內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知點關(guān)于z軸的對稱點為B，則等于（

）A． B． C．2 D．3．若直線與互相垂直，則的值為（

）A． B． C．或 D．或4．正方體中，為中點，則直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或6．平行六面體中,.則=（

）A． B． C． D．7．已知點，，直線過點，且兩點在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是（）A． B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C． D．(?1,0)∪(1,+∞)8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則10．以下四個命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是C．設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2D．直線，若，則或211．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，若一點P在底面內(nèi)（包括邊界）移動，且滿足，則（

）A．與平面的夾角的正弦值為 B．點到的距離為C．線段的長度的最大值為 D．與的數(shù)量積的范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．兩平行直線與之間的距離為．13．已知空間向量，，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為14．在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過的重心，則的周長是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點分別為，，，BC中點為D點，求：(1)邊所在直線的方程(2)邊上中線AD所在直線的方程(3)邊的垂直平分線的方程.16．棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．(1)證明：；(2)求.17．設(shè)直線l的方程為．(1)求證：不論a為何值，直線l必過一定點P；(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點，，當(dāng)面積最小時，求此時的直線方程；(3)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時，求直線l的方程．18．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，M為棱PC的中點．(1)證明：平面PAD；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是？若存在，求出PQ的值；若不存在，說明理由．19．有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點是三角形內(nèi)一點，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點的一條直線，將三角板鋁成，問：應(yīng)該如何鋸法，即直線斜率為多少時，可使三角板的面積最大？

參考答案1．【答案】C【詳解】易知的斜率為，顯然傾斜角為.故選：C2．【答案】A【分析】由點關(guān)于某坐標(biāo)軸對稱的點的特征以及兩點距離公式即可求解.【詳解】點關(guān)于z軸的對稱點為B，所以.故選A.3．【答案】D【詳解】因為，則，即，解得或.故選：D.4．【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長為2，建系標(biāo)點，利用空間向量求線線夾角.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，可得，則，所以直線，所成角的余弦值為.故選B.【方法總結(jié)】求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量、平面法向量與平面法向量）的余弦值，通過轉(zhuǎn)化求出結(jié)果.5．【答案】D【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因為直線過點，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項正確.故選D.6．【答案】A【分析】先表達(dá)出，兩邊平方后，利用空間向量數(shù)量積運算法則得到，從而求出模長.【詳解】由題意得，故，故.故選A.7．【答案】A【詳解】由題意，點，，，根據(jù)斜率公式，可得，，如圖所示，要使得直線過點，且兩點在直線的同側(cè)，則直線斜率的取值范圍是.故選：A.

8．【答案】A【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設(shè)外心，因為，所以，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.9．【答案】ACD【分析】運用空間向量的垂直、共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運算、模的運算，逐項判斷即可.【詳解】對于A項，由可得，解得，故A項正確；對于B項，由可得，解得，故B項錯誤；對于C項，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，所以不存在實數(shù)，使得，故C項正確；對于D項，由可得，解得，所以，故D項正確.故選：ACD.10．【答案】BC【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；對于B，由解得，即，則，解得，B正確；對于C，依題意，，C正確；對于D，當(dāng)時，直線重合，D錯誤.故選BC.11．【答案】ABD【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，，若，則，可得，則，解得，即.對于選項A：可知平面的法向量，則，所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；對于選項B：因為，所以點到的距離為，故B正確；對于選項C：因為，則，且，可得當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值，所以線段的長度的最大值為3，故C錯誤；對于選項D：因為，，則，且，可知當(dāng)時，取到最小值；當(dāng)時，取到最大值；所以與的數(shù)量積的范圍是，故D正確；故選：ABD.12．【答案】/【詳解】由，可得，所以與之間的距離為.故答案為：.13．【答案】【詳解】由投影向量的定義可知，，故答案為：14．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B4,0，，，所以直線的方程為，設(shè)，點關(guān)于直線的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，由，易得，，直線就是所在的直線，

所以直線的方程為，設(shè)的重心為，則，所以，即，所以（舍去）或，所以，.結(jié)合對稱關(guān)系可知，，所以的周長即線段的長度為：.故答案為：.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），故邊所在直線的方程為：，化簡得到.（2）中點為，即，故，故AD所在直線的方程為，即.（3），故垂直平分線的斜率為，中點為，故垂直平分線的方程為，即.16．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）如圖，以D為原點，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,E0,0,1，，，，，，因為，，所以，所以，即.（2）因為，所以因為，且，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【詳解】（1）由得，則，解得，∴不論a為何值，直線l必過一定點；（2）由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．，，∴直線方程為．（3）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)，即，均為正整數(shù)，而a也為正整數(shù)，，，∴直線l的方程為．18．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）；（ii）存在，．【分析】（1）取中點，可證四邊形是平行四邊形，可得，從而得證；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，（ii）假設(shè)存在點到平面的距離為，利用點到面的距離公式法求解即可.【詳解】（1）取PD的中點N，連接AN，MN，如圖所示：因為M為棱PC的中點，所以，因為，所以，所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）因為，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，所以平面ABCD，又因為AD，平面ABCD，所以，而，，所以以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，因為M為棱PC的中點，所以（i），設(shè)平面BDM的一個法向量為，則，令，則，所以，平面PDM的一個法向量為，所以，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為.