.5．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】雙曲線的實半軸長，由雙曲線的定義，可得所以，則三角形的周長為.故選：B6．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，，點在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與切于點，與切于點，則，，，又由，，，，又，則，，又，，所以，所以此雙曲線的漸近線方程為.

故選：A7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】因為和有相同的焦距，又雙曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點，當?shù)慕裹c在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，若將點代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標準方程為.當?shù)慕裹c在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標準方程為，綜上所述，雙曲線的標準方程為或.故選：C.8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為離心率為，則，則，所以雙曲線方程為，設(shè)，則①，因為，所以，所以②，又因為的面積為，所以，即，所以③，由②③得④，將④③代入①得，，所以.故選：D.

二、多選題9．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）已知方程表示的曲線為，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當時，曲線是橢圓B．當或時，曲線是雙曲線C．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則【答案】BC【詳解】對A，當曲線是橢圓時，則，解得或，故A錯誤；對B，當曲線是雙曲線時，，解得或，故B正確；對C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；對D，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則解得，故D錯誤．故選：BC．10．（2023春·廣東廣州·高三廣州科學(xué)城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點在雙曲線上，分別是左?右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【詳解】設(shè)點．因為雙曲線，所以．又，所以，故A錯誤．將代入得，得．由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標為，得．由雙曲線的定義得，所以，故B正確．在中，，且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得，所以，故D錯誤．故選：BC．三、填空題11．（2023秋·高二單元測試）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【答案】/【詳解】因為雙曲線，則，，所以，因為為雙曲線右支上一點，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：12．（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動圓E與圓，都外切，設(shè)動圓E的半徑為，則，所以，所以點的軌