湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(B卷)

2024年秋季高一期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（B卷）（考試范圍：必修第一冊(cè)第一章至第三章）時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：_____________一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的）1.已知集合，，則集合為A. B.C. D.2.命題“，”的否定為A.， B.，C.， D.，3.若冪函數(shù)，則m=A. B. C.2 D.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則A. B. C.-3 D.35.已知函數(shù)，且，則m=A.2 B.6 C.25 D.446.甲、乙兩人解關(guān)于x的不等式，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的解集為；乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的解集為.那么原不等式的解集為A. B.C. D.7.若，則A.， B.，C.， D.，8.已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)為Λ.5 B.6 C.7 D.8二、選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下表是某市公共汽車的票價(jià)y（單位：元）與里程x（單位：km）之間的函數(shù)，如果某條線路的總里程為20km，那么下列說法正確的是x2345A. B.若，則C.函數(shù)的定義域是 D.函數(shù)的值域是{2,3,4,5}10.已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①為偶函數(shù)；②為上的減函數(shù)；③，下列選項(xiàng)成立的是A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.C.若，則D.若，則11.若，，且，則下列說法正確的是A.的最大值是 B.ab的最小值是8C.的最小值是 D.的最小值是32三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的定義域?yàn)開_______.13.已知一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________.14.我們用表示實(shí)數(shù)x到離它最近的整數(shù)的距離，例如，，，則的最大值是________；對(duì)于函數(shù)，若滿足，則有________種可能的值.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（本題滿分13分）（1）化簡；（2）已知，求的值.16.（本題滿分15分）已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17.（本題滿分15分）某廠家擬在2025年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（）滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷售量只能是3萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為9萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計(jì)算）的1.5倍.（1）將2025年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2025年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？18.（本題滿分17分）設(shè)函數(shù).（1）若，且，求m的值；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.（本題滿分17分）給定函數(shù)，，我們用表示，中的較大者，記為.（1）若，，請(qǐng)用解析法表示，并求出的最小值.（2）若，，其中a為實(shí)數(shù).（?。┊?dāng)時(shí)，寫出的解析式；（ⅱ）若的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

2024年秋季高一期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（B卷）參考答案題號(hào)1234567891011答案CAACBDDBACDADBCD一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.）1.C【解析】結(jié)合數(shù)軸易知正確答案是C.2.A【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定原則，本題答案為A.3A【解析】根據(jù)冪函數(shù)定義可知，，解得.4.C【解析】由題意可知，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.5.B【解析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)的解析式為，所以，解得.6.D【解析】甲的常數(shù)c正確，由韋達(dá)定理可知，故；乙的常數(shù)b正確，故，故.所以原不等式為，即，解集為.7.D【解析】由題構(gòu)造函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，同理，在上單調(diào)遞增，所以，即.8.B【解析】由方程可解得或，結(jié)合的圖象，可得方程的解有6個(gè).二、選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.ACD【解析】，選項(xiàng)A正確；若，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域?yàn)椋x項(xiàng)C正確；函數(shù)的值域是{2,3,4,5}，選項(xiàng)D正確.10.AD【解析】由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性知，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)A正確；，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，有，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由條件③知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即時(shí)，所以，選項(xiàng)D正確.11.BCD【解析】選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由，可得，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，∵，，∴，即，ab的最小值是8，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，法1：，由A知的最小值是.法2，∵，∴，∵，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，法1：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，也是當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是32.法2：，選項(xiàng)D正確.三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.【解析】，∴.13.【解析】由題意知，且，解得.14.12（第1空2分，第2空3分）【解析】由定義可知，故的最大值為；設(shè)，，，，∴，也就是和的小數(shù)部分要么相同，要么和為1.當(dāng)小數(shù)部分相同時(shí)，則，可得，且，∴，，有6種；當(dāng)小數(shù)部分和為1時(shí)，則，可得，且，∴，，有6種.綜上，有12種可能的值.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.【解析】（1）原式 3分 5分. 6分（2）∵，∴， 8分即， 11分∴. 13分16.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，， 2分∵. 5分∴. 7分（2）∵， 9分∴. 10分∵是的充分不必要條件，∴， 12分顯然，則由，解得. 15分17.【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，則，解得， 2分所以. 4分因?yàn)槊考a(chǎn)品的銷售價(jià)格為元，所以2025年該產(chǎn)品的利潤. 7分（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，. 8分所以， 10分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. 12分所以. 14分故該廠家2025年的促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤最大，為35.5萬元. 15分18.【解析】（1）∵，∴，∴，又，則. 3分（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減. 4分證明：，且，則， 5分化簡得， 7分由，得，∴，，∴，于是，即.∴在區(qū)間上單調(diào)遞減. 9分（3）設(shè)，由知，， 10分將其代入，得，化簡得恒成立， 13分設(shè)，則在上恒成立.即. 14分∵與在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增， 15分∴，∴， 16分∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 17分19.【解析】（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，； 2分當(dāng)，，令，得或；當(dāng)時(shí)，. 4分故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故 6分（只有正確結(jié)論的給4分，有圖有結(jié)論的給5分，有分析過程有結(jié)論的給6分）當(dāng)時(shí)，有最小值1；時(shí)，.綜上，的最小值為l. 7分（2）設(shè)，（?。┊?dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以 10分（ⅱ），在上是增函數(shù)，在上