二次函數(shù)中的平行四邊形問題

...wd......wd......wd...二次函數(shù)綜合〔動(dòng)點(diǎn)〕問題——平行四邊形存在問題適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級適用區(qū)域全國新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長〔分鐘〕60分鐘知識點(diǎn)1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2、平行四邊形性質(zhì)3、平行四邊形模型探究學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能1、掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)；2、掌握平行四邊形的性質(zhì)；3、會(huì)對平行四邊形模型進(jìn)展探究，分類討論不同的情況。過程與方法1、首先要掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)，因?yàn)槠叫兴倪呅未嬖趩栴}是在二次函數(shù)的前提下進(jìn)展的；2、掌握平行四邊形的性質(zhì)，先脫離二次函數(shù)，再回到二次函數(shù)的情景中研究；3、先從簡單入手探究平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)情況下平行的存在問題，然后回到二次函數(shù)前提下的平行四邊形存在問題。4、充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想來幫助解題。情感、態(tài)度與價(jià)值觀1、培養(yǎng)學(xué)生的處理圖像綜合運(yùn)用的能力；2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)方法；3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。學(xué)習(xí)重點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得四邊形是平行四邊形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)學(xué)習(xí)難點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得四邊形是平行四邊形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)〔一〕利用待定系數(shù)法求拋物線解析式的三種常用形式：〔1〕【一般式】拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為，然后解三元方程組求解；〔2〕【頂點(diǎn)式】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為求解；〔3〕【交點(diǎn)式】拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為?！捕硳佄锞€上兩個(gè)點(diǎn)A〔x1，y〕，B〔x2，y〕之間的關(guān)系：(1)如果兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，則有對稱軸；(2)兩點(diǎn)之間距離公式：兩點(diǎn)，則由勾股定理可得：練一練：A〔0，5〕和B〔－2，3〕，則AB＝。(3)中點(diǎn)公式：兩點(diǎn)，則線段PQ的中點(diǎn)M為。練一練：A〔0，5〕和B〔－2，3〕，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(4)如圖：PG∥X軸，QG∥Y軸，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X1，G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X2，縱坐標(biāo)為Y2，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為Y1，則線段PG=〔三〕求三角形的面積：〔1〕直接用面積公式計(jì)算；〔2〕割補(bǔ)法；〔3〕鉛垂高法；如圖，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬〞〔a〕，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高〞〔h〕．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=eq\f(1,2)ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。BBC鉛垂高水平寬haA〔四〕二次函數(shù)中三角形面積、周長的存在性問題解題思路：〔1〕如果是一個(gè)三角形面積為一個(gè)三角形面積的多少倍，則分別表示出每個(gè)三角形的面積去求解；如果是一個(gè)三角形面積為固定值，則用含有未知數(shù)的式子去表示面積去求解；如果是三角形周長最小，則做對稱點(diǎn)去求解；如果是三角形面積最大，則劃歸為二次函數(shù)最值問題去求解。〔2〕再畫圖；〔3〕后計(jì)算。二、知識講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)：a＞0a＜0圖象開口對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值當(dāng)x＝時(shí)，y有最值是當(dāng)x＝時(shí)，y有最值是增減性在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而y隨x的增大而考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2平行四邊形性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等，對角相等，對角線互相平分。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3平行四邊形模型探究：1.三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。如圖：分別以三角形ABC的邊做平行線，三條平行線相加形成一個(gè)三角形三角形的三個(gè)頂點(diǎn)即是滿足題意的M點(diǎn)的坐標(biāo)。2.兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況①確定兩定點(diǎn)連接的線段為一邊，則兩動(dòng)點(diǎn)連接的線段應(yīng)和邊平行且相等；②兩定點(diǎn)連接的線段沒確定為平行四邊形的邊時(shí)，則這條線段可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€。三、例題精析【例題1】【題干】〔十堰〕拋物線y=-ax2+2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A〔-1，0〕，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．〔1〕直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，求拋物線的解析式；〔3〕坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M和〔2〕中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】(1)x=1，B〔3，0〕；(2)y=-33x2+233x+3；(3)M1〔4，3〕，M2〔-4，3〕，M3【解析】解：〔1〕對稱軸是直線：x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔3，0〕．〔2〕如圖，連接PC，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A〔-1，0〕、B〔3，0〕，∴AB=4．∴PC=12AB=12在Rt△POC中，∵OP=PA-OA=2-1=1，∴OC=PC2-PO∴b=3當(dāng)x=-1，y=0時(shí)，-a-2a+3=0∴a=3∴y=-33x2+2〔3〕存在．理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M〔x，y〕．①當(dāng)以AC或BC為對角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CM∥AB，且CM=AB．由〔2〕知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=3．∴x=±4．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M〔4，3〕或〔-4，3〕．②當(dāng)以AB為對角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方．過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90度．∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=3．∵OB=3，∴0N=3-1=2．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M〔2，-3〕．綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為M1〔4，3〕，M2〔-4，3〕，M3〔2，-3〕．【例題2】【題干】〔安福縣模擬〕：如圖，拋物線y=ax2+3ax+c〔a＞0〕與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1，0〕，OC=3BO．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；〔3〕假設(shè)點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝34x2+94x?3；(2)272；(3)P1〔-3，-3〕，P2(-3+412，3)，P【解析】解：〔1〕∵B〔1，0〕，∴OB=1；∵OC=3BO，∴C〔0，-3〕；∵y=ax2+3ax+c過B〔1，0〕、C〔0，-3〕，∴c解這個(gè)方程組，得a=∴拋物線的解析式為：y＝34x2+9〔2〕過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M、N在y＝34x2+94得方程34x2+94解這個(gè)方程，得x1=-4，x2=1∴A〔-4，0〕設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b∴0解這個(gè)方程組，得k=-∴AC的解析式為：y＝34?x∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=152+12?DM?(AN+=152+2?設(shè)D(x，34x2+94x?3)，M(x，?34x?3)DM＝?34x?3?(34x2+94x?3)＝?當(dāng)x=-2時(shí)，DM有最大值3此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值272〔3〕如以以下圖，①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形，∵C〔0，-3〕∴設(shè)P1〔x，-3〕∴34x2+94x解得x1=0，x2=-3∴P1〔-3，-3〕；②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C〔0，-3〕∴設(shè)P〔x，3〕，∴34x2+94x?3＝3，x解得x＝-3+412或x＝此時(shí)存在點(diǎn)P2(-3+412，3)和P3(綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1〔-3，-3〕，P2(-3+412，3)，P3(-3-【例題3】【題干】〔義烏市〕如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)〔A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)〕，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．〔1〕求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；〔3〕點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x-1；(2)94；(3)F1〔1，0〕，F(xiàn)2〔-3，0〕，F(xiàn)3〔4+7，0〕，F(xiàn)4〔4-7，0〕【解析】解：〔1〕令y=0，解得x1=-1或x2=3∴A〔-1，0〕B〔3，0〕將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3得y=-3∴C〔2，-3〕∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；〔2〕設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x〔-1≤x≤2〕則P、E的坐標(biāo)分別為：P〔x，-x-1〕E〔x，x2-2x-3〕∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=〔-x-1〕-〔x2-2x-3〕=-x2+x+2=-〔x-12〕2+∴當(dāng)x＝12時(shí)，PE的最大值=9〔3〕存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F1〔1，0〕，F(xiàn)2〔-3，0〕，F(xiàn)3〔4+7，0〕，F(xiàn)4〔4-7，0〕．①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是〔-3，0〕；②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔-1，0〕，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，0〕；③如圖，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1+7，3〕，由于直線GF的斜率與直線AC的一樣，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+7．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔4+7，0〕；④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為〔4-7，0〕．綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．四、課堂運(yùn)用【根基】1.〔阜新〕如圖，拋物線y=12x2+x-3〔1〕求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；〔2〕在拋物線是否存在點(diǎn)E，使△ABP的面積等于△ABE的面積假設(shè)存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．2.〔湖州〕拋物線y=x2-2x+a〔a＜0〕與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．直線y=12〔1〕試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)；〔2〕如圖，將△NAC沿y軸翻折，假設(shè)點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；〔3〕在拋物線y=x2-2x+a〔a＜0〕上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，試說明理由．【穩(wěn)固】1.〔盤錦三?！橙鐖D，對稱軸為直線x=12〔1〕求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線對應(yīng)的解析式；〔2〕D為BC的中點(diǎn)，延長OD與拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE．①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②判斷ABE的形狀，并說明理由；〔3〕在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OBEP是平行四邊形假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．2.〔柳州〕如圖，拋物線y=ax2-2ax-b〔a＞0〕與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B〔-1，0〕，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．〔1〕直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)；〔2〕以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C．①求拋物線的解析式；②點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．3.〔槐蔭區(qū)三?！橙鐖D，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC，BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E．〔1〕求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；〔2〕求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形【拔高】1.〔湛江〕如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為D〔-1，-4〕，與y軸交于點(diǎn)C〔0，-3〕，與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；〔3〕假設(shè)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形假設(shè)存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．2.〔路北區(qū)一?！橙鐖D，拋物線y=〔x+1〕2+k與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C〔0，-3〕．〔1〕求拋物線的對稱軸及k值；〔2〕拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)