陜西省西安市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

陜西省西安市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．直線l：的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．3．已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，若與的夾角為，則m等于（）A．1 B． C． D．04．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是平面的一個(gè)法向量 B．四點(diǎn)共面C． D．10．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過(guò)定點(diǎn)C．若，則或 D．若，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，其中、，若平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為．14．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M，N分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為.(1)求邊上的高所在直線的一般式方程；(2)求邊上的中線所在直線的一般式方程.16．已知，，求：(1)；(2)與夾角的余弦值．17．已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．(1)試用表示；(2)求的長(zhǎng)度．18．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．19．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．

參考答案1．【答案】B【詳解】點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．2．【答案】B【詳解】由直線方程為，則是直線的一個(gè)方向向量.故選：B3．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，直線的方向向量為，與的夾角為，所以，解得.故選：C4．【答案】D【分析】由A，B，C三點(diǎn)共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選D.5．【答案】C【詳解】若直線與直線互相平行且不重合，則，解得，故.所以“”是“直線與直線互相平行且不重合”的充要條件．故選：C．6．【答案】B【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)，，，則，，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)?，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.7．【答案】A【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以，，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：A8．【答案】A【詳解】由重心坐標(biāo)公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設(shè)外心，因?yàn)椋?，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.9．【答案】AD【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，故A正確；設(shè)，則，無(wú)解，所以四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD.10．【答案】ABD【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯(cuò)誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量為，，所以，則，所以，解得，所以.故答案為：.13．【答案】/【詳解】因?yàn)?、，所?記平面的一個(gè)法向量為，則，解得，故平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.14．【答案】【詳解】設(shè)AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C?AB?D的平面角，，OH=CHcos∠CHO=1，結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，故EM,AN所成角的余弦值，15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)為，所以直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式方程為；（2）因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的點(diǎn)斜式方程為，化為一般式為.16．【答案】(1)，(2)－【分析】（1）根據(jù)向量平行，設(shè)，進(jìn)而得到方程組，求出，根據(jù)向量垂直得到，求出，從而求出答案；（2）先計(jì)算出，，從而利用向量夾角公式求出答案.【詳解】（1）因?yàn)椋栽O(shè)，即，所以，解得，故又，所以，即，解得，于是．（2）由（1）得，，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以與夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合幾何體特征確定與的線性關(guān)系；（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求的長(zhǎng)度.【詳解】（1）.（2），，所以.所以.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖