人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第08講拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(學(xué)生版+解析)

第08講拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一：直線與平面所成角1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：①在直線上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線；②連接斜足與垂足；③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線段法(如右圖）①利用等體積法求垂線段的長；②5、利用向量法求線面角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）二、題型精講題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體中，，則與平面所成的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為__________.【典例3】（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體的棱長均相等，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值．【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，底面，，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值是________．

【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，為線段的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，點(diǎn)，分別是，上的動點(diǎn)，當(dāng)線段的長最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知直角梯形，，，，，四邊形為正方形，且平面⊥平面．(1)求證：⊥平面；(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【典例3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型03易錯題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值（忽視最后正弦轉(zhuǎn)余弦）【典例1】（2023·高二單元測試）已知四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)到平面的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.（1）證明：；（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）正三棱柱的所有棱長都相等，則和平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為______.【變式3】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．題型04求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）四棱錐，平面，底面是菱形，，平面平面.(1)證明：⊥；(2)設(shè)為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.【典例2】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，圓錐的底面上有四點(diǎn)，且圓弧，點(diǎn)在線段上，若．

(1)證明：平面；(2)若為等邊三角形，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動，記與平面所成的角為，求的最小值．【典例3】（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在長方體中，點(diǎn)是長方形內(nèi)一點(diǎn)，是二面角的平面角.(1)證明：點(diǎn)在上；(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【變式1】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)若是棱的中點(diǎn)，求的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.【變式2】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)在線段上．(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦最大值．題型05已知直線與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D所示空間直角坐標(biāo)系中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動點(diǎn)，，直線和底面所成角為，則點(diǎn)坐標(biāo)滿足（

）A． B． C．D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形中，，與相交于點(diǎn)，平面，，，．若直線與平面所成的角為45°，則＝________．【變式1】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【變式3】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知幾何體如圖所示，其中四邊形，，均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)在上，若直線與平面所成的角為45°，則___________.題型06直線與平面所成角中的探索性問題【典例1】（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，，，為棱BC的中點(diǎn)，在棱上運(yùn)動，.

(1)證明：當(dāng)時(shí)，平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，平面，平面互相垂直，，是線段上一點(diǎn).(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求的值.

第08講拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一：直線與平面所成角1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.2、直線和平面所成角：（有三種情況）（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：①在直線上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線；②連接斜足與垂足；③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線段法(如右圖）①利用等體積法求垂線段的長；②5、利用向量法求線面角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）二、題型精講題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體中，，則與平面所成的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，連接OD，因?yàn)?所以四邊形為正方形，因此，又平面，平面，故又平面,因此平面，所以BD與平面所成角為，所以.故選：C【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為__________.【答案】/【詳解】連接，在正方體中，平面，是與平面所成的角，，，，與平面所成的角的正切值為．故答案為：．【典例3】（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．?）由（1）知，為點(diǎn)到平面的距離．所以，連接．因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以．在中，，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以．所以點(diǎn)到平面的距離為．（3）若，由（2）可知，點(diǎn)到平面的距離為，又，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.即直線與平面所成角的余弦值為．【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體的棱長均相等，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，，所以與平行且相等，四邊形是平行四邊形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）如圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接．因?yàn)槠叫辛骟w中，設(shè)各棱長均為2，因?yàn)椋詾檫呴L為2等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，．所以．因?yàn)?，平面，所以平面．等邊三角形中，故．解可得．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，故在平面ABCD上的射影Q落在AC上，連接，所以即到平面ABCD的距離為所以到平面ABCD的距離為因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以到平面ABCD的距離因?yàn)椋灾本€與底面所成角的正弦值為【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱錐中，底面，，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值是________．

【答案】/【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，，所以面，因?yàn)槊妫?，因?yàn)槊?，所以面，所以是與平面所成角，因?yàn)椋?，所?由已證知，面，因?yàn)槊?，所以，所以，因?yàn)槊妫?，所以，所以，所以，由已證知，面，又因?yàn)槊?，所以所以，即與平面所成角的正弦值是.

故答案為：【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，為線段的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，則有，又在中，，則，，等腰中，，，則，則中，，則，又，，平面，平面，又平面，.（2）由（1）知：平面，設(shè)到平面的距離為d，又中，，則由可得，設(shè)直線與平面所成角為，則.題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，點(diǎn)，分別是，上的動點(diǎn)，當(dāng)線段的長最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)檎叫沃校?，且，平面，所以⊥平面，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為交點(diǎn)時(shí)，⊥，過點(diǎn)作于點(diǎn)，此時(shí)為的公垂線，即線段的長最小，設(shè)正方體邊長為，則，，因?yàn)椋?，故，解得：，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同上可知，即，解得：，，故，，又，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)與平面所成角大小為，則.

故選：B【典例2】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知直角梯形，，，，，四邊形為正方形，且平面⊥平面．(1)求證：⊥平面；(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）已知直角梯形ABCD，，，，所以為等腰直角三角形，可得，，，所以在中，由余弦定理得，所以，得．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以⊥平面．（2）根據(jù)（1）中所證可得：兩兩垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，．，，，設(shè)為平面MAB的一個法向量，由，取，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則．即直線與平面所成角正弦值為．【典例3】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）將題干圖形調(diào)整一下位置，記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，如圖，

因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又由（1）知平面，平面，所以，又平面，所以平面，又是的中點(diǎn)，底面為正方形，所以，故以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)槠矫?，平面，所以，不妨設(shè)，則在中，，則，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，故，記直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【詳解】平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.

【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)?，，且為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)镸，N分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?）取中點(diǎn)，作交于，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

、、、、.所以，.設(shè)平面的法向量，又因?yàn)槠矫?，所以，取，，，則.又因?yàn)?，所?所以直線和平面所成角正弦值為.【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱中，，，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在正四棱柱中，兩兩垂直，以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，為平面DBE的一個法向量，因此，所以直線與平面DBE所成角的正弦值為.題型03易錯題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值（忽視最后正弦轉(zhuǎn)余弦）【典例1】（2023·高二單元測試）已知四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)到平面的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得．，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：．【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，則，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，所以是平面的一個法向量.設(shè)與平面所成的角為，.因?yàn)?，，，則，所以.因?yàn)?，所以，所以與平面所成角的余弦值為.故答案為：.【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.（1）證明：；（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）依題意，面面，，∵面，面面，∴面.又面，∴.（2）解法一：向量法在中，取中點(diǎn)，∵，∴，∴面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，∴，∴，，，，，∴，，.設(shè)面法向量為，則，解得.設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)椋?所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）解法二：幾何法過作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，過作的平行線，過作的平行線，交點(diǎn)為，連結(jié)，過作交于點(diǎn)，連結(jié)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，四邊形為矩形，所以面，所以，又，所以面，所以為線與面所成的角.令，則，，，由同一個三角形面積相等可得，為直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）正三棱柱的所有棱長都相等，則和平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)三棱柱的棱長為1，以B為原點(diǎn)，以過B作的垂線為x軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，∴，平面的一個法向量可取為，設(shè)與平面所成的角為θ，,則，所以.故選：A.【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為______.【答案】/0.6【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接,則有,所以以為軸正方向建系如圖，設(shè),則,設(shè)平面的法向量為，則有，令則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以故答案?.【變式3】（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，、平面，平面，平面，，因?yàn)椋?、平面，平?（2）解：因?yàn)?，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，，，設(shè)平面的一個法向量分別為，則，取，可得，，，設(shè)直線與平面所成角的，則，，直線與平面所成角的余弦值．題型04求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）四棱錐，平面，底面是菱形，，平面平面.(1)證明：⊥；(2)設(shè)為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，交線為PB，且AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以AE⊥BC，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，因?yàn)?，平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)锳B平面PAB，所以BC⊥AB；（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，且BC⊥AB，所以四邊形ABCD為正方形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則，，設(shè)，，則，設(shè)平面ABM的法向量為，則，解得：，不妨令，則，故，設(shè)PC與平面ABM所成角大小為，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以PC與平面ABM所成角的正弦值的最大值為.【典例2】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，圓錐的底面上有四點(diǎn)，且圓弧，點(diǎn)在線段上，若．

(1)證明：平面；(2)若為等邊三角形，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動，記與平面所成的角為，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）∵，∴為等邊三角形，所以為底面圓的直徑，設(shè)，在中，，，所以則，，設(shè)到底面的距離分別為，即，即，所以即．設(shè)的交點(diǎn)為，所以，即，連接，則，面面，所以面．

（2）設(shè)底面圓的圓心為，過作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以由可得：?/p>

設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為∴，所以可取∴當(dāng)且僅當(dāng)，即與重合時(shí)取等號．所以的最小值為．【典例3】（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體中，點(diǎn)是長方形內(nèi)一點(diǎn)，是二面角的平面角.(1)證明：點(diǎn)在上；(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由是二面角的平面角，則，又，面，則面，又面，即，由長方體性質(zhì)知，故，由長方體性質(zhì)：面，又面，則，又，面，故面，而面面，且面、面，根據(jù)過AC作與PD1垂直的平面有且僅有一個，所以面與面為同一平面，又面，面面，所以點(diǎn)在上；（2）構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，令，，由題設(shè)，長方體上下底面都為正方形，由（1）知，則為中點(diǎn)，所以且，，，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，所以，僅當(dāng)時(shí)等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為.【變式1】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)若是棱的中點(diǎn)，求的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由平面，，平面，所以，，又，所以、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，，則，，，所以的余弦值為.（2），設(shè)，，則，則，又，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，，設(shè)與平面所成角為，，令，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有最大值，所以與平面所成角的正弦值的最大值為.【變式2】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點(diǎn)在線段上．(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；(2)求與平面所成角的正弦最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，若為的中點(diǎn)，則，可得，設(shè)異面直線與所成角，則.故異面直線與所成角的余弦值為.（2）若動點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，可得，解得，即，則，由題意可知：平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，對于開口向上，對稱軸為，可得當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以的最大值為，題型05已知直線與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校┤鐖D所示空間直角坐標(biāo)系中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動點(diǎn)，，直線和底面所成角為，則點(diǎn)坐標(biāo)滿足（

）A． B． C．D．【答案】A【詳解】解：由正三棱柱，且，根據(jù)坐標(biāo)系可得：，又是正三棱柱的底面內(nèi)一動點(diǎn)，則，所以，又平面，所以是平面的一個法向量，因?yàn)橹本€和底面所成角為，所以，整理得，又，所以.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】M是線段BC上一動點(diǎn)，連接PM．因?yàn)镻A，PB，PC互相垂直，所以是直線AM與平面PBC所成的角．當(dāng)PM最短，即時(shí)，直線AM與平面PBC所成角的正切值最大，此時(shí)，．在中，，則，解得．將三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的體對角線長為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．所以D正確；故選：D.【典例3】（2023秋·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形中，，與相交于點(diǎn)，平面，，，．若直線與平面所成的角為45°，則＝________．【答案】2【詳解】設(shè)AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC為正三角形，又AB=2，易得OA=1，OB=，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，所以，設(shè)平面BED的法向量為，則，令z=1則，，因?yàn)橹本€OF與平面BED所成角的大小為45°，所以，易知a>0，解得：a=2，所以AE＝2．故答案為：2.【變式1】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，故，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，故，又直線與平面所成角的正弦值為，，解得．故選：D【變式2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，，，，.，，.設(shè)平面的法向量，則，令，得，，故.因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.即，解得.所以平面的法向量，故到平面的距離為.故選：D【變式3】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？计谀┮阎獛缀误w如圖所示，其中四邊形，，均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)在上，若直線與平面所成的角為45°，則___________.【答案】/【詳解】把該幾何體補(bǔ)成一個正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，．又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內(nèi)的直線在平面上的射