人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第17講直線的兩點(diǎn)式方程(學(xué)生版+解析)

第04講直線的兩點(diǎn)式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握兩點(diǎn)確定一條直線的公理。②掌握兩點(diǎn)式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方。③理解與掌握直線的截距式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個(gè)幾何要素，會(huì)求直線方程，并能解決與之有關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：直線的兩點(diǎn)式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點(diǎn)，（，）（已知兩點(diǎn)）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程1.當(dāng)過(guò)兩點(diǎn),的直線斜率不存在()或斜率為0()時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示.2.在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí),必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即,是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),是另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋瑒t線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，直線的截距式方程是直線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)兩點(diǎn)的直線方程是()A．

B．

C．

D．【答案】C【詳解】根據(jù)直線的截距式可知直線方程為：故選：C知識(shí)點(diǎn)03：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求：邊BC上的中線所在直線的方程；【答案】（1）【詳解】（1）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為則邊BC上的中線所在直線的方程為；題型01直線的兩點(diǎn)式和截距式方程辨析【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程為C．直線與直線相互垂直．D．直線在軸上的截距為【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．不能表示過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程B．在軸，軸上的截距分別為，的直線方程為C．直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為D．過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)定點(diǎn)的直線都可用方程表示B．過(guò)定點(diǎn)的直線都可用方程表示C．過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)，的直線都可用方程表示D．不過(guò)原點(diǎn)的直線都可用方程表示題型02直線的兩點(diǎn)式方程（已知兩點(diǎn)求直線，建議轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過(guò)兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)兩點(diǎn)和的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，，在中，(1)求邊所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是______.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn))，，則過(guò)點(diǎn)且過(guò)線段的中點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_____題型03直線的截距式方程【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(2，1)且在軸上截距與在軸上截距之和為6的直線方程為_(kāi)_____________.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．【變式1】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谀┻^(guò)點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【變式3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：在軸上的截距分別為，.題型04直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（定值）問(wèn)題【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作直線，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線的方程為_(kāi)_______.【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求中過(guò)，邊上中點(diǎn)的直線方程；(2)求的面積.【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二?？计谀┤鐖D所示，已知是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)，，點(diǎn)在直線：上．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積．【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的斜率為－1，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【變式3】（2023春·高二單元測(cè)試）直線過(guò)點(diǎn)，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰O(shè)直線的方程為.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求的值.題型05直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（最值）問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點(diǎn)，則面積最小值為_(kāi)_____．【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．【典例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線同時(shí)滿足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：（1）若直線的斜率是2，求的值；（2）當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線的方程．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這條直線的方程．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省潁上第一中學(xué)校考期末）過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線在上的截距為（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或13．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．6．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或二、多選題8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中學(xué)校考期末）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．9．（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為_(kāi)_________．11．（2023秋·湖北孝感·高二統(tǒng)考期末）已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為_(kāi)__________.四、解答題12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，周長(zhǎng)為12，求直線l的方程．B能力提升1．（2023·上海·高二專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線的方程.2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l過(guò)點(diǎn)P(，2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程.

第04講直線的兩點(diǎn)式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握兩點(diǎn)確定一條直線的公理。②掌握兩點(diǎn)式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方。③理解與掌握直線的截距式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個(gè)幾何要素，會(huì)求直線方程，并能解決與之有關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：直線的兩點(diǎn)式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點(diǎn)，（，）（已知兩點(diǎn)）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程1.當(dāng)過(guò)兩點(diǎn),的直線斜率不存在()或斜率為0()時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示.2.在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí),必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即,是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),是另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過(guò)點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，直線的截距式方程是直線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)非常方便.【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過(guò)兩點(diǎn)的直線方程是()A．

B．

C．

D．【答案】C【詳解】根據(jù)直線的截距式可知直線方程為：故選：C知識(shí)點(diǎn)03：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求：邊BC上的中線所在直線的方程；【答案】（1）【詳解】（1）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為則邊BC上的中線所在直線的方程為；題型01直線的兩點(diǎn)式和截距式方程辨析【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)斜式可以表示任何直線B．過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程為C．直線與直線相互垂直．D．直線在軸上的截距為【答案】CD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，點(diǎn)斜式不表示與軸垂直的直線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)、兩點(diǎn)且斜率不為零的直線方程為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，故直線與直線相互垂直，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，直線在軸上的截距為，D對(duì).故選：CD.【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)：直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，三角形面積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：三條直線不能構(gòu)成三角形，可得或或直線過(guò)點(diǎn)，解得或或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，即，解得，故直線為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由兩點(diǎn)式方程可直接判斷D選項(xiàng)正確；故選：AD.【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．不能表示過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程B．在軸，軸上的截距分別為，的直線方程為C．直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為D．過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為【答案】AD【詳解】＝k表示過(guò)點(diǎn)M（x1，y1）且斜率為k的直線去掉點(diǎn)，A正確；在x軸，y軸上的截距分別為a，b，只有時(shí)，直線方程為，B錯(cuò)誤；直線y＝kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，C錯(cuò)誤；過(guò)兩點(diǎn)A（x1，y1）B（x2，y2）的直線當(dāng)時(shí)，直線方程為，變形為，當(dāng)時(shí)，直線方程為，也適合方程，所以D正確．故選：AD．【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)定點(diǎn)的直線都可用方程表示B．過(guò)定點(diǎn)的直線都可用方程表示C．過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)，的直線都可用方程表示D．不過(guò)原點(diǎn)的直線都可用方程表示【答案】ABD【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直時(shí)不能用點(diǎn)斜式與斜截式表示，所以選項(xiàng)AB不正確；因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸垂直時(shí)不能與截距式表示，所以選項(xiàng)D不正確；C選項(xiàng)，過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)，的直線，斜率存在時(shí)，方程為，可化為；斜率不存在時(shí)，，直線方程為也滿足，故C正確；故選：ABD.題型02直線的兩點(diǎn)式方程（已知兩點(diǎn)求直線，建議轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過(guò)兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】過(guò)兩點(diǎn)，的直線的為，令，解得：，故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)兩點(diǎn)和的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知直線方程為：，即，令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.故選：C.【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，，在中，(1)求邊所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【答案】(1)2x＋5y＋10＝0(2)10x＋11y＋8＝0【詳解】（1）BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，由兩點(diǎn)式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0．（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為M(a，b)，則a＝＝，b＝＝－3，所以，又BC邊的中線過(guò)點(diǎn)A(－3，2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即．故選：C．【變式2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是______.【答案】【詳解】經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是：，整理得.故答案為：【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn))，，則過(guò)點(diǎn)且過(guò)線段的中點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_____【答案】【詳解】A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)C橫縱坐標(biāo)均不相同，代入兩點(diǎn)式得：，化簡(jiǎn)得：.題型03直線的截距式方程【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】設(shè)直線在x，y軸上的截距分別為，則，若，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為，代入，即，解得，故直線方程為；若，設(shè)直線為，代入，即，解得，故直線方程為，即；綜上所述：直線方程為或.故選：D.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(2，1)且在軸上截距與在軸上截距之和為6的直線方程為_(kāi)_____________.【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【詳解】由題意可直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，則有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案為：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．【答案】或．【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴直線的方程為．綜上;直線的方程為或．【變式1】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谀┻^(guò)點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【詳解】當(dāng)截距時(shí)，設(shè)直線方程為，將，代入得，∴方程為當(dāng)截距時(shí)，過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為又且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為和故選：D.【變式3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【答案】或【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，化為，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為，把點(diǎn)代入可得：，解得，所以直線的方程為：，綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：在軸上的截距分別為，.【答案】.【詳解】由直線的截距式方程可知，所求直線方程，化為一般式方程為.題型04直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（定值）問(wèn)題【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作直線，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，令，解得；令，解得.，化為，即①，②，由于方程①，方程②無(wú)解，可得兩個(gè)方程共有2個(gè)不同的解.因此直線共有2條.故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線的方程為_(kāi)_______.【答案】或【詳解】解：因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等且不為0.設(shè)直線方程為，則.因?yàn)?，即，所以，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線方程為或.故答案為:或.【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求中過(guò)，邊上中點(diǎn)的直線方程；(2)求的面積.【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0(2)10【詳解】（1）∵點(diǎn)A（5，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B（x1，y1），∴B（5，﹣1），又∵點(diǎn)A（5，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（5，0），BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1）．過(guò)（5，0），（0，﹣1）的直線方程是，整理得x﹣5y﹣5＝0．（2）由題意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，∴△ABC的面積．【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二?？计谀┤鐖D所示，已知是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)，，點(diǎn)在直線：上．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）1．【詳解】（1）因?yàn)槭且訟B為底邊的等腰三角形，所以E為AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋运灾本€CE：，即所以AB邊上的高CE所在直線的方程為；（2），解得，所以，所以直線AC：，即，又因?yàn)?，所以點(diǎn)D到直線AC的距離，又，所以.【變式1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【答案】【詳解】解：依題意直線在坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線的截距式為，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，∴，解得，或，或，所以直線的條數(shù)為條．故答案為：【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的斜率為－1，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．【詳解】解：設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b，則它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(b，0)和B(0，b)，所以圍成的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)都為|b|，故其面積為，由，解得b＝±1，故所求直線的方程為y＝－x＋1或y＝－x－1．【變式3】（2023春·高二單元測(cè)試）直線過(guò)點(diǎn)，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.【答案】或【詳解】解：由題意知，直線的斜率存在且不為0.設(shè)直線.設(shè)此直線與軸、軸的交點(diǎn)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為因此面積為，即.若，得，無(wú)解；若，得.解方程，得或.所以，直線，即；或直線，即.【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰O(shè)直線的方程為.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求的值.【答案】（1）或（2）【詳解】（1）由題意知，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距都為0，此時(shí)，直線的方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由截距相等，得，則，直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或.（2）由題意知，直線在軸，軸上的截距分別為、，，解得.題型05直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（最值）問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點(diǎn)，則面積最小值為_(kāi)_____．【答案】12【詳解】設(shè)直線的方程，由過(guò)點(diǎn)可得，則有；；；解得：，當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)，，時(shí)取等號(hào)；所以故答案為：12【典例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)（2）解：設(shè)直線的方程為．令令．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。畡t的方程為．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．【答案】x＋2y－4＝0【詳解】方法一：由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故直線的方程為，即.方法二：設(shè)直線：，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)，故直線的方程為，即.【典例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線同時(shí)滿足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)；(2)存在，且直線方程為.【詳解】（1）證明：將直線方程變形為，由，可得，因此，直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若，則，則、，直線的斜率為，故直線的方程為，即，此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)為，則，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為.所以，存在直線滿足題意.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：（1）若直線的斜率是2，求的值；（2）當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線的方程．【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.【詳解】解：(1)直線l過(guò)點(diǎn)(m，0)，(0，4－m)，則，解得m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，則.當(dāng)m＝2時(shí)，S有最大值，故直線l的方程為x＋y－2＝0.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)；(2)面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.【詳解】（1）解：由題意可得.（2）解：在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸正半軸的交點(diǎn)為，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【答案】(1)或(2)12【詳解】（1）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)可得，所以所求直線方程為，即．綜上可得，所求直線方程為：或．（2）依題意，設(shè)點(diǎn)，（，），直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，于是有，利用基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，，即的面積的最小值為12．題型06重點(diǎn)方法（分類討論）【典例1】（多選）（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線：在軸和軸上的截距相等，則的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【答案】AD【詳解】當(dāng)時(shí)，直線為不符合題意，所以，若直線過(guò)原點(diǎn)，則，解得；若直線不過(guò)原點(diǎn)，令可得；令可得；所以在軸上的截距為，在軸上的截距為，所以，可得，綜上所述：的值可能是1或.故選：AD.【典例2】（2022秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎捻旤c(diǎn)，，．(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程．【答案】(1)(2)或．【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，則中線所在直線方程為：，即.（2）設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率，直線方程為，即；若，則設(shè)直線方程為，即，把點(diǎn)代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這條直線的方程．【答案】當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為．【詳解】由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可知該直線的斜率不可能為零，但有可能不存在．①當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，直線方程為；②當(dāng)直線斜率存在，即時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為，即．綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線在上的截距為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為即，故直線在上的截距為1，故選：A2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由截距式方程可得，所求直線方程為．故選：A．4．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【詳解】由題意知不與軸平行，故由直線的兩點(diǎn)式方程可得，解得：，故選：C5．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)經(jīng)過(guò)、的直線不與軸平行時(shí)，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項(xiàng)C滿足包括與軸平行的直線.故選:C6．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點(diǎn)式方程得，即.故選：D7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】B【詳解】①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率，所以直線