中考初中數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn)思維導(dǎo)圖+考點(diǎn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn)思維導(dǎo)圖+考點(diǎn)總結(jié)

-

-

立

I二

次

方

lai

^一

兀JL按開平方法

二

次配方法

方

^

?實(shí)際問題?一元二次方程卜￡因式分解法

^

法

_

1、一元二次方程

含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式

方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式"'取+^^缶工。），其中一叫做

二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c

叫做常數(shù)項(xiàng)。

二、降次一解一元二次方程

1.降次：把一元二次方程化成兩個一元一次方程的過程（不管用

什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次）

2、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做

直接開平方法。直接開平方法適用于解形如x?=b或（x+a）2的一元

二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)6"時，

x+a=土而，x=-a士而，當(dāng)b<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根。

3、配方法：配方法的理論根據(jù)是完全平方公式

『±勿">=（&+獷，把公式中的a看做未知數(shù)x,并用X代替，則

有±2bx+b2=（x士&）［

配方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)、②配方（寫成平方形

式）、③用直接開方法降次、④解兩個一元一次方程、⑤判斷2個根

是不是實(shí)數(shù)根。

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程今、以+c=O（a.O）的求根公式：

當(dāng)/-4ac>。時，方程有兩個實(shí)數(shù)根。

當(dāng)b：-4ac=0時，方程有兩個相等實(shí)數(shù)根。

當(dāng)占：-4"<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根。

5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個一次式

的乘積等于。的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次,

這種解叫因式分解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用

的方法。

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式:一元二次方程加+版+。=°30°)中,/-4"叫做

一元二次方程62+云+。=°("°)的根的判別式，通常用來表示,

即△=b2-4ac

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程.+bx+c=°SH°)的兩個實(shí)數(shù)根是4&由求根公式

2

-b±y/b-4ac.,2Abc

x=------------------------(b-4ac>0)Xi+x9=—X|Xn=—

2a可算出*J

二次函數(shù)

一二次函數(shù)的圖象

實(shí)

際次

問雨

題數(shù)

一］剎車距離i

一|實(shí)際問題與二次函數(shù)I——［何時獲得?大麗

一'最大面積是跖］

知識點(diǎn)梳理：

1.定義：一般地，如果y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，awO),那么y叫做的x二次函數(shù).

2.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)

(1)拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)r對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)y=ax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①當(dāng)a>0時U拋物線開口向上U頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a<0時U拋物線開口向下U頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為y=ax2(a*0).

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：

y=a(x-h)2+k的形式，其中

,b4ac-b2

n———,ic=----------

2a4a.

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①y=ax2；

<2)y=ax2+k;

③y=a(x-h)2;

④y=a(x-h)2+k;

(§)y=ax2+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a>0時，開口向上；

當(dāng)a<0時，開口向下；

|a|相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，y軸記作直線x=0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.

幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

(1)公式法：

「?頂點(diǎn)是:

b4ac-b2.

(f-..9------)

2a4a

對稱軸是直線:

(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-h)2+k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直線x=h.

(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行的證，才能做到萬無一失.

9.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2X=0(y$Eh)(0,0)

y=ax2+kX=0(y5由)(o,k)

y=a(x-X=h(h,0)

當(dāng)a>0時

h)2

開口向上

y=a(x-X=h(h,k)

當(dāng)a<0時

2

h)+k開口向下

y=ax2+bx+cbb4ac-b2

x----

2a(2a4a)

旋轉(zhuǎn)

中心對稱圖形

J

旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)）中心對稱

ZZFZ

關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的

坐標(biāo)

平移及其性質(zhì)

軸對稱及其性質(zhì)

一、旋轉(zhuǎn)

1、定義：把一個圖形繞某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做

旋轉(zhuǎn)，其中。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

么

(1)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

⑶旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

二、中心對稱

1、定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的

圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，

這個點(diǎn)就是它的對稱中心。

2、性質(zhì)

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，

并且被對稱中心平分。

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或在同一直線

±)且相等。

3、判定：如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這

一點(diǎn)平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。

4、中心對稱圖形：把一個圖形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋

轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱

圖形，這個店就是它的對稱中心。

5、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特征：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的

坐標(biāo)的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P'(-x,-y)

6、關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的特征：兩個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時，它們的

坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

為P'(x,-y).

7、關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征：兩個點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時，它們的

坐標(biāo)中，y相等，x的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)

為P'(-X,y)0

同的相關(guān)概念

1、園I的定義：在一個個平面內(nèi)，線段OA

繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A

隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫

做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示：以點(diǎn)。為圓心的圓記作“0。”，讀作“圓

二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如

途中的CD)直徑等于半徑的2倍。

c

A

(3)半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)

B

分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一

半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的

圓周角所對的弧也相等。

推論2:半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所

對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三

角形是直角三角形。

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有：

d<r=點(diǎn)P在OO內(nèi)；

d=r=點(diǎn)P在。。上；

d>r=點(diǎn)P在。。外。

八、過三點(diǎn)的圓

1、過三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。

2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的

外接圓。

3、三角形的外心：三角形的夕橫圓的圓心是三角形三條邊的垂

直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)：圓內(nèi)接四邊形對

角互補(bǔ)。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾，判

定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證

法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交，這

時直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切，這

時直線叫做圓的切線，

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相離。

如果的半徑為r,圓心。到直線1的距離為d,那么：

直線1與。。相交=d<r;

直線1與。。相切Qd=r；

直線1與。。相離od>r;

十f切線的判定和性質(zhì)

1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直

線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長：在經(jīng)過圓夕1點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的

線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。

2、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相

等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

十三、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的

內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角

平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

十四、圓和圓的位置關(guān)系

1、圓和圓的位置關(guān)系：如果兩個圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩

個圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點(diǎn)，那么就說這兩個圓相切，相切分為

外切和內(nèi)切兩種。

如果兩個圓有兩個公共點(diǎn)，那么就說這兩個圓相交。

2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么

兩圓外離=d>R+r

兩圓外切od=R+r

兩圓相交=R-r<d<R+r(R>r)

兩圓內(nèi)切od=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含=d<R-r(R>r)

4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定

在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩

個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多

邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就

可以做出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十六、與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊

形的中心。

2、正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊

形的半徑。

3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離

叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角：正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個

正多邊形的中心角。

十七、正多邊形的對稱性

A

D

T-0JB

1、正多邊形的軸對稱性：正多邊形都是軸對

稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊

形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱

圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

&正多邊形的畫法：先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

]_n7lf

1、孤長公式：n°的圓心角所對的弧長1的計算公式為=麗

S.=—^=-lR

2、扇形面積公式：3602其中n是扇形的圓心角度

數(shù)，R是扇形的半徑，1是扇形的弧長。

S=L?2乃=湎

3、圓錐的側(cè)面積：2其中1是圓錐的母線長，r是

圓錐的地面半徑。

4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經(jīng)過切點(diǎn)的弦所夾的角，

叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦與切線一\

夾的弧所對的圓周角。!；5-°

即：zBAC=ZADC―一

5、切割線定理

PA為0。切線，PBC為0。割線,

貝IJE4?=PB^PC

用列舉法求概率

隨機(jī)事件

用頻率估計概率

一、概率

1.隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,

稱為隨機(jī)事件.一般的，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小有可能不同。

（確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事

先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能

事件都是確定的.事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確

定事件又分為必然事件和不可能事件，）

二、概率

1概率：

（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率m/

n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率,

(4)必然發(fā)生的事件的概率P(A)=1；不可能發(fā)生事件的概

率P(A)=0.

(5)事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可

能性越小，概率越接近于0.

二、求概率方法

一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生

的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概

率為P(A)=m/no

1.列舉法：一次實(shí)驗(yàn)中，涉及1個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

目有限多個，并且它們發(fā)生的