人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第15講7.1.1條件概率(學(xué)生版+解析)

第01講第01講7.1.1條件概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①結(jié)合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。②了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系。③能計(jì)算簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的條件概率。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷條件概率，掌握條件概率的基本求法，能解決與條件概率相關(guān)的問題；知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．①一般地，每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說的條件概率是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的部分信息已知（即在原試驗(yàn)條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.②事件在“事件已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒有這個(gè)附加條件下的概率在很多情況下是不同的.③當(dāng)題目涉及“在…前提下”等字眼時(shí)，一般為條件概率.若題目沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率.④在條件概率的定義中，要強(qiáng)調(diào),當(dāng)時(shí)，不能用這一方法定義事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率.（2）特別說明：①計(jì)算條件概率時(shí)，表示事件和同時(shí)發(fā)生的概率，不能隨便用事件的概率代替；②在條件概率的表示中，“”之后的部分表示條件；③和的意義不同，表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，而是指在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率；④與的區(qū)別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗(yàn)結(jié)果”，后者的樣本空間為“在原試驗(yàn)條件下，再加上事件發(fā)生的條件”，一般地，.知識(shí)點(diǎn)02：乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，知.故選：C.知識(shí)點(diǎn)03：條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)，則①；②如果和是兩個(gè)互斥事件，則；③設(shè)和互為對(duì)立事件，則．④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.知識(shí)點(diǎn)04：事件的相互獨(dú)立性（1）事件與事件相互獨(dú)立：對(duì)任意的兩個(gè)事件與,如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.（2）性質(zhì)：若事件與事件相互獨(dú)立，則與,與,與也都相互獨(dú)立，,.（3）易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥.題型01條件概率的求法【典例1】（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以從，，，四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）俗話說“斜風(fēng)細(xì)雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風(fēng).已知某地8月份刮風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風(fēng)”，事件為“8月份某天下雨”，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個(gè)白球與7個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．【典例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）盒內(nèi)裝有除型號(hào)和顏色外完全相同的16個(gè)球，其中6個(gè)是E型玻璃球，10個(gè)是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；F型玻璃球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問該球是E型玻璃球的概率是多少？【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）小張?小王兩家計(jì)劃國慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風(fēng)凰山”，事件B：“兩家選擇景點(diǎn)不同”.則概率（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為.【變式3】（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的9個(gè)球，其中黃球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，綠球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件“取出的兩個(gè)球顏色不同”，記事件“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則.題型02乘法公式的應(yīng)用【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，再從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)校考階段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有2個(gè)紅球，8個(gè)黑球，從中不放回地任取1個(gè)小球，則第二次才取出紅球的概率是.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某廠產(chǎn)品的廢品率為4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知，，則.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）瑪麗想在網(wǎng)上購買一款品牌手機(jī)，客服承諾該品牌手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，瑪麗想如果手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以購買，否則放棄．請(qǐng)你用所學(xué)的概率知識(shí)幫瑪麗做一下決策．題型03條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)，為任意兩個(gè)事件，且，，則下列選項(xiàng)必成立的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（多選）（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A． B．是可能的C． D．【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）若、分別為隨機(jī)事件、的對(duì)立事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若，則【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.62．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品，需等待檢測(cè)后才能銷售.檢測(cè)人員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了5件產(chǎn)品來檢測(cè)，現(xiàn)已知這5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）擲一個(gè)均勻的骰子．記為“擲得點(diǎn)數(shù)大于”，為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則為（

）A． B． C． D．4．（2024上·全國·高三期末）某校舉辦中學(xué)生乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一年級(jí)初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機(jī)選取3人組成代表隊(duì)參賽，在代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知，，則（

）A．0.02 B．0.03C．0.04 D．0.056．（2024·全國·高二假期作業(yè)）核酸檢測(cè)是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對(duì)檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測(cè)，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校安排音樂?閱讀?體育和編程四項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加，甲?乙?丙?丁4位同學(xué)每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同的概率等于（

）A． B． C． D．8．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中?？计谀┮阎c獨(dú)立，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024上·全國·高三期末）已知隨機(jī)事件滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．不可能事件與事件互斥B．必然事件與事件相互獨(dú)立C．D．若，則10．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)不下雨的概率為；刮四級(jí)以上風(fēng)的概率為，既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)為下雨，為刮四級(jí)以上的風(fēng)，則（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P（B|A）＝；P（A|B）＝.12．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明去書店買了5本參考書，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是.四、解答題13．（2024上·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子里放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球、3個(gè)黑球.(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求兩個(gè)小球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.14．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）已知某大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)二年級(jí)的學(xué)生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示．男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取一人：(1)求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(2)求抽到的人是女生的概率；(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(4)判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”是否獨(dú)立．B能力提升1．（多選）（2023下·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)、為隨機(jī)事件，且、，則下列說法正確的是（

）A．若，則、可能不相互獨(dú)立B．若，則C．若，則D．若，，則2．（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率．4．（2023下·北京·高二?？计谥校┠硢挝挥蠥，B兩個(gè)餐廳為員工提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位員工每個(gè)工作日午餐和晚餐都在單位就餐，近100個(gè)工作日選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）甲員工30天20天40天10天乙員工20天25天15天40天假設(shè)甲、乙員工選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)分別估計(jì)一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)試判斷甲、乙員工在晚餐選擇B餐廳就餐的條件下，哪位員工更有可能午餐選擇A餐廳就餐，并說明理由．第01講第01講7.1.1條件概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①結(jié)合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。②了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系。③能計(jì)算簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的條件概率。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷條件概率，掌握條件概率的基本求法，能解決與條件概率相關(guān)的問題；知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．①一般地，每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說的條件概率是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的部分信息已知（即在原試驗(yàn)條件下，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率.②事件在“事件已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率與沒有這個(gè)附加條件下的概率在很多情況下是不同的.③當(dāng)題目涉及“在…前提下”等字眼時(shí)，一般為條件概率.若題目沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率.④在條件概率的定義中，要強(qiáng)調(diào),當(dāng)時(shí)，不能用這一方法定義事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率.（2）特別說明：①計(jì)算條件概率時(shí)，表示事件和同時(shí)發(fā)生的概率，不能隨便用事件的概率代替；②在條件概率的表示中，“”之后的部分表示條件；③和的意義不同，表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，而是指在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率；④與的區(qū)別：二者的樣本空間不一樣，前者的樣本空間為“原試驗(yàn)結(jié)果”，后者的樣本空間為“在原試驗(yàn)條件下，再加上事件發(fā)生的條件”，一般地，.知識(shí)點(diǎn)02：乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，知.故選：C.知識(shí)點(diǎn)03：條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)，則①；②如果和是兩個(gè)互斥事件，則；③設(shè)和互為對(duì)立事件，則．④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.知識(shí)點(diǎn)04：事件的相互獨(dú)立性（1）事件與事件相互獨(dú)立：對(duì)任意的兩個(gè)事件與,如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.（2）性質(zhì)：若事件與事件相互獨(dú)立，則與,與,與也都相互獨(dú)立，,.（3）易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥.題型01條件概率的求法【典例1】（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以從，，，四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】甲、乙兩名大學(xué)生從四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)的情況共有（種），事件發(fā)生的情況共有（種），事件和事件同時(shí)發(fā)生的情況共有6種，所以.故選：B.【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）俗話說“斜風(fēng)細(xì)雨不須歸”，在自然界中，下雨大多伴隨著刮風(fēng).已知某地8月份刮風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為.記事件為“8月份某天刮風(fēng)”，事件為“8月份某天下雨”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意可得利用條件概率公式可得.故選：B【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知盒中裝有大小一樣，形狀相同的3個(gè)白球與7個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球并不放回，則在第1次取到白球的條件下，第2次取到的是黑球的概率為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解法一：設(shè)第1次抽到白球?yàn)槭录嗀，第2次取到的是黑球?yàn)槭录﨎，則，，所以.解法二：盒中共有10個(gè)球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的條件下，盒中還有2白、7黑共9個(gè)球，從中任取一球，取到黑球的概率為．故選：D【典例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）盒內(nèi)裝有除型號(hào)和顏色外完全相同的16個(gè)球，其中6個(gè)是E型玻璃球，10個(gè)是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；F型玻璃球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問該球是E型玻璃球的概率是多少？【答案】【詳解】解法一：設(shè)取到的球是藍(lán)球?yàn)槭录?，取到的球是E型玻璃球?yàn)槭录?，則，，∴．解法二：設(shè)取到的球是藍(lán)球?yàn)槭录?，取到的球是E型玻璃球?yàn)槭录?，∵，，∴．故取到的是藍(lán)球，該球是E型玻璃球的概率是.【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）小張?小王兩家計(jì)劃國慶節(jié)期間去遼寧游玩，他們分別從“丹東鳳凰山，鞍山千山，本溪水洞，錦州筆架山，盤錦紅海灘”這五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩，記事件A：“兩家至少有一家選擇丹東風(fēng)凰山”，事件B：“兩家選擇景點(diǎn)不同”.則概率（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知兩家都沒選擇丹東鳳凰山，即，所以，而有一家選擇丹東鳳凰山，另一家選別的景點(diǎn)，則，所以.故選：D【變式2】（2024上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率為.【答案】【詳解】記事件A為第1次摸到白球，事件為第2次摸到黑球，則，所以.故答案為：.【變式3】（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)盒子里裝有3種顏色，大小形狀質(zhì)地都一樣的9個(gè)球，其中黃球4個(gè)，藍(lán)球3個(gè)，綠球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件“取出的兩個(gè)球顏色不同”，記事件“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則.【答案】【詳解】事件“取出的兩個(gè)球顏色不同”，包括一個(gè)黃球一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)黃球一個(gè)綠球以及一個(gè)藍(lán)球一個(gè)綠球，三種情況，則,事件“取出一個(gè)藍(lán)球，一個(gè)綠球”，則，所以.故答案為：題型02乘法公式的應(yīng)用【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，再從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)“從1號(hào)箱中取到紅球放入2號(hào)箱”為事件A，“從2號(hào)箱中取到紅球”為事件B.由題意，知，，所以，所以兩次都取到紅球的概率為.故選：C.【典例2】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有2個(gè)紅球，8個(gè)黑球，從中不放回地任取1個(gè)小球，則第二次才取出紅球的概率是.【答案】【詳解】由題意知第一次取出的是黑球，設(shè)為事件，第二次取出紅球設(shè)為事件，則，則，所以第二次才取出紅球的概率是.故答案為：【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某廠產(chǎn)品的廢品率為4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．【答案】72%.【詳解】記A：合格品,記B：一等品，由于,則，由題意，，故，即一等品率為72%.【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A：由，而，則，即時(shí)成立，否則不成立，排除；B：當(dāng)A，B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，有，否則不成立，排除；C：由且，故時(shí)成立，否則不成立，排除；D：由，而，則，符合；故選：D【變式2】（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知，，則.【答案】【詳解】因?yàn)?，則，所以，.故答案為：.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）瑪麗想在網(wǎng)上購買一款品牌手機(jī)，客服承諾該品牌手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，瑪麗想如果手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以購買，否則放棄．請(qǐng)你用所學(xué)的概率知識(shí)幫瑪麗做一下決策．【答案】瑪麗應(yīng)該放棄購買【詳解】設(shè)“第i次掉落后，手機(jī)屏幕沒有碎掉”，，2，則由已知可得，，故．即這款手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后，屏幕仍未碎掉的概率為0.15，因?yàn)椋尸旣悜?yīng)該放棄購買．題型03條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)，為任意兩個(gè)事件，且，，則下列選項(xiàng)必成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，則，故，而，則，又，所以.故選：D【典例2】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】因?yàn)?，，所以?因?yàn)榕c為互斥事件，所以，所以，所以，故，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，，所以，故D錯(cuò)誤.故選:AB.【典例3】（多選）（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】,故A正確；，故B正確；，故C正確；，，，故D錯(cuò)誤.故選:ABC【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A． B．是可能的C． D．【答案】B【詳解】由，當(dāng)，則，A錯(cuò)誤；當(dāng)A或B為不可能事件時(shí)，，C錯(cuò)誤；B：要使，即，當(dāng)恰好為A的子事件成立，正確；D：由，故錯(cuò)誤.故選：B【變式2】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）若、分別為隨機(jī)事件、的對(duì)立事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，但與不一定相等，故不一定等于，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，所以，事件、?dú)立，故，D對(duì).故選：BD.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？【答案】【詳解】解：設(shè)A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則，．而所求的概率為，由于，故．故答案為：.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】B【分析】分別設(shè)事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球”，由條件概率計(jì)算公式求解即可求解.【詳解】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录?，第二次取得紅球?yàn)槭录?，所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品，需等待檢測(cè)后才能銷售.檢測(cè)人員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了5件產(chǎn)品來檢測(cè)，現(xiàn)已知這5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率的定義解題即可.【詳解】設(shè)事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，則，，故.故選：C3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）擲一個(gè)均勻的骰子．記為“擲得點(diǎn)數(shù)大于”，為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知列出事件和事件的結(jié)果，求出，，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】擲一個(gè)均勻的骰子，有，，，，，共種結(jié)果，事件包含點(diǎn)數(shù)為，共種結(jié)果，所以；事件包含點(diǎn)數(shù)為共種結(jié)果，所以，所以．故選：D4．（2024上·全國·高三期末）某校舉辦中學(xué)生乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一年級(jí)初步推選3名女生和4名男生參賽，并從中隨機(jī)選取3人組成代表隊(duì)參賽，在代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件概率知識(shí)即可求解.【詳解】用A表示事件“代表隊(duì)既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被選中”，則在代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，女生甲被選中的概率為.所以，故選：B.5．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知，，則（

）A．0.02 B．0.03C．0.04 D．0.05【答案】B【分析】根據(jù)條件概率公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.6．（2024·全國·高二假期作業(yè)）核酸檢測(cè)是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對(duì)檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測(cè)，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解.【詳解】記感染新冠病毒為事件,感染新冠病毒的條件下,標(biāo)本為陽性為事件則,故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為，故選：A7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校安排音樂?閱讀?體育和編程四項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加，甲?乙?丙?丁4位同學(xué)每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同的概率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào),4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同,利用條件概率求解.【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào),4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同,由題得,,所以.故選：C8．（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中?？计谀┮阎c獨(dú)立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榕c獨(dú)立，所以，故選：A二、多選題9．（2024上·全國·高三期末）已知隨機(jī)事件滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．不可能事件與事件互斥B．必然事件與事件相互獨(dú)立C．D．若，則【答案】ABC【分析】對(duì)于隨機(jī)事件的互斥、獨(dú)立以及條件概率等式是否成立，應(yīng)按照其定義進(jìn)行判斷即可；而要說明條件概率等式不能成立，則可以通過舉反例說明.【詳解】因?yàn)椴豢赡苁录c事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?所以，所以必然事件與事件相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，且互斥，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，假如做拋擲一枚骰子1次的試驗(yàn)，設(shè)事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于2，則，但故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.10．（2024·全國·高二假期作業(yè)）某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)不下雨的概率為；刮四級(jí)以上風(fēng)的概率為，既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)為下雨，為刮四級(jí)以上的風(fēng)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可代入求解.【詳解】由題意可知，所以,,故選：BD三、填空題11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則P（B|A）＝；P（A|B）＝.【答案】//【分析】根據(jù)條件概率的求概率公式，分別求出，，或，，代入公式求解即可.【詳解】解法一：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件A的基本事件數(shù)為，所以；由于，，，所以事件B的基本事件數(shù)為，所以；事件AB的基本事件數(shù)為6，故；由條件概率公式得：①＝＝＝；②＝＝＝．解法二：；由，，，，知，其中；所以＝＝＝；＝＝＝．故答案為：；12．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明去書店買了5本參考書，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是.【答案】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】記事件A為“取出的2本中有1本是數(shù)學(xué)”，事件為“另1本是物理或化學(xué)”，則，所以.故答案為：.四、解答題13．（2024上·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子里放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球、3個(gè)黑球.(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求兩個(gè)小球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）分先白后黑和先黑后白兩種情況，由概率公式計(jì)算.（2）利用條件概率公式求解.【詳解】（1）設(shè)事件：用放回抽樣方式摸出兩個(gè)顏色不同的小球.因?yàn)椴扇》呕爻闃臃绞剑悦看蚊粋€(gè)白球的概率為，每一次摸一個(gè)黑球的概率為，所以.即用放回抽樣方式摸出兩個(gè)顏色不同的小球的概率為.（2）設(shè)事件為第一次摸到黑球，事件為第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率為：.14．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）已知某大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)二年級(jí)的學(xué)生中，是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的情況如下表所示．男生/人女生/人有自主創(chuàng)業(yè)打算1615無自主創(chuàng)業(yè)打算6460從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取一人：(1)求抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(2)求抽到的人是女生的概率；(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率；(4)判斷“抽到的人是女生”與“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”是否獨(dú)立．【答案】(1)(2)(3)(4)獨(dú)立．【分析】（1）利用古典概型計(jì)算即可；（2）利用古典概型計(jì)算即可；（3）利用條件概率計(jì)算即可；（4）根據(jù)事件的獨(dú)立性判定即可.【詳解】（1）由題意可知，所有學(xué)生人數(shù)為．記A為“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”，B為“抽到的人是女生”．因?yàn)橛凶灾鲃?chuàng)業(yè)打算的人數(shù)為，因此抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算的概率為；（2）因?yàn)榕藬?shù)為，因此抽到的人是女生的概率為；（3）所要求的是，注意到75名女生中有15人有自主創(chuàng)業(yè)打算，因此；（4）由（1）和（3）的計(jì)算結(jié)果可知，即，因此“抽到的人是女生”與“抽到的人