考點(diǎn)04 不等式及性質(zhì)（解析版）高中數(shù)學(xué)

考點(diǎn)04不等式及性質(zhì)

在考點(diǎn)詳解

【命題解讀】

不等式的性質(zhì)是新高考常考查的知識(shí)點(diǎn)，主要常見于單選題或者多選題中出現(xiàn)?？疾椴坏仁降谋容^大

小，常用的方法一是運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，二是運(yùn)用特殊化進(jìn)行排除。

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)

Wa-b>0^a>b.

(2)〃-Z?=0=a=b.

(3)a—b<0<^a<b.

2、不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：a>bob<a；

(2)傳遞性：a>b>b>c^a>c；

(3)可加性：a>b^a+c>b+c；公攵九念4三@±C次土直

(4)可乘性：6濁?)之Q3acNbc;?一

a>b>0,c>d>0=>ac>bd；c<0時(shí)應(yīng)變號(hào).

(5)可乘方性：。>比>0今/>V(〃￡N,〃21)；

(6)可開方性：a>b>0y[a>9(〃￡N,〃22).

3、常見的結(jié)論

(1)?>/?,而>0今；<^.

(2)〃<0<6今]<￡

ah

(3)a>b>0,0<c<d

4、兩個(gè)重要不等式

若a>b>0fm>0,則

bb-\~mbb-m

(1)-<.；->----

'Jaa+maa—nv7

aa+maa-m

(2)7>7";-；工----S—〃7>0).

bb+mbb-m

t熱身訓(xùn)練

0,

1、下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）

A.若a>b,貝ijac2>bc2

B.若c>d,則a—

C.若a>\b\,則cr>tr

D.若a>b,則

【答案】C

【解析】當(dāng)c=0時(shí)，A不成立；2>1,3>-1,而2—3<1—（-1）,故B不成立；a=2,8=一1時(shí)，D不

成立；由。>|用知。>0,所以。2>〃，故選C.

2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）（多選題）設(shè)〃>1>/?>一1,b^O,則下列不等式中恒成

立的是（）

1111,,,

A.B.—>—C.a>b~D.a~>b~

abab

【答案】CD

【解析】

當(dāng)“=2力=-,，滿足條件.但！〈工不成立，故A錯(cuò)誤，

2ab

當(dāng)a>b>0時(shí)，—<—,故B錯(cuò)誤，

ab

,/.0</?2<1>則<>/，故C正確，

a>\>h>-l,:.a+b>0,a-b>0,：.a2-b2=（a+b\a-Z?）>0,故D正確.

故選：CD.

3、（2020江蘇鹽城中學(xué)月考）（多選題）下列命題為真命題的是（）.

A.若a>b,則:〉一

ba

ab

B.若c<d<0,則一<一

dc

C.若Q〉力>（）,且eV。，則一2>—T-

ah

D.若a>b,且則成<0

ab

【答案】BCD

【解析】

選項(xiàng)A：當(dāng)取a=l,b=—1時(shí)，—<—，，本命題是假命題.

ba

選項(xiàng)B：已知。cvdvO,所以—>—>0?

dc

—;>—，故二<一,1?本命題是真命題，

acac

11

選項(xiàng)c：tz>/?>0=>tz9->/7?->0=>0<—<—,

a~b

\*C<0,/.—>yy,「?本命題是真命題.

ab

-1111八b-a八

選項(xiàng)D：—>—----->0----->0?

ababab

?：a>b,—6Z<0?<0,本命題是真命題.

故選：BCD

4、若。=竽，人=野，則a爾填或

【答案】<

【解析】：易知”，〃都是正數(shù)，~=^^7=logs9>I,所以〃>4

5、已知一1令<4,2勺<3,則X-），的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是

【答案】：（-4,2）（1,18）

【解析】?.,一1令<4,2<），<3,，一3〈一產(chǎn)一2,

—4<x—><2.

由一l<x<4,2<y<3,得一3<3A<12,4<2><6,

l<3x+2y<18.

t

0典例剖析

考向一不等式的性質(zhì)

例1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知a,4c,△均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,c>d,則ac>仇Z

Qd

B.若aZ?>0,力c-ad>0,則----->0

ah

C.若Q>"c>d,則

D.若a>b,c>d>0,則q>2

dc

【答案】BC

【解析】

若。>()>b,0>c>dy^\ac<bd>故A錯(cuò)；

若必>0,bc-ad>0,則竺且>0,化簡(jiǎn)得￡一4>0,故B對(duì)；

abab

若c>d,則-d>-c,又a>b,則a-d>〃-c,故C對(duì)；

若。=—1,b=-2,c=2,d=l,則4=-1,—=—1?—=—=—1,故D錯(cuò)；

dcdc

故選：BC.

111111

變式1、若￡<3<0,給出下列不等式：①言與<益；②|a|+b>0；③。一￡>8—1④In/Ainb?.其中正確

的不等式是()

A.①④B.②③C.①③D.②④

【答案】C

11

【解析】方法一因?yàn)閊VgVO，故可取Q=—1,b=-2.

顯然|a|+b=l—2=-1V0,所以②錯(cuò)誤；因?yàn)镮no2=|n(一1]=0,Inb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④錯(cuò)

誤.綜上所述，可排除A,B,D.

111111

方法二由￡VgV。，可知bVa〈O.①中，因?yàn)閛+bVO,ab>0,所以立1VO,益>。?故有丁豆〈益，

即①正確；

②中，因?yàn)閎VaVO,所以一b>—a>0.故一b>|°|,BP|a|+fa<0,故②錯(cuò)誤；

1111

③中，因?yàn)閎VoVO,又￡VgV6則一￡>一3>3

11

所以O(shè)—故③正確；

④中，因?yàn)閎<oVO,根據(jù)y=*2在(-8,0)上為減函數(shù)，可得而y=lnx在定義域(0,+8)

上為增函數(shù)，所以Inb2>ln/,故④錯(cuò)誤.由以上分析，知①③正確.

變式2、已知x,y￡R,且則()

A.--~>0B.sinx—siny>0

xyJ

C.Q)'-(2)V<0D.lnx+lny>0

【答案】C

【解析】函數(shù)y=Q>在(0,+8)上為減函數(shù)，，當(dāng)心*>0時(shí)，即Q)'—故C正確；函

數(shù)、=?在(0,+口)上為減函數(shù)，，由x>)>0=?<\4—：<(),故A錯(cuò)誤：函數(shù)y=sinx在(0,+s)上不單調(diào),

XXyX

當(dāng)￡>*>0時(shí),不能比較sinx與siny的大小,故B錯(cuò)誤；x>y>0」孫>l』n（肛）>0」hix+lny>0,故D錯(cuò)誤.

變式3、（2020?邵東創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）下列不等式成立的是（）

A.若0VbV0,則標(biāo)>〃B.若ob=4,則。+拒4

ice“…bb+m

C.若。>b,則。。2>反2D.若a>b>0,m>0,則一<-----

aa+m

【答案】AD

【解析】

對(duì)「4若根據(jù)不等式的性質(zhì)則，故4正確;

對(duì)于B,當(dāng)。=-2,人=—2時(shí)，a+b=-4<4,顯然8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)。=0時(shí)，必=而，故C錯(cuò)誤；

bb+mZ?(tz+m)-^(Z?+m)[b-a^tn

對(duì)■于D,

aa+ma^a-^rri)Q(Q+W)

（b-a\m

因?yàn)椤?gt;b>0,m>0,所以b-a<0,。+加>0,所以-----;<0

磯Q+根）

所以2_.<0,即然竺成立，故D正確.

aa+maa+m

故選AD.

方法總結(jié)：判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明.常用的推理判斷需要利用不等式

的性質(zhì)，常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：①不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代

數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0；②不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變；

③不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等.

考向二不等式的比較大小

例2、設(shè)a泌>0,試比較er—七lr5與a巴—言h的大小.

a-+b-a+b

解法一(作差法)：

a2—b2a~b(。+匕乂a~-")一(。一3(。一+")

a2+b2~a+b(/+/),+.)

_(a-b)[(a+0)2-(a?+町2ab(a叫

+/)(Q+人)(〃+〃)(/+〃)

因?yàn)椤?gt;0,所以〃+比>0,a-b>0t2ab>0.

2ab^a-b)“2—〃a—b

所以>0,所以a2+b^>a+b'

(a+b)^a2+6)

解法二(作商法)：

-fjrQ-b

因?yàn)椤谒?

>0,優(yōu)十/r-a-nrb?-

――序o

(a+b)2a2+b2+2ah2ab

所以-----r=-_T=------TTP-=1+rT77>l-

a—bQ2+/cr-vb-cr+b-

a+b

/一后a~b

所以iz2+fe2>a+b"

2

匕a2

變式1、若a<0,b<0,則〃=5+不與q=a+b的大小關(guān)系為()

A.p<qB.pWq

C.p>qD.

【答案】：B

IJT〃2

【解析】(作差法)p—q=^+今—a—b

l/—a2?a2~b2(\1、

=匚1+F~=(bf9―-9七一/

ah~ah,

因?yàn)椤?lt;0,力<0,所以〃+0v0,abX).

若a=b,則p—4=0,故p=q；

若aWb,則p—q<0,故p<q.

綜上，〃<夕.故選B.

變式2、已知〃泌>0,比較〃戌與々％。的大小.

【解析】?。％"一…一口'

又故5>1，a-b>0,

又。%">0,"護(hù)>心,

：.不眇與a%"的大小關(guān)系為aabb>ahb11.

變式3、設(shè)。>0且在1,比較llogg—醐與log"(l+x)|的大小

解法一：當(dāng)a>\時(shí)，由0W1知,

log?(1—x)<0,log?(l+x)>0,

.\|log?(l—x)|—|log?(l+x)|

=-log，1-X)-log，1+x)=一log〃(1-x2),

/.loga(l—fKO,從而一k>ga(l—f)>0,

故110gxi—x)|>|log?(l+x)|.

當(dāng)0<?<l時(shí),同樣可得|loga(l—X)|>|log”(l+x)|.

解法二(平方作差)：

—x)|2—|log?(l+x)|2

=[log?(l—X)]2—[log?(l+x)]2

]—X

=log“(l-

/.|10&,(1—x)|2>|log?(l+x)|2,

故|loga(1—X)|>|k)ga(l+x)|.

方法總結(jié)：比較大小的方法

(1)作差法，其步驟：作差n變形=判斷差與0的大小=得出結(jié)論.

(2)作商法，其步驟：作商=變形=判斷商與1的大小=得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小

考向三運(yùn)用不等式求代數(shù)式的取值范圍

例3、設(shè)f(x)=ax2+bx,若19(一1K2,2</(1)<4,則/(一2)的取值范圍是.

【答案】[5,10]

【解析】方法一設(shè)/(—2)=m/(—l)+"/(D(m,"為待定系數(shù))，則4a—2b=m(a—b)+"(a+b),

即4a—2b=(m+n)a+(n—m)￡>.

[m+n—4,(m=3,

于是得、解得，

[n—m=-2,n=l.

又：14/(一1)32,2q(1)44.

.,.5<3/(-l)+/(l)<10,

故59(-2區(qū)10.

變式1、設(shè)。VO,］）,尸e0,|，那么2a—f的取值范圍是

【答案】（—乙，》）

6

【解析】：由題設(shè)得0<2。<乃,0?24工

36

—已+40,q<2a4<i

變式2、（2020?天津模擬）若a,夕滿足一聲a中號(hào)則2a一夕的取值范圍是（）

A.一兀<2］一夕<0B.—Ti<2a—^<n

C,—^<2a—p<^D.0<2a—［｝<Tt

【答案】C

TTJI

［余翠木斤］：*/——n<2a<n.

甘*,?一*—釁

-￥<2a一夕<挈

又a~-,a<2f.>2a一6

故一苧<2a一

方法總結(jié)：求代數(shù)式的取值范圍

一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍

，，優(yōu)國(guó)提升?實(shí)戰(zhàn)演練

1、（2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)）若a>b,則

A.ln（a-b）>0B.30<3fa

C.a3-b3>0D.|a|>|b|

【答案】C

【解析】取a=21=1,滿足。>力，ln（a-b）=0,知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3">3&=3，知B錯(cuò)，排

除B；取a=l1=—2,滿足a>b,1=時(shí)<網(wǎng)=2,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)榛瘮?shù)y=/是增函數(shù)，a>b，

所以/>/,故選c.

2、(2016?新課標(biāo)I,理8)若a>匕>1,0<c<l,則()

A.ac<甘B.abc<bac

C.alog6c</?log?cD.k)g“c<l0gzlc

【答案】C

【解析】0<c<l,.,.函數(shù)f(x)=x°在(0,+8)上為增函數(shù)，故優(yōu)>」',故A錯(cuò)誤，

.函數(shù)f(x)=x'T在(0,”)上為減函數(shù)，故尸廿,故如<<w,即加；故B錯(cuò)誤；

log?c<0.且k>g〃c<0,k>g“Z?<l,即1°=［?！?lt;］.,即log,,c>k>g〃c.故。錯(cuò)誤；

log,alog%c

0<-log<,c<-logAc,-Z>logac<-alog,,c,即61og“c>alog〃c,即al0gzlc<6log。c,故C正確；故選C.

3、(2014山東)若a>b>0,c<d<Q,則一定有()

abababab

A.—>—B.-<—C.—>-D.—<一

cdcddcdc

【答案】D

【解析】由c<d<0n—!>一!>0,又a〉b>0,由不等式性質(zhì)知：一烏>一2>0,所以故

dcdede

選D.

4、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)若則下列不等式中正確的是()

A.2X>2VB.三八7^C.X2>y2D.X2+y2>2xy

【答案】AD

【解析】

對(duì)A,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)xNy,有2'22‘，故A正確；