2024−2025學年高二10月月考數(shù)學試題含答案

2024?2025學年高二10月月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上的點，且，記，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點，點C是底面圓周上一點（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知直線過點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知兩點，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線，是一組“共軛線對”，其中是坐標原點．已知，是一組“共軛線對”，則，的夾角的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中不正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線過點，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過點C．過，兩點的直線的方程為D．直線在軸上的截距為210．在空間直角坐標系中，點，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點關(guān)于軸的對稱點坐標為D．向量在上的投影向量為11．如圖，在三棱錐中，，，，為的中點，點是棱上一動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．若為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為C．若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點在平面上，點是空間內(nèi)任意一點，且，則的值為．13．直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的一般式方程為.14．在棱長為1的正方體中，為棱上一點，且，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），若且與平面所成的角最大時，線段的長度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點．(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程．16．已知，，且.(1)求.(2)求與夾角的余弦值.17．已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時l的方程.18．已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分別是、、、AD的中點，平面．(1)求證：；(2)求點B到平面EFM的距離；(3)在線段上是否存在點N，使得直線與平面EFM所成角的正弦值為？若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由．19．已知是棱長為的正四面體，設(shè)的四個頂點到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集．(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點與點，，分別位于的兩側(cè)．是否存在，使的4階等距集為，其中點到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說明理由．

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，為一常數(shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得.故選B.3．【答案】C【詳解】當時，由，解得，所以可以推出，當時，直線，直線，有，即可以推出，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4．【答案】A【詳解】連接，因為，分別是的中點，所以，故．故選：A5．【答案】A【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A6．【答案】B【詳解】，則點到直線的距離為：.故選：B7．【答案】D【詳解】由，得到，所以直線過定點，又，，所以，，又直線與線段有公共點，結(jié)合圖象可知，，

故選：D.8．【答案】B【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，則，當且僅當，即時取等號，又，所以，故選：B.9．【答案】ACD【詳解】對于A，當傾斜角為銳角，斜率為正；當傾斜角為鈍角時，斜率為負，故A錯誤；對于B，直線方程為，即，顯然在直線上，故B正確；對于C，當或時不能使用兩點式寫方程，故C錯誤；對于D，直線，令，，則直線在軸上的截距為，故D錯誤.故選：ACD.10．【答案】BD【詳解】記，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對于C，點關(guān)于軸的對稱點坐標為，故C錯誤；對于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11．【答案】ABD【詳解】連結(jié)OB.在三棱錐中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因為，所以面ABC.可以以O(shè)為原點，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則，，，，，所以,,,.對于A：在三棱錐中，，，，所以底面三角形為直角三角形，其面積為；為邊長為2的等邊三角形，所以面積為；和為腰長為2，底邊為的等腰三角形，所以面積均為；所以三棱錐的表面積為.故A正確；對于B：為棱的中點，所以,所以,.所以異面直線與所成角的余弦值為.故B正確；對于C：點是棱上一動點，不妨設(shè)，（）.所以.設(shè)為面PAM的一個法向量，則，不妨設(shè)y=1，則.因為與平面所成角的正弦值為，所以，解得：取，則顯然，面PAC的一個法向量為.設(shè)二面角的平面角為，所以，所以.故C錯誤；對于D:如圖示，把平面PBC展開，使A、B、C、P四點共面.當M與B重合時，；當M與C重合時，最大；連結(jié)AP交BC于M1，由兩點之間直線最短可知，當M位于M1時，最小.此時，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故D正確.故選：ABD12．【答案】【詳解】因為點在平面上，由空間向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案為：.13．【答案】【詳解】∵直線的方向向量,∴直線的斜率，又∵直線過點∴由點斜式可得：,即，故答案為：.14．【答案】/【詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即取，則.在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，則，即，又，設(shè)與平面所成的角為，所以，又，當且僅當時，等號成立，所以，即時，與平面所成的角最大，即，所以.故答案為：.1、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；2、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以的中點，又，所以邊上的中線的方程為，整理得到，故邊上的中線的一般式方程為.（2）因為直線的斜率為，又，所以經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，整理得到.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即與夾角的余弦值為.17．【答案】（1）；（2）最小值是4，方程為．【詳解】（1）直線方程為：，它過定點，在第二象限，因此直線不過第四象限，則∴的取值范圍是；（2）易知，令得，令，得，即，∴，當且僅當，即時取等號，∴最小值是4，此時方程為，即．18．【答案】(1)證明見詳解(2)3(3)存在點滿足題意，【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又底面是正方形，則，且與是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，平面，所以，又分別是的中點，所以，所以.（2）因為分別是的中點，所以，所以平面即是平面，由（1）知平面，則平面，平面，，則，設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，所以點到平面的距離為.（3）如圖以為原點，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，A2,0,0，，，，，，，設(shè)線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為，且，，，，設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c則，即，令，得，，，整理得，解得或（舍），，即存在點使得直線與平面所成角的正弦值為，此時.19．【答案】(1)當?shù)闹禐闀r，有4個；當?shù)闹禐闀r，有3個(2)【詳解】（1）情形一：分別取的中點，由中位線性質(zhì)可知，此時平面為的一個1階等距平面，為正四面體高的一半，等于.由于正四面體有4個面，這樣的1階等距平面平行于其中一個面，有4種情況；情形二：分別取的中點，將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，則為正方體棱長的一半，等于.