絕密資料高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列（解析版）

第35講：等比數(shù)列

一、課程標準

1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念.

2.探索并掌握等比數(shù)列的通項公式與前〃項和的公式.

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

二、基礎(chǔ)知識回顧

知識梳理

1.等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做

等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母_q_表示.

2.等比數(shù)列的通項公式

一般地,對于等比數(shù)列｛an｝的第n項an，有公式an=aiq『i，這就是等比數(shù)列｛aj的通項公式，其中ai為

nm

首項，q為公比.第二通項公式為：an=amq.

3.等比數(shù)列的前n項和公式

等比數(shù)列｛為｝的前n項和公式：S.=i—q(行1)或Sn—\—q(行1).

注意：(1)當(dāng)(7=1時，該數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列,S,產(chǎn)必；

(2)有關(guān)等比數(shù)列的求和問題，當(dāng)q不能確定時，應(yīng)分q=l，的來討論.

4.等比數(shù)列的性質(zhì)

⑴若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項，則G2=ab.

(2)等比數(shù)列｛aj中,若m+n=k+l(m，n，k，1CN*)，則有am-an=ak-ai'特別地，當(dāng)m+n=2p時,am-an

=加.

(3)設(shè)S,“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，則S,”，S2,“一S”，53,“一52,”滿足關(guān)系式(52”,—5,“)2=5,“。3,”-52,").

(4)等比數(shù)列的單調(diào)性，若首項?,>0，公比q>\或首項0<0，公比0<”1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若首項

?1>0，公比0<產(chǎn)1或首項功<0，公比夕>1，則數(shù)列為遞減數(shù)列；若公比q=l，則數(shù)列為常數(shù)列；公比

0，則數(shù)列為擺動數(shù)列.

(5)若｛4,｝和的｝均為等比數(shù)列,則｛匕｝(!#))、｛同｝、—｝、｛曲、｛/、"d｝(*0)仍為等比數(shù)列.

三、自主熱身、歸納總結(jié)

1、已知｛an｝是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，如，@8成等比數(shù)列，則()

A.aid>0，dS4>0B.aid<0?dS4<0

C.aid>0，dS4<0D.aid<0，dS4>0

【答案】B

5

【解析】由a3，a4，a8成等比數(shù)列可得：(ai+3d)2=(aj+2d)-(ai+7d),即3a)+5d=01.*.ai=-3d*/.aid

(ai+a4)x42

VO.又dS4=2d=2(2ai+3d)d=一兔2<()故選B.

2、若等比數(shù)列｛a/滿足ana“+i=16n，則公比為()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

an+ian+2］6n?

2n

【解析】山anan+i=16",得an+ian+2=16”"，兩式相除得a^n+i=16"=16>/.q=16(Vanan+i=16,可

知公比q為正數(shù)，，q=4.故選區(qū)

3、［2017.新課標H高考］我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，

共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上

一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A.1盞B.3盞C.5盞D9盞

【答案】B

aj(1-27)

【解析】設(shè)塔頂共有燈a,盞，根據(jù)題意各層等數(shù)構(gòu)成以at為首項，2為公比的等比數(shù)列，.3=1—2=

(2’-Dai=381，解得山=3.故選8

4、已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足4g2O〃+I=l+Iog2a旦。1+。2+〃3+...+。10=1，則Iog2(?l01+^102+.?.+^110)

【答案】100

【解析】因為Iog2〃〃+1=1+log2%,可得log20〃+i=log2(2an),所以〃“+1=2an,所以數(shù)列｛“〃)是以ai為首項，2

為公比的等比數(shù)列，又。1+。2+.??+。10=1,所以aioi+aioi+...+a\io=(?i+ai+...+aio)x2loo=2lo0,所以

IOg2(。101+〃102+…+010)=10g22,00=100.

5、已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，S“為其前〃項和，若〃1+。2+〃3=4,〃4+。5+。6=8,則S12=.

【答案】60

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3,S6—S3,S9—S6,$2—S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8,59~56,512-

S9是等比數(shù)列，因此$2=4+8+16+32=60.

四、例題選講

考點一等比數(shù)列的基本運算

s

例1、（1）（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二））己知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，若％=2生，則瞪=.

（2）（2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知｛q｝是等比數(shù)列，前〃項和為S”.若%-％=4,4=16,則S3的

值為▲.

（3）、（2019南京、鹽城一模）已知等比數(shù)列｛a?｝為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)其前n項和為Sn,若a?=2,S3-7,則

a5的值為.

7

【答案】.（1）（2）14（3）16

3

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,因為％=2%，所以//=2。2,故/=2.由于qwl,故

耳2=l—q_]_d2]―（g4）3]—23=7

二一4（1"一I"'-（/A一匚尹方

（2）：（基本量法）設(shè)數(shù)列｛4｝的首項是《，公比為4,則山％-%=4,4=16,得

a,q2-44=4,,fq=2

<解得〈_,S3=4+%+/=4+4夕+。闖~=2+4+8=14.

a｝q=\6〔4=2

22

（3）解法1（基本量為ai,q）設(shè)an=a「qE,則a2=a「q=2,即所以S3=a「（q2+q+1）=7,即j（q2+

2151

q+l）=2q+2+Q=7,q+d=],解得q=2或q=，（數(shù)列單調(diào)遞減，舍），則a5=a「q4=16.

21

解法2（基本量為a2,q）設(shè)公比為q,則S3=Q+2+2q=7,解得q=2或q=，（數(shù)列單調(diào)遞減，舍），則as

=a2,q'=16.

解后反思在等差數(shù)列與等比數(shù)列中常常使用基本量法，但是要注意基本量的相對性.我們所說的基本量，往

往是ai,d（或ai,q）,其實也可以把a?,d（或a2,q）等作為基本量.

55Sn

變式1、已知等比數(shù)列｛斯｝的前附項和為S”且。1+“3=5，?2+?4=4>則如=

【答案】：2--1

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

｛5（5

Jai+aj=2,Jai+atq2=2,①

7|55

【。2+如=4,l“q+aiq3=4,②

1+q，

由①除以②可得不了=2,

解得q=5,代入①得0=2,

1915

變式2、［2018?蘇州模擬］已知等比數(shù)列Sn｝的前n項和為Sn，且

~~8a4—a2=—T,則a3的值為

【答案】4

a((1—q6)19

【解析】⑴觀察得公比q不為1，將條件代入前n項和為S.及通項公式，得ai(i—q3)=一9-Al+q3

J93159

=-T，Aq=-2,?'?aiqCq2-1)=—V'ai=l，故a3=aiq2=J.

方法總結(jié)：⑴等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量“I,n,q,a?,

S,?一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解;

⑵等比數(shù)列的前"項和公式涉及對公比4的分類討論，當(dāng)＜7=1時，｛如｝的前〃項和S“=,孫：當(dāng)/時，

ail-。1ai—anq

｛%｝的前n項和Sn=\—q—\—q。

考點二等比數(shù)列的性質(zhì)

例2、(1)已知等比數(shù)列｛“"｝的各項為正數(shù)，且4546+。4〃7=18,則10g3ai+10g3"2+…+log3“IO=()

A.12B.10

C.8D.2+log35

(2)設(shè)等比數(shù)列｛a“｝中，前月項和為￡,己知$3=8,S6=l,則幻+制+麴等于()

I1

A.8B.-8

5755

c.yD.y

(3)已知等比數(shù)列｛〃“｝共有2〃項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比g=.

【答案】(1)B(2)A(3)2

【解析】⑴由a5a6+a4a7=18,得。5a6=9,

所以logM1+log3Q2+...+Iog300=log3(〃1〃2…00)

=10g3(45〃6)5=5k)g39=10.

(2)因為s+a8+〃9=S9—§6,且S3,S6-S3,59—&,也成等比數(shù)列，即8,-1,§9-56成等比數(shù)列，

所以8(%—56)=1,即S9一星=0,

]_

所以07+〃8+〃9=8?

JS奇+S耨=-240,

(3)由題意，得的=80,

產(chǎn)田=-80,1一160

解得儲=一160,所以4=其=-80=2.

42〃16

變式1、⑴(2019?洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列伍〃｝中，43,05是方程f+6x+2=o的兩根，則77"的值為()

2+―

A.-2B.一也

C.y[2D.一^

(2)等比數(shù)列｛〃〃｝的各項均為正數(shù)，且0。5=4,則k>g2ai+log2q2+log2a3+log2a4+log2〃5=.

【答案】(1)B(2)5

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為夕，因為"3,415是方程/+6工+2=0的兩根，所以〃3,。15=同=2,43

—6同

+〃15=—6,所以〃3<0,?15<0,則。9=一也，所以砌=.=〃9=一立.

(2)由題意知4同5=*=4,因為數(shù)列｛m｝的各項均為正數(shù)，所以“3=2.所以〃]〃2〃3々4〃5=(。悶5〉(〃2〃4)&3=

(曷A&3=/=25.所以10g2〃]+10g2〃2+log2〃3+log2〃4+log2^5=log2m142a3〃4。5)=lOgz?5=5.

變式2、⑴[2018?如東中學(xué)]在等比數(shù)列｛aj中，各項均為正值，且a6a1o+a3a5=41，a4a8=5唄I」加+28=；

Sio31

(2)[2016?常熟中學(xué)]等比數(shù)列國｝的首項山=—1，前n項和為工，若名=五，則公比q=—.

【答案】(1)相(2)-2

【解析】⑴由Maio+a3a5=41及36a1o=a至、a3a5=al，得虜+aG=41」.?a4a8=5?.*.(a4+as)2=aS+2a4as+ai=

41+2x5=51.又an>0'.\a4+^=y[5\.

Sio31Si()—S51

(2)由'a1=—1知公比q，l?則可得~工~=一五由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知Ss，SIQ-S5，S15

11

—Si()成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5=—交?q=-2.

方法總結(jié)：⑴在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若機+〃=p+式加，

%p,則“〃??〃=%?的”，可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形.止匕外，解題時注意設(shè)而不

求思想的運用

考點三等比數(shù)列的判定與證明

例3、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào))已知數(shù)列｛aj的各項均不為零.設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,數(shù)列｛a^

的前n項和為Tn,且3sA—4Sn+Tn=0,nGN,.

(1)求的值；

(2)證明：數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列；

【解析】(1)因為3S3—4Sn+Tn=0,nSN*.

令”=1,得3/一4ai+由=0,因為a#。，所以0=1.

1

令〃=2,得3(l+s)2—4(1+。2)+(1+星)=0，即2晶+“2=0，因為堂#),所以堂=一2.(3分)

(2)解法1因為3S^-4Sn+T,,=0,①

所以3S，|-4Sn7+Tn+|=0,②

②)—?得，3(Sn+l+Sn)3n+1—4an+l+a；i-l=0,

因為an+i/0,所以3(Sn+i+S”)-4+a“+i=0,③(5分)

所以3(Sn+S“T)-4+an=0(nN2),④

當(dāng)佗2時，③一④得，3(an+i+an)+an-i—an=0,即an+i=-]an,

an+11

因為a#0,所以an=-2-

j_a?_1_

又因(1)知，a1=l,a?=-2?所以a〕=-2?

1

所以數(shù)列｛an｝是以1為首項，一5為公比的等比數(shù)列.(8分)

解法2因為3SA-4Sn+Tn=0,①

—

所以3Sn+l4Sn+l+Tn+l=0,②

②一①得，3(Sn+i+Sn)an+i—4ani-i+an+i=0,

因為an+1和,所以3(Sn+1+Sn)-4+an+l=0,

—

所以3(Sn+l+Sn)4+(Sn+l—Sn)=0,(5分)

2_!/2\221

整理為SnT—§=-W^Sn—以又Si—§=a|—?=§,

2\(An-1\(nn-12

所以S「?=予(一萬，得Sn=K—亍+§,

(加一1

當(dāng)定2時，an=Sn—Sn-i=V_27，而ai=l也適合此式，

(hn—1am1

所以an=v-27，所以an="2

所以數(shù)列｛an｝是以一2為公比的等比數(shù)列.（8分）

2

變式1、（江蘇啟東中學(xué)2019屆高三模擬）已知數(shù)列｛〃〃｝的首項m>0,〃〃+1=2?！?1（〃￡N）且〃1=].

｛5—1｝是等比數(shù)列,

⑴求證:并求出｛〃“｝的通項公式:

⑵求數(shù)列｛5｝

的前n項和Tn.

12%十!

1d+iI-[34"-12”,,+1—3a”1—a”j_

【解析】（1）證明：記友,=￡-1,則丁=工=二=-3—3斯=31—%=§，

an~1an~1

_1_31

又"=/_I=2-T=5，

所以｛2一1｝是首項為《公比為3的等比數(shù)列.

所以￡-1=2\3/'_|，即如=1+23'-1

23門

所以數(shù)列｛3｝的通項公式為斯=l+2-3,r

(2)由(1)知，￡-1

即￡=20+1

所以數(shù)列｛5｝

的前〃項和

裝1-3")vn

-

Tn—j-+n=4<l3"J+?-

1-3

變式2、已知在正項數(shù)列｛?。?，卬=2,點詬，聲二）在雙曲線產(chǎn)一5=1上.在數(shù)列｛d｝中，點（與，Ttl）

在直線y=—云+1上，其中〃是數(shù)列｛仇｝的前〃項和.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

（2）求證：數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列.

【解析】：（1）由已知點4在y2一r=1上知，%+i—〃〃=1.

???數(shù)列｛斯｝是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.

，跖=〃i+（〃一l）d=2+〃-1=n+1.

\

（2）證明：’??點（仇，〃）在直線y=一吸+1上，

，，=—5力〃+1.①

Tn-t——2bn-1+1(n>2).②

①②兩式相減，得

b”=—2^?+2^?-|(?>2).

311

2'=2瓦??bn=2>bn-\-

12

由①，令”=1,得—=—仍i+l,.,.歷=§.

21

，數(shù)列｛d｝是以？為首項，名為公比的等比數(shù)列.

方法總結(jié)：證明一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列常用定義法與等差、等比中項法，其他方法只用于選擇、

填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等差或等比數(shù)列即可.而

研究數(shù)列中的取值范圍問題，一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進行求解.

五、優(yōu)化提升與真題演練

1、【2020年全國2卷】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板

(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層

的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇

面形石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【解析】設(shè)第〃環(huán)天石心塊數(shù)為凡，第一層共有〃環(huán),

則｛4｝是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，a“=9+(〃—l)x9=9〃,

設(shè)S“為伍"的前〃項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為S..S?”一S“，S3“一S2”，因為下層比中層多729塊,

所以S3”—S2,=S2“一S.+729,

3n(9+27n)2n(9+18〃)2n(9+18n)n(9+9n)

即4rl------------------------=-----------------------卜729

2222

即9〃2=729，解得〃=9,

所以S3,,=邑7=27"言2乃=3402.

故選：C

2、【2019年高考全國m卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛小｝的前4項和為15,且4=3。3+4《，則

。3=()

A.16B.8

C.4D.2

【答案】C

o31/-

q+qq+qg~+。聞、=15

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則＜

a聞4=3qg2+44

4=1,

解得,/.a=aq=4,故選C。

[4=23x

3、【2020年江蘇卷】設(shè)｛3｝是公差為”的等差數(shù)列，｛d｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列僅“+小｝的前〃項

和S?=n2-n+2"-l(neN+),則d+q的值是

【答案】4

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，等比數(shù)列也,｝的公比為4,根據(jù)題意

等差數(shù)列｛a.｝的前〃項和公式為P?=〃％+\Q=2n+(a1~2)n，

等比數(shù)列也,｝的前〃項和公式為Q="(i)=_e_/+上_,

"1-(/\-q\-q

211

依題意Sn=2+Q?,UPn-n+2"+(at-n-—-q"+

2k2；\-q\-q

q=0

c,故d+q=4.

q=2

4=2

4=i

匕=-1

"q

故答案為：4

4、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記S,為等比數(shù)列｛%｝的前"項和.若q=；，-=4,則$5=_

…品、121

【答案】一

3

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由己知4=工,a；=4,所以(g/)2=；^,又4/0，

所以q=3,所以s=q(l_/)/l_3:⑵

5一\-q—1-33

5、【2018?全國高考】已知數(shù)列｛冊｝滿足％=1,na?+1=2(n+l)an，設(shè)%=會

(1)求九,b:,b3；

(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛0｝的通項公式.

【答案】⑴"=1,歷=2,慶=4.

(2)出“｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由見解析.

(3)a?=77-2nl.

【解析】

(1)由條件可得知+1=加9..

將〃=1代入得，〃2=4〃寸而0=1,所以，〃2=4.

將〃=2代入得,。3=3。2,所以,03=12.

從而。尸1,%二2,/?3=4.

(2)｛仇｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得酗i=當(dāng)，即兒+尸2兒，又4=1,所以｛d｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

n+1n

(3)由(2)可得生所以年加2叫

n=2"T,

6、【2018?全國卷III】等比數(shù)列｛〃〃｝中，的=1,。5=4“3.

(1)求｛&｝的通項公式；

(2)記S”為｛〃“｝的前〃項和.若S“=63,求加.

【解析】(1)設(shè)｛斯｝的公比為心山題設(shè)得知=/L

由已知得/=4寸,

解得4=0(舍去)或4=-2或q=2.

故?！?(—2)"r或

(2)若m=(—2)"一1,則S“=J/)

3

由S”=63,得(-2產(chǎn)=-188,

此方程沒有正整數(shù)解.

1-2"

若斯=2"7,則S,=~py=2"—1.

由S,”=63,得2川=64,解得,”=6.

綜上，m=6.

7、【2020年全國1卷】.設(shè)｛4｝是公比不為1的等比數(shù)列，/為的，生的等差中項?

(1)求｛4“｝的公比；