2024−2025學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，記，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知直線過(guò)點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過(guò)點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直線，是一組“共軛線對(duì)”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．已知，是一組“共軛線對(duì)”，則，的夾角的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線過(guò)點(diǎn)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過(guò)點(diǎn)C．過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方程為D．直線在軸上的截距為210．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為11．如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．若為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為C．若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)在平面上，點(diǎn)是空間內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的值為．13．直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的一般式方程為.14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若且與平面所成的角最大時(shí)，線段的長(zhǎng)度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，為邊的中點(diǎn)．(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．16．已知，，且.(1)求.(2)求與夾角的余弦值.17．已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)l的方程.18．已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分別是、、、AD的中點(diǎn)，平面．(1)求證：；(2)求點(diǎn)B到平面EFM的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)N，使得直線與平面EFM所成角的正弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．19．已知是棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集．(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)，，分別位于的兩側(cè)．是否存在，使的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，為一常?shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得.故選B.3．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，由，解得，所以可以推出，當(dāng)時(shí)，直線，直線，有，即可以推出，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4．【答案】A【詳解】連接，因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)，所以，故．故選：A5．【答案】A【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A6．【答案】B【詳解】，則點(diǎn)到直線的距離為：.故選：B7．【答案】D【詳解】由，得到，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又，，所以，，又直線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，

故選：D.8．【答案】B【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，故選：B.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)傾斜角為銳角，斜率為正；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程為，即，顯然在直線上，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)不能使用兩點(diǎn)式寫方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線，令，，則直線在軸上的截距為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．【答案】BD【詳解】記，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11．【答案】ABD【詳解】連結(jié)OB.在三棱錐中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因?yàn)?，所以面ABC.可以以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以,,,.對(duì)于A：在三棱錐中，，，，所以底面三角形為直角三角形，其面積為；為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以面積為；和為腰長(zhǎng)為2，底邊為的等腰三角形，所以面積均為；所以三棱錐的表面積為.故A正確；對(duì)于B：為棱的中點(diǎn)，所以,所以,.所以異面直線與所成角的余弦值為.故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)，（）.所以.設(shè)為面PAM的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)y=1，則.因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，解得：取，則顯然，面PAC的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，所以，所以.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:如圖示，把平面PBC展開(kāi)，使A、B、C、P四點(diǎn)共面.當(dāng)M與B重合時(shí)，；當(dāng)M與C重合時(shí)，最大；連結(jié)AP交BC于M1，由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)M位于M1時(shí)，最小.此時(shí)，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故D正確.故選：ABD12．【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面上，由空間向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案為：.13．【答案】【詳解】∵直線的方向向量,∴直線的斜率，又∵直線過(guò)點(diǎn)∴由點(diǎn)斜式可得：,即，故答案為：.14．【答案】/【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，則.在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，則，即，又，設(shè)與平面所成的角為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，與平面所成的角最大，即，所以.故答案為：.1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在，同時(shí)，用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)，又，所以邊上的中線的方程為，整理得到，故邊上的中線的一般式方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率為，又，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，整理得到.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即與夾角的余弦值為.17．【答案】（1）；（2）最小值是4，方程為．【詳解】（1）直線方程為：，它過(guò)定點(diǎn)，在第二象限，因此直線不過(guò)第四象限，則∴的取值范圍是；（2）易知，令得，令，得，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴最小值是4，此時(shí)方程為，即．18．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)3(3)存在點(diǎn)滿足題意，【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?，又底面是正方形，則，且與是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，所以，又分別是的中點(diǎn)，所以，所以.（2）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以平面即是平面，由（1）知平面，則平面，平面，，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）如圖以為原點(diǎn)，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，，，，，設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，且，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=a,b,c則，即，令，得，，，整理得，解得或（舍），，即存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).19．【答案】(1)當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，有4個(gè)；當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，有3個(gè)(2)【詳解】（1）情形一：分別取的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知，此時(shí)平面為的一個(gè)1階等距平面，為正四面體高的一半，等于.由于正四面體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面平行于其中一個(gè)面，有4種情況；情形二：分別取的中點(diǎn)，將此正四面體放置到棱長(zhǎng)為1的正方體中，則為正方體棱長(zhǎng)的一半，等于.