《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 4.1 插值-修

1第四章數(shù)值分析

實(shí)驗(yàn)4.1插值

實(shí)驗(yàn)4.2離散數(shù)據(jù)的曲線擬合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)4.3MATLAB數(shù)值積分與微分實(shí)驗(yàn)4.4常微分方程的數(shù)值解2實(shí)驗(yàn)4.1插值一、拉格朗日（Lagrange）插值法二、分段線性插值三、三次樣條插值四、應(yīng)用舉例3實(shí)驗(yàn)4.1插值一、拉格朗日（Lagrange）插值法實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到下面的問題：通過實(shí)驗(yàn)、測量等方法得到一些離散數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)從數(shù)學(xué)的角度可以看作是由某個函數(shù)產(chǎn)生的，如何利用這些數(shù)據(jù)來尋找這個函數(shù)滿足要求精度，且相對簡單的近似表達(dá)式呢？我們介紹以下三種方法：多項(xiàng)式插值、分段線性插值、三次樣條插值.4這時我們稱為插值函數(shù),為插值節(jié)點(diǎn).作為的近似表達(dá)式,使?jié)M足的一組測量數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù),要尋求一個函數(shù)1.拉格朗日插值多項(xiàng)式在我們所學(xué)的函數(shù)類型中，多項(xiàng)式相對比較簡單，用多項(xiàng)式作為插值函數(shù)是常用的方法，也稱為多項(xiàng)式插值法.實(shí)驗(yàn)4.1插值5利用上述方法求n次插值多項(xiàng)式計(jì)算比較麻煩，由插值多項(xiàng)式的唯一性，無論用什么方法，由n+1個節(jié)點(diǎn)確定的n次插值多項(xiàng)式都是相同的.當(dāng)n+1個節(jié)點(diǎn)互不相同時，由線性代數(shù)的知識，方程組(3)唯一確定

的一組系數(shù)

。由此可見,n+1個節(jié)點(diǎn)可以唯一確定一個n次插值多項(xiàng)式.實(shí)驗(yàn)4.1插值6比較方便的方法是構(gòu)造一組基函數(shù)：（4）(5)令（6）就是滿足條件(1)的n次插值多項(xiàng)式,稱為n次Lagrange(拉格朗表示，即日)插值多項(xiàng)式，通常用（7）實(shí)驗(yàn)4.1插值72.多項(xiàng)式插值的誤差估計(jì)關(guān)于可以證明有下列結(jié)論成立.(8)若

在

上連續(xù)，

在

內(nèi)存在，若

是

上的

個互異節(jié)點(diǎn)，則插值多項(xiàng)式

，對任意點(diǎn)

，插值余項(xiàng)為其中

，且與

有關(guān)定理(9)實(shí)驗(yàn)4.1插值8實(shí)驗(yàn)4.1插值functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endy3.拉格朗日插值法的MATLAB實(shí)現(xiàn)把這個程序存盤起來，作拉格朗日插值計(jì)算時可以隨時調(diào)用.編寫拉格朗日插值法程序：注意:程序中n表示節(jié)點(diǎn)的個數(shù)，以數(shù)組x0,y0輸入，m表示插值點(diǎn)的個數(shù)，以數(shù)組x輸入.輸出數(shù)組y為m個插值.9分別用n=8、10的等距分點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式插值，例1繪制f(x)及插值多項(xiàng)式的圖形.解x=[-1:0.25:1];y=1./(1+9*x.^2);x0=[-1:0.05:1];y0=lagrange(x,y,x0);plot(x0,y0,'r--')holdon,y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y1),holdoff↙在命令窗口輸入：取區(qū)間[-1,1]的8等分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn),實(shí)驗(yàn)4.1插值函數(shù)f(x)及插值多項(xiàng)式的圖形如圖4.1所示.10實(shí)驗(yàn)4.1插值圖4.111取區(qū)間[-1,1]的10等分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn),類似地可得f(x)及插值多項(xiàng)式,如圖4.2所示.實(shí)驗(yàn)4.1插值圖4.212一般總認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高,逼近的精度越高.但事實(shí)上并非如此,由圖4.1和圖4.2可以看出，離零越遠(yuǎn),近似效果越差,以致完全失真.這一現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象.Runge現(xiàn)象表明,盲目采用提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)的方法來減少誤差是不可取的.因此,我們只有用縮短插值區(qū)間,分段進(jìn)行插值來達(dá)到減少誤差的目的.與f（x）的近似程度比較好，但當(dāng)x實(shí)驗(yàn)4.1插值13實(shí)驗(yàn)4.1插值二、分段線性插值

分段線性插值,就是用連接彼此相鄰兩節(jié)點(diǎn)的直線段形成的折線作為插值函數(shù).MATLAB對分段線性插值提供了插值函數(shù),見下表.函數(shù)功能yi=interp1(x,y,xi)對節(jié)點(diǎn)(x,y)插值，求xi處的內(nèi)插值.yi=interp1(x,y,xi,'method')采用指定的方法，對節(jié)點(diǎn)(x,y)插值，求xi處的內(nèi)插值.14實(shí)驗(yàn)4.1插值用n=20的等距分點(diǎn)進(jìn)行線插值，繪制f(x)及插值例2多項(xiàng)式的圖形.在命令窗口輸入：x=-1:0.1:1;y=1./(1+9*x.^2);xi=-1:0.1:1;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,'r-',xi,yi,'*')↙解利用plot函數(shù)檢驗(yàn)插值效果，由圖4.3可見，在[-1,1]內(nèi)線性插值函數(shù)收斂于函數(shù)

f(x).15

一般地，線性插值函數(shù)都有良好的收斂性.數(shù)學(xué)、物理中用的特殊函數(shù)表,計(jì)算機(jī)繪圖都采用了分段線性插值的原理.實(shí)驗(yàn)4.1插值圖4.316三、三次樣條插值

分段線性插值雖然有良好的收斂性,但是由于在節(jié)點(diǎn)處不光滑,實(shí)用上受到了一定的限制.下面介紹一種在實(shí)際應(yīng)用中,常用的提高光滑度的方法:三次樣條插值.(1)在每一個小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式且則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù).若函數(shù)S(x)滿足下列條件：給定[a,b]上的n+1個節(jié)點(diǎn)滿足實(shí)驗(yàn)4.1插值17實(shí)驗(yàn)4.1插值其中為待定常數(shù).由條件（2）共4n-2個條件，還需要再給兩個條件，才能唯一確定一個三次樣條插值函數(shù).最常用的是增設(shè)邊界條件:也稱為自然條件.18實(shí)驗(yàn)4.1插值在MATLAB中三次樣條插值函數(shù)為：yi=interp1(x,y,xi,'spline'),

或yi=spline(x,y,xi)其中變量的含義與分段線性插值相同.19例3在一天24小時內(nèi),從零點(diǎn)開始每間隔2小時測得的環(huán)境溫度為(攝氏度)12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推測在每1s時的溫度，并描繪溫度曲線.在命令窗口輸入：解t=0:2:24;T=[129910182428272520181513];plot(t,T,'*')ti=0:1/3600:24;T1i=interp1(t,T,ti);holdon,plot(ti,T1i)T2i=interp1(t,T,ti,'spline');holdon,plot(ti,T2i,'r-')↙實(shí)驗(yàn)4.1插值20輸入不同的時刻ti便可得到相應(yīng)的溫度值Ti.利用線性插值方法描繪的溫度曲線，如圖4.4所示.通過圖上兩條曲線比較可以看出,三次樣條插值函數(shù)在整個區(qū)間上有較好的收斂性;光滑性比分段線性插值有較大的提高,因此應(yīng)用比較廣泛.缺點(diǎn)是誤差估計(jì)比較困難.這正像我們的人生在發(fā)揚(yáng)優(yōu)點(diǎn)修正錯誤中不斷砥礪前行.圖4.4實(shí)驗(yàn)4.1插值21四、應(yīng)用舉例數(shù)據(jù)加細(xì)問題在機(jī)械制造加工中,經(jīng)常遇到數(shù)據(jù)加細(xì)的問題.例如，在現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)中，用計(jì)算機(jī)程序控制加工機(jī)器零件時，根據(jù)設(shè)計(jì)可以給出零件外形曲線上某些點(diǎn)，加工時為控制每步刀的走向及步長就要算出零件外形曲線上其他點(diǎn)的函數(shù)值，加工出外表光滑的零件，這就涉及到數(shù)據(jù)加細(xì)的問題.例4

在飛機(jī)的機(jī)翼加工時，由于機(jī)翼尺寸很大，通常在圖紙上只能標(biāo)出部分關(guān)鍵點(diǎn)的數(shù)據(jù).某型號飛機(jī)的機(jī)翼上緣輪廓線的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：實(shí)驗(yàn)4.1插值x0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00y0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.166.697.033.990.00對表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行細(xì)化，并畫出機(jī)翼的上輪廓線.22解輸入：x=[0.004.749.0519.0038.0057.0076.0095.00114.00133.00152.00171.00190.00];y=[0.005.238.1011.9716.1517.1016.3414.6312.169.697.033.990.00];xi=[0:0.001:190];yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(xi,yi)↙實(shí)驗(yàn)4.1插值機(jī)翼的上輪廓線，如圖所示.圖4.523實(shí)驗(yàn)4.1插值例5

天文學(xué)家在1914年8月份的7次觀測中，測得地球與金星之間距離（單位：米），并取其常用對數(shù)值與日期的一組歷史數(shù)據(jù)如下所示,試推斷何時金星與地球的距離(米)的對數(shù)值為9.9352.日期:18202224262830距離對數(shù):9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150解由于對數(shù)值9.9352位于24和26兩天所對應(yīng)的對數(shù)值之間,所以對上述數(shù)據(jù)用三次樣條插值加細(xì)為步長為1的數(shù)據(jù),輸入:x=[18:2:30];y=[9.96189.95449.94689.93919.93129.92329.9150];xi=[18:1:30];yi=interp1(x,y,xi,'spline')；A=[xi;yi]↙24經(jīng)三次樣條插值推斷，25日時金星與地球的距離(米)的對數(shù)值為9.9352.A=18.000019.000020.000021.000022.000023.000024.0