2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則＝（）A.2 B.1 C. D.3.已知．若，則（）A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“的公比為2”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知一個(gè)正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長(zhǎng)相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（）A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)7.已知函數(shù)，函數(shù)fx的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=gx的圖象.若方程在上有兩個(gè)不同的解，，則的值為（）A. B. C. D.π8.若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，最小值為（）A. B. C.1 D.二.多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.10.若數(shù)列an滿足，，，則稱數(shù)列an為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，則下列結(jié)論成立是（）A. B.C. D.11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是第Ⅱ卷三.填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是_______.13.為測(cè)量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.14.已知，當(dāng)，時(shí)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在所有的線段上，若，則的最小值是________．四.解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有，（1）求角B：（2）若AC邊上的高，求.17.如圖1，在平行四邊形中，，，E為中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．（1）求證：圖2中的平面平面；（2）在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．18.已知函數(shù)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值及的最大值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明．19.對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對(duì)不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.（1）求20以內(nèi)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；（2）已知.求m的值；（3）將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，證明.2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先把集合用列舉法表示出來，再運(yùn)用交集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】若，，則是的正因數(shù)，而的正因數(shù)有，，，，所以，因?yàn)椋裕蔬x：B.2.已知，則＝（）A.2 B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出復(fù)數(shù)，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.【詳解】由題意知，所以，故選：C.3.已知．若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量垂直可得，代入向量夾角公式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，可得，所以.故選：B.4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“的公比為2”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性與必要性即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，當(dāng)時(shí)，，解得或，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，，必要性成立.所以“”是“的公比為2”的必要不充分條件.故選：A5.已知一個(gè)正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長(zhǎng)相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正四棱柱及正四棱錐的體積公式可得正四棱錐的高與斜高的關(guān)系式，進(jìn)而可得解.【詳解】如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，設(shè)底邊邊長(zhǎng)，高，則，又正四棱柱的側(cè)面積，正四棱錐的側(cè)面積，則，解得，所以正四棱錐體積，故選：B.6.已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有（）A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)【正確答案】C【分析】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有3對(duì).故選：C7.已知函數(shù)，函數(shù)fx的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=gx的圖象.若方程在上有兩個(gè)不同的解，，則的值為（）A. B. C. D.π【正確答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，根據(jù)圖象變換求出，將方程轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性求出答案.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，且，，，方程等價(jià)于有兩個(gè)不同的解，.故選：A.8.若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】構(gòu)建，分析可知的定義域?yàn)?,+∞，且在0,+∞內(nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可得，整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋芍亩x域?yàn)?,+∞，所以在0,+∞內(nèi)恒成立，又因?yàn)椋頵′x>0，解得；令f′可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：C.方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．二.多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)指對(duì)互化與運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.【詳解】由題可得，，，即，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，這與已知矛盾，所以，故D正確.故選：ABD.10.若數(shù)列an滿足，，，則稱數(shù)列an為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】利用斐波那契數(shù)列的定義結(jié)合遞推關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由題可得，，，，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，又，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是【正確答案】ACD【分析】作出相應(yīng)圖形，先證明平面平面，再結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求出長(zhǎng)度即可判斷；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度即可判斷，將平面翻折到與平面共面，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)取到最小值，利用勾股定理求出即可判斷，先找到球心，利用勾股定理得出半徑，求出外接球的表面積即可判斷.【詳解】如圖，取，的中點(diǎn)為，連接，，所以，又E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，平面，因?yàn)榉謩e是棱，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面，又，平面，所以平面平面，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，所以點(diǎn)P的軌跡為線段，由勾股定理得，故正確；如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，由題意得，設(shè)，，所以，所以點(diǎn)的軌跡為為圓心，半徑為1的個(gè)圓，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故錯(cuò)誤；如圖，將平面翻折到與平面共面，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)取到最小值，，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以，即的最小值為，故正確；如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，若P是棱的中點(diǎn)，則，所以是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，過點(diǎn)作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心一定在該垂線上，連接，設(shè)，則，連接，，所以，所以，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故正確.故選.方法點(diǎn)睛：三棱錐外接球的半徑的求法：（1）先找兩個(gè)面的外心；（2）過外心作所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心；（3）構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出半徑.有時(shí)無須確定球心的具體位置，即只用找一個(gè)面的外心，則球心一定在過該外心與所在平面的垂線上.第Ⅱ卷三.填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是_______.【正確答案】.【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求最小值，即可求切線的斜率，以及代入切線方程，即可求解.【詳解】由題意，所以時(shí)，，又時(shí)，，所以所求切線的方程為，即．故．13.為測(cè)量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.【正確答案】【分析】設(shè)，在，，分別根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出，最后利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)塔的高，在中，，同理可得，，在中，，則，，即，解得.所以塔的高度為米.故答案為.14.已知，當(dāng)，時(shí)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在所有的線段上，若，則的最小值是________．【正確答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而可得為等比數(shù)列，即可利用累加法求解,由極限即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，則數(shù)列an滿足，，，所以，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.所以，，故故答案為.四.解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），，（2）【分析】（1）先將代入題干表達(dá)式計(jì)算出，再將代入題干表達(dá)式即可計(jì)算出的值，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第題的結(jié)果寫出與的表達(dá)式，再根據(jù)題意可得，通過計(jì)算出的表達(dá)式即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，.【小問2詳解】由（1）可得，，，在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，則有，∴，∴，∴，，兩式相減得，∴.16.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有，（1）求角B：（2）若AC邊上的高，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式可得角的大小;（2）由等面積法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即即，所以，在三角形中，，所以，即，因?yàn)?，則可得，則.【小問2詳解】因?yàn)檫吷系母?，所以①又②由①②可得，由正弦定理可得，結(jié)合（1）中可得，因?yàn)?，所?17.如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．（1）求證：圖2中的平面平面；（2）在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，由題意，則為等邊三角形，由余弦定理得，所以，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，，因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一條法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以點(diǎn)到平面的距離為．18.已知函數(shù)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值及的最大值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）判斷關(guān)于方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明．【正確答案】（1），最大值為0（2）證明見解析（3）2個(gè)，證明見解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）依題意即證當(dāng)時(shí)，記，，當(dāng)時(shí)直接說明即可，當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；（3）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由（1）知，則，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)說明在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可得到，從而說明函數(shù)在無零點(diǎn)，即可得解.【小問1詳解】由題意知，且，，，解得，，，則，當(dāng)時(shí)，，．故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．當(dāng)時(shí)，令，則，，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則．綜上所述，，的最大值為．【小問2詳解】因?yàn)?，要證當(dāng)時(shí)，即證，記，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，記，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．【小問3詳解】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，由（1）知，故，故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，，因此為一個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，，存在，使得，所以當(dāng)時(shí)?′x>0，當(dāng)時(shí)?在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，又，在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，，令，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，，于是恒成立．故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，綜上所述，有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討