2024-2025學年西藏拉薩市高三上學期第二次月考數(shù)學教學質(zhì)量監(jiān)測試卷（含解析）

2024-2025學年西藏拉薩市高三上學期第二次月考數(shù)學教學質(zhì)量監(jiān)測試卷注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等信息填寫在答題卡指定位置上.3．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列命題中形式不同于其他三個的是（）A.，B.，C.每一個正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.，x－3＜03.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（

）A. B. C. D.5.設，，，則（）A. B. C. D.6.有四個冪函數(shù)：；；；.某同學研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個性質(zhì)中有兩個正確、一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A. B. C. D.7.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且周期為3，又，則的值是（）A.2024 B.2023 C.1 D.08.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列不等式恒成立的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則10.下列選項中，正確的是（）A.若，，則，B.若不等式的解集為，則C.函數(shù)圖象恒過定點D.若，，且，則的最小值為911.已知定義域為R的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上有6個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.函數(shù)的定義域是____________．13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當時，則________．14.函數(shù)的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知奇函數(shù)圖象過點.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在上的值域.16.已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.17.已知為等差數(shù)列的前項和，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前10項和．18.對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得函數(shù)，那么我們稱為的“函數(shù)”．（1）已知，試判斷是否為的“函數(shù)”．若是，請求出實數(shù)的值；若不是，請說明理由；（2）已知為“函數(shù)”且．若關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知為的“函數(shù)”（其中），的定義域，當且僅當時，取得最小值4．若對任意正實數(shù)，且，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．19.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來，各級政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛心食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．“愛心食堂A”為了更好地服務老人，于3月28日12時，食堂管理層人員對這一時刻用餐的118人，對本食堂推出的15種菜品按性價比“滿意”和“不滿意”作問卷調(diào)查，其中，有13人來食堂用餐不足5次，另有兒童5人，他們對菜品不全了解，不予問卷統(tǒng)計，在被問卷的人員中男性比女性多20人．用餐者對15種菜品的性價比認為“滿意”的菜品數(shù)記為，當時，認為該用餐者對本食堂的菜品“滿意”，否則，認為“不滿意”.統(tǒng)計結(jié)果部分信息如下表：滿意不滿意合計男40女20合計（1）①完成上面列聯(lián)表；②能有多大（百分比）的把握認為用餐者對本食堂菜品的性價比是否滿意與性別有關(guān)？（2）用分層抽樣在對菜品的性價比“滿意”的人群中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人數(shù)，求的分布列和期望．附：參考公式和臨界值表，其中，．0.1000.05000100.0012.7063.8416.63510.8282024-2025學年西藏拉薩市高三上學期第二次月考數(shù)學教學質(zhì)量監(jiān)測試卷注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等信息填寫在答題卡指定位置上.3．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求解兩個集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；【詳解】因為，所以．故選：B.2.下列命題中形式不同于其他三個的是（）A.，B.，C.每一個正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.，x－3＜0【正確答案】B【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題即可求解.【詳解】“任意”，“每一個”是全稱量詞，故ACD是全稱命題，而“存在”是存在性量詞，故B為特稱命題，故B與ACD命題不同，故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定義分析即得解【詳解】由，解得，由且，解得，故，充分性不成立；，必要性成立故是成立的必要不充分條件故選：B.4.對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論【詳解】當，即時，，恒成立；當時，，解之得，綜上可得故選：D5.設，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)將三個值化簡，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即得.【詳解】由，，，因是增函數(shù)，故.故選：C.6.有四個冪函數(shù)：；；；.某同學研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個性質(zhì)中有兩個正確、一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合給定條件利用冪函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于，它是定義在上的奇函數(shù)，值域是且，且在上單調(diào)遞減，不滿足題意.對于，它是定義域為的奇函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義域為的奇函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義在上的偶函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，滿足題意．故選：D.7.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且周期為3，又，則的值是（）A.2024 B.2023 C.1 D.0【正確答案】D【分析】利用的周期，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知函數(shù)值，結(jié)合題意，求解即可.【詳解】因為的周期為3，，則，又，則，因為函數(shù)在R上的圖象關(guān)于y軸對稱，所以為偶函數(shù)，故，則，故.故選：D.8.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和8000時的比值即可求解.【詳解】由題意可得，當時，，當時，，所以，所以的增長率約為.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列不等式恒成立的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ACD【分析】對于ACD，利用基本不等式分析判斷，對于B，舉例判斷.【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以A正確.對于B，若，則，所以B錯誤.對于C，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以C正確.對于D，因為，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以D正確.故選：ACD10.下列選項中，正確的是（）A.若，，則，B.若不等式解集為，則C.函數(shù)的圖象恒過定點D.若，，且，則的最小值為9【正確答案】AD【分析】根據(jù)命題的否定即可判斷選項A正誤,根據(jù)一元二次不等式解集和一元二次方程根之間的關(guān)系,再利用韋達定理,即可判斷選項B正誤,根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過1,0,即可得選項C正誤,根據(jù)“1”的代換,即可得選項D的正誤.【詳解】對于A：由題知,“”的否定是“”，故A正確；對于B：若不等式的解集為,則的兩根為，且,根據(jù)韋達定理有:，解得，所以,故B錯誤；對于C：對數(shù)函數(shù)恒過1,0,所以恒過2,1，故C錯誤；對于D：因為,所以,當且僅當,即時等式成立，故的最小值為9，故D正確.故選：AD.11.已知定義域為R的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上有6個零點【正確答案】AB【分析】根據(jù)題設確定函數(shù)的周期和對稱中心，利用這兩個條件可得推出B正確；結(jié)合函數(shù)定義域，可得A正確；利用函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上有8個零點，排除D項；對于C，結(jié)合D的結(jié)果，通過舉例說明排除即可.【詳解】由①可得，函數(shù)的周期為6；由可得，②，即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱；又由②式可得，，結(jié)合①式可得，，故B正確；又因是定義域為R的函數(shù)，故，即得，，故A正確；對于D，由上分析，，，由的圖象關(guān)于點成中心對稱，是定義域為R的函數(shù)可知，，，，，，，故函數(shù)在上有8個零點，故D錯誤；對于C，因，且，而的值不能確定，即得不到，故C錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.函數(shù)的定義域是____________．【正確答案】【分析】由復合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，當且僅當，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為.13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當時，則________．【正確答案】1【分析】先由偶函數(shù)，推出，再根據(jù)分段函數(shù)的不同區(qū)間依次求得，.【詳解】因是在R上的偶函數(shù)，則，故.故1.14.函數(shù)的最小值為______．【正確答案】2【分析】利用換元法以及基本不等式即可求解函數(shù)最小值.【詳解】令，則，原函數(shù)可化為，當且僅當時取等號，此時，函數(shù)的最小值為2．故2.四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知奇函數(shù)的圖象過點.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在上的值域.【正確答案】（1）上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可.（2）利用單調(diào)性法求解值域即可.【小問1詳解】由題意可得解得當時，函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以.在1,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：，且因為，所以.所以，即，所以在1,+∞上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）得在1,+∞上單調(diào)遞減.因為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，故在上的值域為.16.已知橢圓過點，且其一個焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，若點是線段的中點，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的點以及焦點，即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可根據(jù)中點關(guān)系求解.【小問1詳解】拋物線的焦點為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】直線的斜率存在，設斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，消去得：，設Ax因為，即，所以，解得，此時滿足題意所以所求直線的方程為.17.已知為等差數(shù)列的前項和，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前10項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意列出方程組求出首項、公差即可；（2）化簡表達式，由裂項相消法即可求解.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為．因為，且，所以，解得，所以．【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，所以．18.對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得函數(shù)，那么我們稱為的“函數(shù)”．（1）已知，試判斷是否為的“函數(shù)”．若是，請求出實數(shù)的值；若不是，請說明理由；（2）已知為的“函數(shù)”且．若關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知為的“函數(shù)”（其中），的定義域，當且僅當時，取得最小值4．若對任意正實數(shù)，且，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．【正確答案】（1）存在，（2）（3）10【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義，利用多項式相等，列方程組求解.（2）先明確的解析式，再用分離變量的方法得到：，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可求參數(shù)的取值范圍.（3）先明確的解析式，再利用基本（均值）不等式，求的取值范圍.【小問1詳解】若是的“函數(shù)”，所以，則，解得，所以存在，使得是為的“函數(shù)”．【小問2詳解】由題意可知：，對于方程，即，即，令，則，則，對于，可知的圖象開口向上，對稱軸為，可得，則，即，所以實數(shù)的取值范圍．【小問3詳解】由題意可知：，則，當且僅當，即時取等號，結(jié)合題意：，解得，所以，可得恒成立，所以又，所以：（當且僅當時取“”）所以.故的最大值為10．易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”.（1）“一正”就是各項必須為正數(shù).（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.19.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來，各級政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛心食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．“愛心食堂A”為了更好地服務老人，于3月28日12時，