具有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

具有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1、交互作用

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法可以明顯減少多因素試驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)，同時(shí)也能在一定程度上得到能夠滿足工程應(yīng)用的試驗(yàn)結(jié)果。

但是，在前面的討論中我們都是基于一個(gè)假設(shè)展開的，即在所有被考慮的對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有影響的各因素之間對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，但是工程實(shí)踐告訴我們這種情況很少出現(xiàn)，因此正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)過程中考慮各因素的相互作用將顯得十分必要，首先讓我們來看個(gè)有關(guān)交互作用的例子：

例1

有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物。現(xiàn)將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，如下表所記。氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的總效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）相關(guān)概念因素間的聯(lián)合搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)生的影響作用稱為交互作用，通常將A因素與B因素的交互作用記作：A×B，稱為1級(jí)交互，通常的稱在一次試驗(yàn)中同時(shí)與A因素發(fā)生交互作用的因素的個(gè)數(shù)為交互級(jí)數(shù)。交互作用相關(guān)概念樣本中能獨(dú)立變化的數(shù)據(jù)數(shù)目。只要有n-1個(gè)數(shù)確定，第n個(gè)值就確定了，它不能自由變化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一組數(shù)據(jù)可以自由變化的數(shù)量的多少。

自由度通俗點(diǎn)說，一個(gè)班上有50個(gè)人，我們知道他們語文成績平均分為80，現(xiàn)在只需要知道49個(gè)人的成績就能推斷出剩下那個(gè)人的成績。你可以隨便報(bào)出49個(gè)人的成績，但是最后一個(gè)人的你不能瞎說，因?yàn)槠骄忠呀?jīng)固定下來了，自由度少一個(gè)了。2、關(guān)于自由度和正交表的選用原則選正交表必須遵循的原則：正交表各列的水平數(shù)必須等于研究因素的水平數(shù)要考察的因素及交互作用的自由度綜合必須不大于所選用正交表的總自由度

dfT≥fA+fB+fC+…+fAxB+fBxC+fAxC+…自由度的兩條規(guī)定：（1）正交表的總自由度f總＝試驗(yàn)次數(shù)－1；正交表每列的自由度f列＝此列水平數(shù)－1（2）因素A的自由度fA

＝因素A的水平數(shù)－1；因素A、B間交互作用的自由度fAxB

＝fA×fB如三因素四水平43

的正交試驗(yàn)應(yīng)安排

3(4-1)+1=10次以上的試驗(yàn).

如三因素四水平43

并包括第一、二個(gè)因素的交互作用的正交試驗(yàn)至少應(yīng)安排的試驗(yàn)次數(shù)為3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.

又如安排43×23的混合水平的正交試驗(yàn)至少應(yīng)安排3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的試驗(yàn).

若再加上包括第一、五個(gè)因素的交互作用的正交試驗(yàn)則至少應(yīng)安排的試驗(yàn)次數(shù)為

3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.3、交互作用的處理原則

試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，交互作用一律當(dāng)作因素看待，這是處理交互作用問題的總原則。作為因素，各級(jí)交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相應(yīng)列上，它們對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況都可以分析清楚，而且計(jì)算非常簡單。但交互作用又與因素不同，表現(xiàn)在：①用于考察交互作用的列不影響試驗(yàn)方案及其實(shí)施；②一個(gè)交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表頭設(shè)計(jì)時(shí)，交互作用所占列數(shù)與因素的水平m有關(guān)，與交互作用級(jí)數(shù)p有關(guān)。

2水平因素的各級(jí)交互作用均占1列；對(duì)于3水平因素，一級(jí)交互作用占兩列，二級(jí)交互作用占四列，……，可見，m和p越大，交互作用所占列數(shù)越多。

例如，對(duì)一個(gè)25因素試驗(yàn)，表頭設(shè)計(jì)時(shí)，如果考慮所有各級(jí)交互作用，那么連同因素本身，總計(jì)應(yīng)占列數(shù)為：

C51+C52+C53+C54+C55

＝5+10+10+5+1＝31，那么此試驗(yàn)必選L32（24）正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)。一般對(duì)于多因素試驗(yàn)，在滿足試驗(yàn)要求的條件下，有選擇地、合理地考察某些交互作用。

綜合考慮試驗(yàn)?zāi)康?、專業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)及現(xiàn)有試驗(yàn)條件等多方面情況進(jìn)行交互作用選擇。一般原則是：①忽略高級(jí)交互作用②有選擇地考察一級(jí)交互作用。通常只考察那些作用效果較明顯的，或試驗(yàn)要求必須考察的。③試驗(yàn)允許的條件下，試驗(yàn)因素盡量取2水平。4、有交互作用的試驗(yàn)表頭設(shè)計(jì)

表頭設(shè)計(jì)時(shí)，各因素及其交互作用不能任意安排，必須嚴(yán)格按交互作用列表進(jìn)行安排。這是有交互作用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要特點(diǎn)，也是關(guān)鍵的一步。

在表頭設(shè)計(jì)中，為了避免混雜，那些主要因素，重點(diǎn)要考察的因素，涉及交互作用較多的因素，應(yīng)該優(yōu)先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。

所謂混雜，就是指在正交表的同列中，安排了兩個(gè)或兩個(gè)以上的因素或交互作用，這樣，就無法區(qū)分同一列中這些不同因素或交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響效果。4.1交互作用表

下面介紹交互作用表和它的用法，下表就是正交表L8（27）所對(duì)應(yīng)的交互作用表。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列號(hào)（

）列號(hào)正交表自由度的確定：（1）每列的自由度

f列＝水平數(shù)－1（2）兩因素交互作用的自由度

fA×B＝fA×fB

（兩因素自由度的乘積）對(duì)2因素2水平的正交表，因?yàn)椋篺A＝fB＝

2－1＝１，每列只有一個(gè)自由度；而fA×B＝fA×fB

＝1×1＝1，所以也占一列。

對(duì)于2因素3水平，fA＝fB＝

3－1＝2，每列有2個(gè)自由度；而fA×B＝fA×fB

＝2×2＝4，由于交互作用列有4個(gè)自由度，而每列是2個(gè)自由度，因此2個(gè)3水平因素的交互作用列占2列。

對(duì)于2因素n水平，fA＝fB＝

n－1，每列有n個(gè)自由度；而兩因素交互作用的自由度為：fA×B＝fA×fB

＝（n－1）（n－1），所以交互作用列要占（n－1）列。

在實(shí)際研究中，有時(shí)試驗(yàn)因素之間存在交互作用。對(duì)于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計(jì)，除表頭設(shè)計(jì)和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同。

【例】

某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由A、B、C三種成分組成，各有兩個(gè)水平，除考察A、B、C三個(gè)因素的主效外，還考察A與B、B與C的交互作用。試安排一個(gè)正交試驗(yàn)方案并進(jìn)行結(jié)果分析。

（4）有交互作用的正交設(shè)計(jì)與分析實(shí)例

①

選用正交表，作表頭設(shè)計(jì)

由于本試驗(yàn)有3個(gè)兩水平的因素和兩個(gè)交互作用需要考察，各項(xiàng)自由度之和為：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可選用L8(27)來安排試驗(yàn)方案。正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列則為兩因素交互作用所占的列?？衫肔8(27)二列間交互作用列表來安排各因素和交互作用。

如果將A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表可知，第1列與第2列的交互作用列是第3列，于是將A與B的交互作用A×B放在第3列。這樣第3列不能再安排其它因素，以免出現(xiàn)“混雜”。然后將C放在第4列，查表可知，B×C應(yīng)放在第6列，余下列為空列，如此可得表頭設(shè)計(jì)。

②

列出試驗(yàn)方案

根據(jù)表頭設(shè)計(jì)，將A、B、C各列對(duì)應(yīng)的數(shù)字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗(yàn)方案列于表。③

結(jié)果分析按表所列的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果分析與前面并無本質(zhì)區(qū)別，只是：應(yīng)把互作當(dāng)成因素處理進(jìn)行分析；應(yīng)根據(jù)互作效應(yīng)，選擇優(yōu)化組合。

試驗(yàn)號(hào)ABA×BC空列B×C空列試驗(yàn)結(jié)果1111111155211122223831221122974122221189521212121226212212112472211221798221211261K1279339233353337327347K2386326432312328338318k169.7584.7558.2588.2584.2581.7586.75k296.5081.50108.0078.0082.0084.5079.50極差R26.753.2549