遼寧省點(diǎn)石聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段考試 數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個(gè)向量不相等，則它們的長(zhǎng)度不相等D．若空間中的四點(diǎn)不共面，則是空間的一組基底2．已知直線的傾斜角為，則該直線的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，設(shè)，則（

）

A． B．C． D．4．已知兩直線，若，則與間的距離為（

）A． B． C． D．5．已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（

）A． B．1 C．2 D．7．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成的角為8．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，則（

）A．若，則直線的傾斜角為B．直線過定點(diǎn)C．若，則直線在軸和軸上的截距相等D．若直線不經(jīng)過第二象限，則10．如圖，四邊形為正方形，平面為的中點(diǎn)，則（

）A．四點(diǎn)共面 B．平面C．平面 D．平面平面11．正方體中，為的中點(diǎn)，為正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的最大值是B．若在上底面上運(yùn)動(dòng)，且正方體棱長(zhǎng)為1，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是C．當(dāng)在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值D．當(dāng)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線過點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為．13．如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)為棱上的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則在上的投影向量的模的取值范圍為．14．已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的外接球體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線與直線的交點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；(2)求點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線的方程．16．如圖，是半圓的直徑，是的中點(diǎn)，，平面垂直于半圓所在的平面，．

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．如圖①，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，分別是邊的中點(diǎn)，，如圖②，將菱形沿對(duì)角線折起．(1)證明：；(2)當(dāng)點(diǎn)折疊到使二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．18．如圖，在平行六面體中，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．19．定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么稱為兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．(1)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，如果它們之間的曼哈頓距離不大于2，求的取值范圍；(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，如果它們之間的曼哈頓距離恒大于1，求的取值范圍；(3)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】對(duì)于A，零向量有方向，方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在空間中，單位向量模長(zhǎng)為1但方向有無數(shù)種，故單位向量不唯一，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若兩個(gè)向量不相等，則它們的方向不同或長(zhǎng)度不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若空間中的四點(diǎn)不共面，則向量不共面，故是空間的一組基底，故D正確.故選：D.2．【答案】C【詳解】直線的傾斜角為，則斜率，所以該直線的一個(gè)方向向量為.故選：C.3．【答案】A【詳解】由圖可得.故選：A.4．【答案】D【詳解】已知兩直線，若，則，解得，則直線，則與間的距離為.故選：D.5．【答案】A【詳解】或，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．【答案】A【詳解】若，則，所以，解得，故.故選：A.7．【答案】B【詳解】對(duì)于A，為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則，取，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以三棱錐的體積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以D錯(cuò)誤．故選：B．8．【答案】B【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)?，所以，?所以，因?yàn)椋?故選B.【思路導(dǎo)引】本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點(diǎn)，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，若，則直線，所以直線的傾斜角為，故A正確；對(duì)于B，，所以，則直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若，則直線，令得，令得，所以則直線在軸和軸上的截距相等均為，故C正確；對(duì)于D，若，則直線，此時(shí)直線不過第二象限，又直線過定點(diǎn)，要使得直線不過第二象限，則，解得，所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，由題意，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，所以四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)N，連接，在中，M、N分別為的中點(diǎn)，，且，，，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，且平面，平面，故B正確；對(duì)于C，在正方形中，，平面平面，且平面平面，平面，，在直角梯形中，，，可得，，平面，平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，故D正確.故選：BCD.11．【答案】CD【詳解】

對(duì)于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成角等價(jià)于與所成的角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)所成角最大，為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖二，因?yàn)槔獯怪庇谏系酌?，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構(gòu)成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長(zhǎng)度是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，如圖三，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，面到平面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對(duì)于D，如圖四，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，因?yàn)?，由，所以，故D正確.故選：CD.12．【答案】【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，故此時(shí)直線的方程為，即.故答案為：.13．【答案】【詳解】連接，則，又三棱柱為正三棱柱，則平面，平面，所以，又，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以，則在上的投影向量的模為，因?yàn)椋?，即在上的投影向量的模的取值范圍?14．【答案】/【詳解】由題意得，，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，在展開圖中作，垂足為N，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，由得，，解得，在正方體，過點(diǎn)作，垂足為，則，如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)?，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，所以外接球，所以三棱錐外接球的體積，故答案為：.15．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，有，.所以兩直線的交點(diǎn)為.由于關(guān)于直線對(duì)稱，故直線和直線垂直.而直線即的斜率為，從而直線的斜率為.再由知直線的方程為，即.將與聯(lián)立，得，.從而直線和直線的交點(diǎn)為，由于關(guān)于直線對(duì)稱，故是的中點(diǎn).最后由，即知.（2）若是一條經(jīng)過的直線，則由于，知到的距離不超過.若有一條經(jīng)過的直線，滿足到的距離為，則由，知和垂直.而直線的斜率，故的斜率為.再由經(jīng)過，即知的方程為，即.綜上，點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值為，當(dāng)距離最大時(shí)，直線的方程為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槭前雸A的直徑，所以為中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面（2）因?yàn)槠矫娲怪庇诎雸A所在的平面，交線為，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槭前雸A的直徑，是的中點(diǎn)，所以，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.結(jié)合折疊后線段長(zhǎng)度不變得到，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又分別是的中點(diǎn)，所以，所以.（2）因?yàn)辄c(diǎn)折疊到使二面角為直二面角，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，結(jié)合（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋O(shè)，則，所以，又，所以，故，因?yàn)樗睦庵?，且，所以四邊形為菱形，則，又平面，所以平面；（2）過點(diǎn)，作，連接，設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且，故底面，又因?yàn)?，所以平面平面，所以，在中，，在中，，在中，，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，平面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.1