應用隨機過程習題參考答案

《應用隨機過程》參考答案SolutionManualforAppliedStochasticProcess方杰2024年7月12日目錄第一章預備知識1第二章離散時間馬氏鏈5第三章可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈29第四章泊松過程35第五章連續(xù)時間馬氏鏈56第六章布朗運動71第一章 預備知識XP(Xkp(1p)k?1,k12求隨機變量X的期望和方差。解答：∞ ∞ ∞EX=、k·P(X=k)=、kp(1?p)k?1=p、k(1?p)k?1k=1k=1k=1對上式中的寸k=1k(1?p)k?1關于p求積分，可得：k=1k=1k=1∞p?、(1?p)k=1?1∞pk=1部分習題講解然后對上式關于p求微分，可得：部分習題講解∞、k(1p)k?1（1?1＼′=1∞因此：

k=1

p p2EX=p·1=1接下來計算二階矩如下：∞

p2 p∞EX2=、k2·P(X=k)=、k2p(1?p)k?1k=1∞

k=1∞p、k(k1)(1p)k?1p、k(1p)k?1k=1 k=1p寸k=1k(1?p)k?1=1/p對于前面EX2表達式的寸k=1k(k+1)(1?p)k?1關于p進行兩次積分，可得：、 (1、 (1?(1 p) =p

2 1=p+p?2k=1然后對上式關于p進行兩次微分，可得：∞、k(k+1)(1?p)k?1=lp+1?l′′=2∞因此：

k=1

p p3EX2=p·2?p·1=2?1從而：

p3

p2 pVar(X)=EX2?(EX)2=2

1 1=1?1=1?pp2?p?p2

p2 p p2■《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案PAGEPAGE2X的概率分布函數(shù)為：FX(x)=求：A和B

A+Bexpr?x21, x?02, x<02解答：根據(jù)概率分布函數(shù)的含義，我們可知：FX(0)=0, FX(∞)=1因此，我們可以得到如下方程組：A+B=0A+0=1X的概率密度函數(shù)為：

?A=1B=?1■■試求：系數(shù)A的取值.解答：由于

fX(x)=

Ax?x, x>00, x?0因此：

∞f(x)dx=1rX0rXrrX∞f(x)dx= ∞Axe?xdxrrXr0 0r=A ∞xe?xdx0e e =A(x+1)?x =A∞從而：A=1. ■x>0,y>0f(x,y)=求：A的值；P(X<1,Y<2)解答：由于

0 其他r∞r(nóng)∞f(x,y)dxdy=10 0因此：r∞r(nóng)∞f(x,y)dxdy=Ar∞e?ydyr∞e?xdx0 0 0 0e e e =A ?x ?y∞ ∞第一章預備知識第一章預備知識從而：A1.

P(X<1,Y<2)=

2 1rrdy f(x,y)dxrrrr0 0rr=yy2e?d=yy0 000 0

1e?dxx0xx=e?yI=e?yI·e?xI=(1?e?2)(1?e?1)■XλαGamma分布，即概率密度函數(shù)為：λαfX(x)=Γ(α)x

exp(?λx), x>0求隨機變量X的期望、方差和矩母函數(shù)。解答：rXXM(t)=E(etX)= ∞etxfrXX0dx0=exΓ(α)exp(?λx)dxr0=exΓ(α)exp(?λx)dx00r∞λαr= xr ?0 r ?

llll

exp[?(λ?t)x]dx∞(λ t)α= x0

exp[?(λ?t)x]

λαdxd(λ?t)α=lλlαr∞(λ?t)α=

xα?1exp[?(λ?t)x]dxλ?t 0 Γ(α)rr∞由于rr∞因此：

fX(x)dx=0

∞λαx0 Γ(α)

exp(?λx)=1相應地：

MX(t)=

λαl lλ?tl ldMX(t)EX= ddt

=λα·α(λ?t)?α?1I

α =ItI=0

t=0 λ==d2MX(t)IE2 I αI

?α?2I

α(α+1)==因此：

X=

=λt=0

α(α+1)(λ?t)

It=0 λ2Var(X)=EX2?(EX)2=1[α2+α?α2]=αλ2 λ2■Xλ的泊松分布，即：P[X=n]=e?λ

λnn!, n=0,1,...求隨機變量X的矩母函數(shù)和特征函數(shù)?！稇秒S機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案解答：根據(jù)矩母函數(shù)的定義，可得：、∞、MX(t)=E[etX]= etn·P(X=n)n=0∞n=0n!n、etn·e?λ∞n=0n!n=e?λ、=e?λ、(λe)n!n=0=e?λ·λet根據(jù)特征函數(shù)的定義，可得：

=expλ(et?1)l、∞、?X(t)=E[eitX]= eitn·P(X=n)n=0∞n=0n!n、eitn·e?λ∞n=0n!n=e=e?λ、(λe)n=0=?λ·eλeit

itnn!■■=expλ(eit?1)l■■第二章 離散時間馬氏鏈部分習題講解1.Y0Y1Y2011/2XnYnYn?1(n?1)(n1)n次1的個數(shù)。Xn是一個馬氏鏈嗎？部分習題講解解答：舉一個反例，若X1=Y1+Y0=2,X2=Y2+Y1=1，這意味著Y0=Y1=1,Y2=0，因此：P(X3=Y3+Y2=2|X2=1,X1=2)=0<P(X3=2|X2=1)=0.52.由此可見P(X3=2|X2=1,X1=2)?=P(X3=2|X2=1)說明Xn不是馬氏鏈。 ■2.考慮一個均勻的六面骰子，記Xn,n=1,2,...表示前n次投擲出的最大點數(shù)值。描述該問題的狀態(tài)空間，并給出相應的轉移概率矩陣。解答：由題意可知，此處的狀態(tài)空間S={1,2,3,4,5,6}，并且顯然：p(6,6)=P(Xn+1=6|Xn=6)=1同時，我們注意到，當j<i時：p(i,j)=P(Xn+1=j|Xn=i)=0由此可得，該問題的轉移概率矩陣如下：1/61/61/61/61/31/61/61/61/61/61/61/61/31/61/61/601/21/61/6002/31/60005/600000P= 00

1/61/61/61/611■Xnn左邊罐子中白球的個數(shù)。求Xn的轉移概率及對應的轉移概率矩陣。解答：假設左邊罐子中原有白球x個，黑球(5?x)個；相應地，右邊罐子中原有黑球x個，白球(5?x)個.(黑球)(黑球)x個；《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案PAGEPAGE22(x1)個；(x+1)個；1x4時，5525p(x,x)=（x·?x＼×2=2x(5?x)552555525=p(x,x?1)=x·x=1x255525=p(x,x+1)=

（5?x＼2

1?(5 x)2?25需要注意的是：若左邊罐子中原有白球五個，則下一時刻，其白球數(shù)量必為4個；類似地，若原有白球0個，則下一時刻白球數(shù)量必為1個.即：p(0,1)=1, p(5,4)=1因此，可得最終的轉移概率矩陣如下：10008/2516/25004/2512/259/25010008/2516/25004/2512/259/25009/2512/254/250016/258/25000011/25 0 0 00 0000

1/2500■123Ykk次投擲出的數(shù)字之和，Sn=Y1···Ynn次投擲出的數(shù)字之和，Xn=Sn(mod6)，其中mod表示取余數(shù)計算。求Xn的轉移概率及對應的轉移概率矩陣，并求出該馬氏鏈的平穩(wěn)分布。Yk2345678P1/162/163/164/163/162/161/16Xn+1012345Yk67Yk2345678P1/162/163/164/163/162/161/16Xn+1012345Yk672,8345P3/162/162/162/163/164/16 3/162/162/162/163/164/164/163/162/162/162/163/163/164/163/162/162/162/163/164/163/162/162/162/163/164/163/162/163/164/162/162/162/163/164/163/162/16

2/162/163/162/16第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈由于該馬氏鏈的每行和每列元素之和均為1，因此該馬氏鏈的平穩(wěn)分布為均勻分布，即：ll11116ll1111666666■將下雨的概率為0.6Wn表示第nraiyR表示天（sunnyS表示。盡管Wn不是一個馬氏鏈，但是最近兩日的天氣狀況Xn=(Wn?1,Wn)是一個馬氏鏈，并且其狀態(tài)空間是{RR,RS,SR,SS}。求該鏈的轉移概率矩陣。在給定周日和周一無雨的條件下，周三下雨的概率是多少？解答：(a)根據(jù)題目中的條件，可以構造出如下概率轉移矩陣：相應可得：

.6 00.40000.600.40000.60.400000.3 0.360.240 P2=0.360 0.360.240.240.160.180.120.210.49給定周日和周一無雨的條件下，周三下雨的概率是：p2(SS,RR)+p2(SS,SR)=0.18+0.21=0.39■6.N41i3時，p(i,i1)0.4p(i,i1)0.6，而端點為吸收態(tài)：p(00)1,p(44)1。計算p3(1,4),p3(1,0)。解答：首先根據(jù)題意構造轉移矩陣：0000000.4000.600.4000.60000010.6P=0 0 《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案由此可得：

0P3= 0P3= 01000000.1920.360.28800.1920.00.288000001

1616因此：p3(1,4)=0.064, p3(1,0)=0.744 ■ABC之間按照如下方式行車：如果他在機場，那么下3/41/4開往另一個賓館。假設時刻0司機在機場，分別求出時刻2司機在這三個可能地點的概率以及時刻3他在賓館B的概率。解答：概率轉移矩陣：P=3/4P=3/41/203/41/4

1/200001/41/4.75 0.125 0.125 0.18750.40620.40620.0.1875 0.375 0.60940.20310.1875P2=0.18750.4375 0.375, P3=0.60940.18750.20310.1875 00.1875 0.375 0.60940.20310.1875因此：p2(A,A)=0.75, p2(A,B)=0.125, p2(A,C)=0.125, p3(A,B)=13/32=0.4062■2.5中，我們給出了一年期信用評級的轉移概率矩陣（。試使用Matlab/Octave軟件，計算兩年期和三年期信用評級的轉移概率。解答：使用Matlab/Octave軟件，可得到對應的兩年期和三年期轉移概率矩陣如下： 0.827740.151160.018160.002170.000470.000060.000020. 0.015770.807320.159890.013160.001870.000900.000410 0.001340.047820.831160.103130.011270.002950.000920.000180.00142 0.000770.004110.080740.818170.071470.016350.003780 P2=0.000220.001130.011310.116020.696390.131670.018690.002360.022400.000180.000610.003300.012510.088500.685570.119880.010640.078820.0002000.000200.000740.002580.011900.127090.626120.000040.001120.000860.012970.052130.150520.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000001.00000.00000

0.043320.188040.266930.51527第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈 0.754070.205240.034850.004360.000850.000190.000070. 0.021470.729570.217390.024710.003520.001530.000660 0.002180.065110.764400.141090.018010.005180.001570.000260.00249 0.001120.007230.110450.747110.094110.025630.006210 P3=0.000340.001900.019020.152330.590130.165640.030310.003490.037110.000260.000930.005170.020990.111120.580210.146720.013710.120930.0003100.000310.001280.004500.019980.155750.506060.000110.001430.002130.016410.064160.152600.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000001.00000.00001

0.043660.268420.142180.62078■0.30.0.30.3000.500.5000.5000.500.5000.300.3(a)(a).50

0.1 0 0 0.40.5 0 0.10.20 0 0 0.9 0 0(b)0 0 0 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.50.5 0 0.2 0 0.8 00 0.6 0 0.4 0(c).10 0.6 0 0.4 00.3 0 0 0 0.7

0.8 0 0 0.2 0 0 (d) 0 0 0.30.40.30 0 0.2 0 0 0.800.7 0 0 0.3 0 0解答：(a){2,4}是常返態(tài)；{1,3,5}是非常返態(tài)；{2,4}組成不可約閉集從圖中可以看出：1→2，但是2?→1；5→2，但是2?→5；3→2，但是2?→3(b){1,4,5,6}是常返態(tài)；{2,3}是非常返態(tài)；{1,4,5,6}組成不可約閉集從圖中可以看出：3→6，但是6?→3；2→1，但是1?→22 352524134 5 6(c){1,2,4,5}是常返態(tài)；{3}是非常返態(tài)；{1,5}和{2,4}組成不可約閉集從圖中可以看出：3→1，但是1?→3(d){1,4,2,5}是常返態(tài)；{3,6}是非常返態(tài)；{1,4}和{2,5}組成不可約閉集從圖中可以看出：3→5，但是5?→3；3→4，但是4?→3《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案25125134614253■ 0.50.40. (a)0.20 0.10.30.6

0.50.40.1 (b)0. 0.20.20.6

0.60.4 0 (c)0. 0 0.20.8r 1(b)(=r 1接下來，計算(a)的平穩(wěn)分布，具體如下：0.5π1+0.2π2+0.1π3=π0.4π1+0.5π2+0.3π3=ππ1+π2+π3=1因此其平穩(wěn)分布為：π=r11/4719/4717/471

π1=11/47? π=19/4? π=19/42實際上是生滅鏈，可以使用細致平衡條件來求解：π(1)p(1,2)=π(2)p(2,1)寸π(2)p(2,3)=π(3)p(3,2)寸

?0.4π(1)=0.π(2)0.4π(2)=0.π(3)令π(1)=c，則：π(2)=2c,π(3)=4c，由 iπ(i)=1，可得：1c+2c+4c=1?c=7因此：π(1)=1, π(2)=2, π(3)=47 7因此平穩(wěn)分布為：

7llπ=1 2 ll7 7 7■S{015上的一個馬氏鏈，其轉移概率矩陣為：0 1 2 3 4 500.5 0.5 0 0 0 0210.3 0210.3 0.7 0 0 0 0 0 0 0.1 0 0.9 0330.250.25 0 0 0.250.25330.250.25 0 0 0.250.255 0 0.2 0 0.2 0.2 5 0 0.2 0 0.2 0.2 05 0 0.2 0 0.2 0.2 5 0 0.2 0 0.2 0.2 第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈互通類有哪些？常返態(tài)有哪些？非常返態(tài)又有哪些？解答：從轉移矩陣可以看出，0?1,2?4,3?5。因此：(a){0,1},{2,4},{3,5}是互通類。{0124}(相應矩陣元素全不為零)，{35}。對應的轉移概率圖如下：0013524■假設剛開通一個快速公交系統(tǒng)。在運行第一個月期間發(fā)現(xiàn)，25%的通勤者使用快速公交，而75%10%30%的開汽車的通勤者改為使用快速公交。P3；第四個月使用快速公交系統(tǒng)的通勤者所占的比例是多少？從長遠看，使用快速公交系統(tǒng)的通勤者所占的比例是多少？解答：AB，則相應的轉移概率和初始狀態(tài)分別為：因此：

0.90.1 P=0.3 P=

π0=r0.250.751.5880.410P3=.8040.19, πP3=r.5880.410因此，第四個月使用快速公交系統(tǒng)的比例是64.2%..91+0.π2=π1π1+π2=1

? π1=75%π2=25%因此，從長遠看，使用快速公交系統(tǒng)的比例是75%.■一個大學提供三種類型的健康計劃：A、BC。經(jīng)驗顯示，人們依照下面的轉移概率矩陣改《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案變健康計劃：

A B CA0.85.10.05B0.2 .7 0.1C 0.1 0.3 0.6在2020年，選擇這三種計劃的人所占的比例分別是30%、25%和45%。2021年選擇這三種計劃的人所占的比例分別是多少？從長遠看，選擇這三種計劃的人所占的比例分別是多少？ 解答： q0=

r0.30.250.451

0.850.10.05 , P= 0. 0.1 0.3 0.6r 1因此：q0P=0.350.340.r 1(a)2021年三種計劃的比例將是35%、34%和31%.(b).85π1+0.π2+0.π3=π1.π1+0.π+0.3π=2 3 π1+π2+π3=1

π1=9/17ππ2=11/34?π3=5/34?從長遠看，選擇這三種計劃的比例分別是52.94%，32.35%和14.71%.■201036%10年，6%的房主將成為租房者，而12%的租房者將成為房主。那么在2020年房主的比例是多少？2030年呢？解答：根據(jù)題目中的條件，可以構造出如下概率轉移矩陣：房主租房者P= 房主.94 .06 租房者 0.12 0.88r 1 r 1相應的初始比率為q=r0.360r 1 r 1qP=0.41520.5848, qP2=0.46050.5395因此，在2020年房主的比例是41.52%；2030年是46.05%。■RR、、WW而分別開紅色、粉色、白色花。如果這些基因類型分別與開粉色花這一品種的植物雜交，那么出現(xiàn)各基因類型的后代的比例是：RRRWRRRWWW0.50.500.250.50.2500.50.5第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈從長遠看，這三個品種的植物所占的比例各是多少？解答：0.π1+0.5π+0.5π0.π1+0.5π+0.5π=2 3 π1+π2+π3=1

π1=0.25ππ2=0.5?π3=0.25?從長遠看，這三種品種的植物的比例是25%、50%和25%.■75%25%的抽煙者將戒煙，8%92%201570%2018年有多少比例的人抽煙？2025年呢？從長遠看呢？ P=解答： P=因此：

0.750.25.080.9

q0=r0.70.310.16950.8300P3=0.47030.529, q3=r0.16950.8300010=0.25620.7438, qP10=r.25080.7492100.23800.7620因此，在2018年有38%的人抽煙，2025年有25.08%的人抽煙。0.7π1+0.082=π1π1+2=1

? π1=24.24%π2=75.76%因此，從長遠看，有24.24%的人抽煙. ■Xn7:30Xn是一個馬氏鏈，轉移概率矩陣是：1 2 3 411/21/2 0 0 2 2/3 0 1/3 02 2/3 0 1/3 0 3 3/4 0 0 1/44 1 0 0 0k1/(k41。從長遠看，小李刮胡子的天數(shù)所占的比例是多少？此鏈的平穩(wěn)分布滿足細致平衡條件嗎？《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案解答：

π1=π2231π2=π331π31π3=π4

π1=24/41π3=4/41? π2π3=4/41π0+π1+π2+π3=1 π4=1/4141因此，從長遠看，小李刮胡子的天數(shù)所占的比例是24(即：58.54%)41以π(1)p(1,3)和π(3)p(3,1)為例，明顯π(1)p(1,3)=0, π(3)p(3,1)>0兩者必然不相等。因此，此鏈的平穩(wěn)分布不滿足細致平衡條件。■求轉移概率矩陣2/3002/31/602/503/52/3002/31/602/503/5001/3 05/65/60000的平穩(wěn)分布，并證明它不滿足細致平衡條件。解答：計算平穩(wěn)分布，具體如下：351π2+2π4=π1353 3

π1=35/186?2π1+1π3=π2 π2=33/186?3 5352π2+3π4=π3

π3=58/186r 1π1+π2+3+π4=1 π4=r 1因此其平穩(wěn)分布為：π=35/18633/18658/18660/186細致平衡條件要滿足：π(x)p(x,y)=π(y)p(y,x).根據(jù)上面的計算結果，我們可知：33 2 22 58 1π(2)p(2,3)=186×3=186=0.118, π(3)p(3,2)=186×6=0.052顯然：π(2)p(2,3)?=π(3)p(3,2).因此它不滿足細致平衡條件.注意：該馬氏鏈是一個具有偶數(shù)個節(jié)點的圓環(huán)，因此周期為2，不滿足細致平衡條件。 ■考慮轉移概率矩陣?0 a 0 1?a?1 b 0 b 00 1?c 0 cd 0 1?d 00abcd(1a)(1b)(1c)(1第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈解答：根據(jù)細致平衡條件，我們可得：π(1)p(1,2)=π(2)p(2,1)?aπ(1)=(1?b)π(2)π(1)p(1,4)=π(4)p(4,1)?dπ(4)=(1?a)π(1)π(2)p(2,3)=π(3)p(3,2)?bπ(2)=(1?c)π(3)π(3)p(3,4)=π(4)p(4,3)?cπ(3)=(1?d)π(4)將上面各式相乘，可得：abcd·π(1)π(2)π(3)π(4)=(1?a)(1?b)(1?c)(1?d)·π(1)π(2)π(3)π(4)因此：abcd=(1?a)(1?b)(1?c)(1?d)>0滿足細致平衡條件. ■1/35張的話，小王會以概率1把報紙放到回收箱中，考慮晚上堆起來的報紙數(shù)。求相應的狀態(tài)空間和轉移概率矩陣。經(jīng)過很長一段時間,堆放起來的報紙數(shù)的期望值為多少？00的期望時間。解答：(a)狀態(tài)空間S={0,1,2,3,40002/30002/3001/3 0 πPπ，可得：

1/3 0 0 0 2/31 0 0 0 01π(0)+1π(1)+1π(2)+1π(3)+π(4)=π(0) 3 3 3 332π32π(1)=π(2)332π(2)=32π(3)=π(4)π(0)+π(1)+π(2)+π(3)+π(4)=1因此：(b)

π(0)=1.54/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(1)=1.53/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)? π(2)=1.52/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(3)=1.5/(1+1.5+1.52+1.53+1.54)π(4)=1/(1+1.5+1.2+1.53+1.54)、4 3 2、(c)

EN= i·π(i)=i=0

+1.5+2×1.5+3×1.5+4×1=1.24171+1.5+1.52+1.53+1.541E0[τ0]=π(0)=

1+1.5+1.52+1.53+1.541.54 =2.605■《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案每盞燈燒壞的概率都是0.05。從長遠看，車庫僅有一盞燈工作的時間所占的比例是多少？兩次替換之間的時間間隔的期望值是多少？解答：記一盞燈正常照明、兩盞燈正常照明和兩盞燈都燒壞三個狀態(tài)分別為狀態(tài)1、狀態(tài)2和狀態(tài)0，相應的轉移概率為：1 2 0.95 0 .πPπ可得：

20.020.98 00 0 1 00.9π(1)+0.02π(2)=π(1)00.98π(2)+π(0)=π(2)π(1)+π(2)+π(0)=1

π(1)=20/71ππ(2)=50/71?π(0)=1/71?因此，從長遠看，車庫僅有一盞燈工作的時間所占的比例是28.17%（即20/71。兩次替換之間的時間間隔，可看作是從狀態(tài)0首次返回的步數(shù)期望值，即E0[τ0]，因此：E[τ]= 1 =7100 π(0)■（新23或（損壞1 2 3 40.950.05 0 00 0.9 .1 03 0 0 0.8750.1253天時間修復。為了將此情況包含在馬氏鏈中，我們增加狀態(tài)5和6，并假設p(4,5)=1,p(5,6)=1,p(6,1)=1。求解機器處在工作狀態(tài)的時間所占的比例。31天時間修復機器，使之回到狀態(tài)1，這使得轉移概率矩陣變?yōu)? 2 310.95 0.05 020 0.9 0.13 1 0 3 1 0 03 1 0 3 1 0 0求在此新規(guī)則下機器處在工作狀態(tài)的時間所占的比例。第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈(a)轉移概率如下：

.95 0πPπ可得：

00.0.050000.90.10000.8750.125000010000000000011

000010.95π1+π6=π10.05π1+0.9π2=0.1π2+0.875π3=π3π4=π5π5=π6π1+π2+π3+π4+π5+π6=機器處在工作狀態(tài)的時間比例是：

π1=20/41π2π3=8/41?π4=1/41π5=1/41π6=1/41(b)轉移概率如下：

20 10 8+ + =41 41 41

38=92.68%41πPπ可得：

0 0.9 0.10.950.05 00.95π1+π3=π10.05π1+0.9π2=π2π1+π2+機器處在工作狀態(tài)的時間比例是：

π1=20/31ππ2=10/31?π3=1/31?20 + 31

30=96.77%31■14322432從長遠看，取得紅球、白球和藍球的概率分別是多少？《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案 πPπ可得：

1/5 0 4/5 3/94/92/9π(1)+π(2)+π(3)=3π(2)+4π(3)=π(2)

π(1)=25/89? π(2)=7 9 4π(1)+2π(2)+2π(3)=π(3) π(3)=36/895 7 9■NN0.20.0.20.60.10.4.2

0.10.0.5每個分級中的雇員所占的百分比分別是多少？解答：由πP=π可得：π(1)+π(2)+π0.7π(1)+0.2π(2)+0.1π(3)=π(1)0.2π(1)+0.π(2)+0.π(3)=π(2)

π(1)=6/17ππ(2)=7/17?π(3)=4/17?■■■■A0.6A地段，0.4BB0.3A0.7BAB12。求這個出租車司機每次的平均獲利。解答：考慮兩階段馬氏鏈，出租車司機在相鄰的兩個時刻所在的位置組成的狀態(tài)空間為：于是可得如下轉移概率矩陣：

S={AA,AB,BB,BA}AAABBBBA0.40AAABBBBA0.4000.700.70.60.400

0AB BB0BABA

0.3.3BABA第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈由πP=π可得：π(AA)=

9, π(AB)=35

6, π(BA)=35

6 14, π(BB)=35 35因此：司機每次的平均獲利如下3535353576π(AA)+8π(BB)+12[π(AB)+π(BA)]=6×9+8×14+12×（6+6＼=62353535357 P=注意：本題還有另一種方法，但不推薦（使用的是一階段馬氏鏈）{ P=0.60.40.30.由πP=π可得：于是：司機每次的平均獲利如下

π(A)=

3 4, π(B)=7 777×0.6×6+4×0.7×8+（177

3?7×

?7×

0.7＼×1210.8= 7

22.4+7

28.8 62=7 7■11結的部件進入步驟2；步驟2結束之后，5%的部件必須返回至步驟1，10%的部件返回步驟2，5%的部件報廢，80%的部件制造成功，從而可銷售獲得利潤。3為部件報廢，4為部件可被銷售獲得利潤。計算一個部件在制造過程中報廢的概率。0.20.20.70.100.050.10.050.800100001相應地：

A=A=.2 0.7, b=.1因此：

0.050.1

.05 h=(I?A)?1b=0 118.25%26.57%；在制造過程中報廢的總概率是1?(1?18.25%)(1?6.57%)=23.62%《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案■一家銀行將貸款分類為全部付清（F、信譽良好（G、拖欠（A）或者呆賬（）四種。貸款按照如下轉移概率矩陣在不同的類別之間轉換：GBFGAB10000.80GBFGAB10000.80.100.40.40001問：處于信譽良好狀態(tài)的貸款最終全部付清的比例是多少？那些處于拖欠狀態(tài)的貸款呢？A解答：將轉移概率矩陣按照信譽良好(G)、拖欠(A)、全部付清(F)和呆賬(B)四個狀態(tài)進行重新排列如下：A相應地：

GF

G A F B0.80.80.10.100.40.40.10.10010B0001A=.80.1, b=.因此：

.40.4 . h=(I?)?1b= 所以，處于信譽良好級別的貸款最終全部付清的比例是87.5%；處于拖欠的貸款最終全部付清的比例是75%.■4（無論我們在什么時間觀察）下一個事件是“生2/31/3。如果倉庫中當前僅有一件商品，那么在倉庫變空之前先裝滿的概率是多少？解答：這里的狀態(tài)空間{0,1,2,3,4}當中，{0,4}是吸收態(tài)，{1,2,3}是非常返，本題的意思是：求出狀態(tài)1被狀態(tài)4吸收的概率。相應的馬氏鏈如下：0 1 2 3 401 0 0 0 0211/3 0 2/3 0 020 1/3 0 2/3 04 0 0 0 0 14 0 0 0 0 10 0 1/3 0 2/34 0 0 0 0 14 0 0 0 0 1第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈對馬氏鏈進行重新整理，相應的狀態(tài)排列為：{1,2,3,4,0}123402/30002/30123402/30002/301/302/30010000121/3 0 3 4000

0000相應地：

0 2/3 0 00 1/3 00 1/3 02/3A=1/3 0 2/3, b=0 1/3 0 1/3 0

00 1/3 0 0 1/3 02/3因此：

h=(I?A)? 14/15如果倉庫中當前僅有一件商品，那么在倉庫變空之前先裝滿的概率是8/15■DickHelenJoniMarkSam6DickHelenMarkSamHelenDickJoniSamSamDickHelenMark、JoniMark求轉移概率，并對該鏈的狀態(tài)分類。DickMark拿到球結束的概率是多少？D(Dick),H(Helen),S(Sam),J(Joni),M(Mark)，得到如下轉移概率：HJDHJTMM

D H S J T M00.00.250.2500.250.250.2500.250.250.2500.250.25000.250.2500001000000100000001MM A=0.25 0 0.25, b=0.250.25 0

0 0.250.25

.2500《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案因此：

.4h=(I?)?1b=.2因此，游戲開始時球在Dick手中，游戲以Mark拿到球結束的概率是40%. ■PM70%的程序20%10%（狀態(tài)95%的項目經(jīng)理保持職位不變，5%被解雇。平均看來，一名程序設計員在他被解雇之前會工作多長時間？解答：根據(jù)題意：狀態(tài)X是吸收態(tài)，狀態(tài)P和M是非常返態(tài)，相應的轉移概率為：相應地：

PMXX PMX0.70 PMX0.70.20.100.950.050010

因此：

g=(I?)?1=16.6720因此，平均看來，一名程序設計員在他被解雇之前會工作16.67年。 ■現(xiàn)進行一次評估，過去的記錄表明員工級別根據(jù)如下馬氏鏈轉移到中級（I）和合格F代表員工被解雇：B I Q FB0.45 0.4 0 0.15I 0 0.6 0.3 0.1 010001Q010001F 0最終得到提升的員工所占的比例是多少？從一個初學者直到被解雇或者變?yōu)楹细袼枰钠谕麜r間是多少？解答：根據(jù)題意，狀態(tài)Q和F均是吸收態(tài)，因此：A=A=.450., b=0所以

.h=(I?A)?1b=0.5450.75第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈因此，最終得到提升的員工比例是54.55%.g=(I?A)?1=.6362.5從一個初學者直到被解雇或者變?yōu)楹细袼枰钠谕麜r間是1.82年（注意：此處題意當中，每步的長度為六個月。因此期望時間應該為3.6364/2=1.82年） ■TSQ為辭職的員工，我們用一個馬氏鏈來描述他們在這些級別上的變化，其轉移概率矩陣是： R 0.2 0.6 0 0.2T 0 0.55 0.15 0.3S0 0 1 0Q 0 0 0 1實習生最終變?yōu)楣芾碚叩谋壤嵌嗌?？從實習生到最終辭職或者升為管理者所需要的期望時間是多少？解答：根據(jù)題意，狀態(tài)S和Q均是吸收態(tài)，因此：A=.2 0.6, b=00 所以

.15h=(I?A)?1b=

0.2525%.

0.333 g=(I?A)?1= 從實習生到最終辭職或者升為管理者所要的期望時間是2.9167年. ■V30301515這三種狀態(tài)V 30 15 P F0.3500.050.540.250.050.3500.050.540.250.0500.750.0400100030 150.20

0.010.01F 01F 01P0 0F 01F 01對于三種貸款類型，求出到貸款付清或者取消抵押品贖回權時所需的期望時間。貸款付清的概率是多少？《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案解答：根據(jù)題意，狀態(tài)P和F均是吸收態(tài)，因此：A=.150.540A=.150.540.25, b=.05

.05所以(a)

0.20 0

0.0413.7278 g=(I?A)?1= 14.9822三種貸款類型，到付清或者取消抵押品贖回權時所需的期望時間分別為：可變利率貸款13.73 年；30年固定貸款14.79年；15年固定貸款14.98年 0.6450 h=(I?A)?1b 0.6760■n[03]內(nèi)均勻分布的隨機14的水平；若當天庫存1，則不會補充庫存。寫出此問題中庫存數(shù)量的狀態(tài)空間。根據(jù)庫存數(shù)量，給出對應的轉移概率矩陣。求出庫存數(shù)量的平穩(wěn)分布。計算每天營業(yè)結束時，需補充庫存數(shù)量的期望值。解答：(a)根據(jù)問題所給出的信息，可得到庫存數(shù)量的狀態(tài)空間S={0,1,2,3,4}[03]內(nèi)均勻分布的隨機變量，于是可得如下表格：需求量0123概率1/41/41/41/4由此可得，該問題的轉移概率矩陣如下：012341/41/41/41 01/41/41/4012341/41/41/41 01/41/41/41/4P3 1/4 1/4 1/4 1/4 04 0 1/4 1/4 1/4 1/4lπPπ進行計算，可得：lπ=1 164 4

3 9l4 16 64lπ(0)π(1)，因此需補充庫存數(shù)量的期望值為：× ×EN=π(0) 4+π(1) 3=× ×16第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈■ {012 0.5 0 0.5 0 P= 0.50.5 0 00 0 0 1求從狀態(tài)0到達狀態(tài)3的期望步數(shù)。 解答：根據(jù)馬氏鏈的轉移概率矩陣，可知：狀態(tài)3 0.5 0 0. A= 0.50.5 0因此：

8241

301462412126241212g=1=(I?)?1=422=62412126241212因此，從狀態(tài)0到達狀態(tài)3的期望步數(shù)為14。 ■考慮下圖中的簡單隨機游動A BCCD EA的時間所占的比例為多少？AA的期望步數(shù)為多少？CAB的期望次數(shù)為多少？BAC的概率為多少？CA所需的期望步數(shù)為多少？解答：由題意，可給出相應的轉移矩陣：A

A B C D E0 1/31/31/3 0B1/3 0 1/3 0 1/3P=C1/21/2 0 0 0 D1/2 0 0 0 1/2E 0 1/2 0 1/2 0由于本題當中，相鄰兩個節(jié)點是互通的，因此可以使用細致平衡條件進行平穩(wěn)分布的求解，具《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案體如下：

π(B)1=π(A)1

π(A)=1/43 3 π(C)1=π(A)1

π(B)=1/4π(D)1=π(A)1?π(D)1=π(A)1?π(C)=1/62 3 π(D)1=π(E)1

π(D)=1/62 2π(A)+π(B)+π(C)+π(D)+π(E)=1Aπ(A14AA的期望步數(shù)為

π(E)=1/6A作為吸收態(tài)，可得：

BCDEBCDE01/301/2000001/201/20

1)=

=41/31/21/2DDEEEE由此可得：

M=(I?M=(I?)?1=19 14 2 4 12 4 1020E因此，質點從點C開始游動，那么質點到達A之前訪問B的期望次數(shù)為：M(C,B)=911BAC的概率為：6/11 1=(18+6+4+8)/11 6CA所需的期望步數(shù)為1 29(9+14+2+4)=11 11■{12345的馬氏鏈，其轉移概率矩陣如下：0.50.0.50.500000.2000.400000.50000P=0 01 第二章離散時間馬氏鏈第二章離散時間馬氏鏈該馬氏鏈是否不可約？是否非周期？求平穩(wěn)概率分布。11所需要的期望步數(shù)。14所需要的期望步數(shù)。135的概率。解答：(a)由題意，可以得到此問題對應的轉移概率圖，結果如下：441253從圖中不難看出，這五個狀態(tài)是互通的。因此它們具有相同的周期，且屬于一個互通類，因而馬氏鏈不存在比狀態(tài)空間更小的閉集，故該馬氏鏈不可約。以狀態(tài)1為例，其周期是3，但是狀態(tài)5可以經(jīng)3步或1步返回，因此這五個狀態(tài)的周期均是1，故馬氏鏈非周期。πPπ，可得：π(4)+0.π(5)=π(1)0.5π(1)=π(2)00.5π(1)=π(2)0.2π(2)+0.4π(3)=π(4)π(1)+π(2)+π(3)+π(4)+π(5)=1

π(1)=10/37π(2)=5/37? ππ(2)=5/37π(4)=3/37π(5)=14/3711所需要的期望步數(shù)為E[T]=

37= =3.7114作為吸收態(tài)，可得：

π(1) 101 2 3 510 0.50.5 0

1 23 51055141A M I A 1 = , =(A M I A 1 = , =(? )?= 50.5 0 0 0.514所需要的期望步數(shù)是：

3 6 36123 M(1,1)+M(1,2)+M(1,3)+M(1,5)=1(10+5+5+14)=343 3《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案3作為吸收態(tài)，可得：1 2 4 510 0.5 0 0

12 4 521.2.1A M I A 1 2 0 0 0.20.8 220.43A M I A 1 4 1 0 0 050.5 0 0 4 1 0 0 050.5 0 0 211.21.64210.23.65從狀態(tài)1開始，該馬氏鏈在到達狀態(tài)3之前，到達狀態(tài)5的概率為：1.6 1=2+1+0.2+1.6 3■第三章 可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈部分習題講解1（ 1 ＼{01部分習題講解1（ 1 ＼ 2m+2p(m,m+1)= 1? , m2m+22m+2p(m,m?1)=1（1+1 ＼, m2m+2?并且p(0,0)=1 p(0,1)=。求平穩(wěn)分布π。?4解答：根據(jù)細致平衡條件，有：p(m,m+1)π(m)=p(m+1,m)π(m+1), m?0因此：

（1?1 ＼π(m)=1（1+1 ＼π(m+1)2m+22m+3π(m+1)=（m+1·m+32m+22m+3由此式進行遞推，可得：

π(n)=

m+23(n+1)(n+3)

m+4π(0)i=02n+1n+3令c=π(0)，則π(n)=3cr1?11由于寸∞π(i)i=02n+1n+3∞∞2i=0i+1i+3n→∞22n+2∞∞2i=0i+1i+3n→∞22n+2n+34ii=0

（1?1＼=lim

3cl1+1?1?1l=9c從而：c4/9π(0)因此：

π(n)=2（1?1＼3 n+1 n+3■m{12}的馬氏鏈，其轉移概率是m11p(m,m+1)=2m+2, m?1p(m,m?1)=2, m?2p(m,m)=2m+2, m?211?并且p(1,1)=1 p(1,2)=。證明它不存在平穩(wěn)分布。?4《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案PAGEPAGE31解答：根據(jù)細致平衡條件，有：p(m,m+1)π(m)=p(m+1,m)π(m+1), m?1因此：

m π(m)=1π(m+1) ? π(m+1)=（m＼π(m)2m+2由此式進行遞推，可得：令c=π(1)，則：

2π(m)=∞ ∞

1π(1)m∞

m+1nn、π(n)=、1c=c、1nnn=1 n=1n=1n=1n=1n=1 n=1n=1n=1n=1寸 寸 =∞ π(n)= π(n寸 寸 =∞ π(n)= π(n)=n=1 n=1 n=1n不存在平穩(wěn)分布。 ■S{01.的馬氏鏈，其轉移概率為：p(x,x+1)=

2 1, p(x,0)=3 3寸證明該馬氏鏈為正常返鏈，并給出極限概率π。寸解答：根據(jù)π(x)= y∈Sπ(y)p(y,x)，當x>1時，可得：2π(x)=p(x?1,x)π(x?1)=3π(x?1)假設π(0)=c，則有：又因為：寸xπ(x)=1，因此：

π(x)=c

（2＼x33

, x?0因此：

c∞x=0∞

（2＼x33

1=1 ? c=3π(x)=3, x?01π(x)=3, x?03333該馬氏鏈為正常返鏈。 ■α。(a)p0=0.25, p1=0.4, p2=0.35；(b)p0=0.5, p1=0.1, p3=0.4；(c)p0

1= , p16

1= , p22

1=0, p3= ；3(d)p0=0.91, p1=0.05, p2=0.01, p3=0.01, p6=0.01, p13=0.01；(e)pi=(1q)qi, 0<q1。解答：由于消亡概率α和一個個體的平均后代數(shù)量μ分別滿足：∞ ∞k=0k=0k=0k=0α=、pkαk, μ=k=0k=0k=0k=0第三章可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈第三章可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈因此：(a)μ=1×0.4+2×0.35=1.1>1，接下來需要對消亡概率α加以計算α=0.25+0.4α+0.35α2最終：α1=1,α2=5/7<1，因此消亡概率為α=5/7(b)μ=1×0.1+3×0.4=1.3>1，接下來需要對消亡概率α加以計算：α=0.5+0.1α+0.4α3由于α=1是平凡解，上式可根據(jù)(α?1)進行因式分解，從而可得：(α?1)(4α2+4α?5)=0因此：

= 6?2可見：最小正解為α=(√6?1)/2，消亡概率為(√6?1)/2。(c)μ=0×

1 11× 3× 1.51α加以計算：6 2 3

1α= +6

1 13α+α32 3上式可根據(jù)(α?1)進行因式分解，從而可得：(α?1)(2α2+2α?1)=0因此：

= 3?2可見：最小正解為α=(√3?1)/2，消亡概率為(√3?1)/2。(d)μ10.0520.0130.0160.01130.010.29<α1∞μ=寸i=0ipi=寸i=0i(1?q)qi對于上式，我們進行如下求解：∞、μ=(1?q)q· iqi?1、「i「d=(1?q)q·dq

∞i=11

qilq=(1?q)q·(1?q)2=1?qq1/2時，μ1α1q>1/2時，μ>1，此時還需要進一步討論、 i、 iα= piαi=0∞ ∞=、(1?q)qiαi=、(1?q)(qα)ii=0=1?q1?qα

i=0《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案因此：

qα2?α+(1?q)=0最終：α1=1,α2=(1?q)/q<1，因此消亡概率為α=(1?q)/q綜合可得：0<q1/2α1；1/2<q<1α(1q)/q?！隹紤]在例3.5中的問題。這里假定每個家庭擁有孩子的個數(shù)服從幾何分布，即當k?0時，pkp(1p)kpk是第一次成功之前失敗的次數(shù)。0的概率。解答：首先，此種幾何分布的期望值為：、∞、μ= k=0

∞、 ?=p k(1 、 ?pk=0顯然：(1)當p?1/2時，μ?1，此時以概率1吸收于狀態(tài)0；∞∞∞、 · ? ··(2)當p<1/2時，根據(jù)公式α=寸kαkpk，∞∞∞、 · ? ··α、αk·pk

= αkp(1 p)k= [α(1 p)]kp= 1 p1?α(1?p)因此：

k=0

k=0

k=0(1?p)α2?α+p=0 ? [(1?p)α?p](α?1)=0故：p0p/(1p).

α= <11?p■小王作為某計算機軟件展會上的工作人員，負責服務有意向購買軟件并填寫申購單的客戶。pii位客戶正在排隊準備填寫申購單的概率。p00.2，p10.2，p20.6，并且只有當所有的填單客戶（包括排隊客戶）全部離開，小王才可以坐下休息。問：小王可以坐下休息的概率是多少？解答：此問題可看作一個分支過程，其中小王可以坐下休息的概率可看作消亡概率α。首先計算平均后代數(shù)量μμ=0·p0+1·p1+2·p2=0.2+2×0.6=1.4>1接下來需要根據(jù)概率母函數(shù)計算消亡概率，具體如下：、、k 2α=G(α)= α·pk=0.2+0.2α+0.6αk=0經(jīng)過整理可得：

3α2?4α+1=0 ? α1=1,α2=1/3<1因此小王可以坐下休息的概率是1/3。 ■第三章可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈第三章可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈Xn{012.(a)p(x,0)= 1x+2

x+1, p(x,x+1)= ；x+2(b)p(x,0)=x+1, p(x,x+1)= 1 ；x+2x+2(c)p(x,x?1)x+2

x+2+1 1x+2, p(x,x+1)x+2(d)p(x,0)= 2x+3

x+1, p(x,x1) 。x+3解答：(a)根據(jù)π(x)=寸y∈Sπ(y)p(y,x)，當x?1時，我們可得：x+1π(x)=、π(y)p(y,x)=π(x?1)p(x?1,x)=xπ(x+1于是：

y∈Sπ(x)=x·x?1···1π(0)=1π(0)寸由于 xπ(x)=1，但是：寸∞

x+1 x 2∞

x+1∞x=0x=0x+1x=1x、π(x)=π(0)、1=πx=0x=0x+1x=1x兩者之間產(chǎn)生了矛盾，因此馬氏鏈是零常返。π(x寸y∈Sπ(y)p(yx)x1時，我們可得：x+1π(x)=、π(y)p(y,x)=π(x?1)p(x?1,x)=1π(x+1于是：

y∈S

1 1 1 1π(x)=x+1·x···2π(0)=(x+1)!π(0)由于寸xπ(x)=1，并且：、π、π(x)=π(0)、 1 =π(0)、1=π(0)(e?1)因此：最終可得：

x=0

x=0

(x+1)!π(0)=

1e?11

x!x=1根據(jù)細致平衡條件可得：

π(x)=x+2

(e?1)(x+1)!1因此：

x+3

π(x+1)=

x+2

π(x)由此可得：

x+3π(x+1)=(x+2)2π(x), x=0,1,2,...2(x+1)!2x!(x+1)!π(x)=x+2π(0)=1l1+ 1 lπ(0), x=0,2(x+1)!2x!(x+1)!《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案∞令π(0)=c，可得：∞∞、π(x∞xx=0

1l1+ 1 lc=1c「∞

1

1 l=1c[e+e?1]∞1x=02x!(x+1)!2x=0x!x=0(x+1)!2由于寸∞1x=02x!(x+1)!2x=0x!x=0(x+1)!2最終可得：

x+2

c=e?0.51

x+2π(x)=2(x+1)!·e?0.5=(2e?1)(x+1)!因此存在平穩(wěn)分布，該可數(shù)狀態(tài)馬氏鏈正常返。、 ? ?根據(jù)π(x)=寸y∈Sπ(y)p(y,x)，當x?1時，我們可得：、 ? ?π(x)= π(y)p(y,x)=π(x 1)p(x 1,x)= xx+2

π(x?1)于是：

y∈Sπ(x)=x·x?1

1 2 x+2x+1···4·3π(0)=(x+2)(x+1)π(0)由于寸xπ(x)=1，并且：∞∞∞、π(x)=2π(0)、 1 =2π(0)∞∞∞

l1?1l=2π(0)因此：

x=0

x=0

(x+2)(x+1)1π(0)=2

x=0

x+1

x+2最終可得：1 1 1π(x)=(x+2)(x+1)=x+1?x+2■第四章 泊松過程部分習題講解2的指數(shù)分布的隨機變量來描述，請問：部分習題講解2小時以上的概率是多少？35小時的概率是多少？解答：設T為機器的維修時間，則：P(T>2)=exp(?λt)=exp（

1?2×

2＼=e?1=0.3679P(T>5|T>3)=P(T>2)=0.3679維修機器花費的時間是2小時以上的概率是36.79%；在已知維修機器要花費3小時以上的條件下，花費的時間超過5小時的概率也是36.79%. ■573年的概率是多少？解答：設T為收音機的壽命，則：P(T>7+3|T>7)=P(T>3)=exp（?1×3＼=0.54885收音機還能繼續(xù)工作3年的概率是54.88% ■2解答：根據(jù)題意：λ1=λ2=λ3=2，Ti是第i個人釣到一條魚所需的時間，則：Emax{T1,T2,T3}=ET1+ET2+ET3?E[min(T1,T2)]?E[min(T1,T3)]?E[min(T2,T3)]+E[min(T1,T2,T3)]1 1= +λ1 λ2

131+λ?λ31

1+λ2

1+λ3

1+λ3

1+λ1+λ2

+λ31 1 1 1 1 1 1 11=2+2+2?4?4?4+6=12直到每個人都至少釣到一條魚需要等待11/12小時.每個人至少釣到一條魚，意味著首先三人中有一人釣到一條魚；接下來兩人中有一人釣到一條魚；最后一人釣到一條魚。E[min(T1T2T3)]，因此：E[min(T,T,T)]= 1 =11 2

λ1+λ2+λ3 6《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案PAGEPAGE36E[min(TiTj)],i?j123}，因此：E[min(T,T)]= 1 =1i j λi+λj 4E[Ti],i123}，因此：E[T]=1三個期望時間相加，可得：

i 21 1 1 11+ + =6 4 2 12■AB同時進入一家美容院，AB要理發(fā)。假定修指甲（理發(fā)）的時間服從均20（30）分鐘的指數(shù)分布，請問：A先修完指甲的概率是多少？AB都完成要花費的時間的期望是多少？解答：SA修指甲的時間，TB理發(fā)的時間，則：1 1因此：(a)

S～E(1/20), T～E(1/30), λ1=20, λ2=30P(S<T)=λ1 = 1/20

=60%A60%.(b)

λ1+λ2

1/20+1/30E(max(S,T))=1+1? 1 =20+30?12=38λ1 λ2 λ1+λ2直到A和B都完成要花費時間的期望是38分鐘.另解：兩人中最先完成服務對應的比率為1 1 1+ =30 20 1212分鐘。另外：A60%，意味B30分鐘；B40%A完成20分鐘，于是兩人完成服務的總期望時間為：12+(60%×30+40%×20)=12+(18+8)=38■考慮一家有兩名柜員的銀行。A、BC三個人按順序幾乎同一時間進入銀行，AB直接C4分鐘的指數(shù)分布，C完成他的業(yè)務所需總時間的期望是多少？直到三個顧客都離開所需總時間的期望是多少？C最后一個離開的概率是多少？第四章泊松過程第四章泊松過程解答：假設A,B和C三人完成任務所需時間分別為T1,T2,T3，且λ1=λ2=λ3=1/4，因此：E[min(T,T)]+E(T)= 1

1+ =2+4=61 2

λ1+λ2 λ3C6分鐘。首先，ABE[min(T1T2)]iC辦E[min(T3Ti)]jE[Tj]E[min(T,T)]+E[min(T,T)]+E(T)= 1

1 1+ + =2+2+4=81 2 3 i

j λ1+λ2

λ3+λi λjC要等別人業(yè)務完成才能開始辦理業(yè)務，因此其與另一位顧客同時離開的概率是相同(因為服務時間的均值相同)50%，即：?λ3 ?1λi+λ3

1? ?=1 4 =? ?1+1

1=50%24 4■1年、1.53年的指數(shù)分布，那么潛水艇可以在海上平均待多長時間？解答：三個設備損壞的速率分別為：1 1 2 1λ1=1=1, λ2=1.5=3, λ3=3記三個設備的壽命分別為：T1，T2和T3，記ET是潛水艇在海上時間的期望值，則：ET=E[min(T1,T2,T3)]+P(部件1損壞)E[min(T2,T3)]+P(部件2損壞)E[min(T1,T3)]+P(部件3損壞)E[min(T1,T2)] 1 λ1 1 λ2 1 = + · + ·λ1+λ2+λ3 λ1+λ2+λ3 λ2+λ3 λ1+λ2+λ3 λ1+λ3 λ3 1 + ·λ1+λ2+λ3 λ1+λ2λ1+λ2+λ3λ2+λ3λ1+λ3λ1+λ2=λ1+λ2+λ3λ2+λ3λ1+λ3λ1+λ2225=l1+1+1+1l=1.35225潛水艇可以在海上平均待1.35年。 ■一位教授開始辦公時，Ron、Sue到達其辦公室，他們在辦公室的時間服從均值分別為1、1/2、1/3小時的指數(shù)分布。1名學生留在辦公室所需時間的期望是多少？對每一位學生，其是最后一位離開的概率是多少？到三位學生都離開辦公室所需時間的期望是多少？解答：首先，三位學生在辦公室的速率分別為1、2、3。最開始三人均在辦公室，因此相應的期望時間為：E[min(T,T,T)]= 1 = 1 =11 2

λ1+λ2+λ3

1+2+3 6《應用隨機過程》參考答案《應用隨機過程》參考答案接下來，看三位學生當中誰先離開，相應的概率分別為：P(1)= 1

1 2= , P(2)=

2 3 3= , P(3)= =1+2+3 6

1+2+3 6

1+2+3 6與之相對應，下一位學生離開的期望時間為：E(1)= 1

1 1= , E(2)=

1 1 1= , E(3)= =因此：

2+3 5

1+3 4

1+2 31236E[min(T,T,T)]+P(1)E(1)+P(2)E(2)+P(3)E(3)=1236

1 1 2 6564+ × + ×6564

3 1 276360+ × =6360僅有1名學生留在辦公室時需要時間的期望是27分鐘。組合 概率 離開者組合 概率 離開者組合 概率 離開者組合 概率 離開者TSR 3×2=1 R6 1+2 3TRS 3×1=1 S6 1+2 62×1=1 T6 1+3 12STR 2×3=1 R6 1+3 41×3=1 S6 3+2 10RST 1×2=1 T6 2+3 15對應的概率分別如下：P(R)=1+1=7, P(S)=1+1

4 1 1 3= , P(T)= + =3 4

6 10 15

12 15 20解法一：(b)中得到的概率分布，可得：7 1 4 1 3 461×12+2×15+3×20=60-，一 -，一 -，一需要注意的是，這里得到的僅是最后一人離開需要時間的期望，還需把前面算出的“直到僅有名學生留在辦公室時需要時間的期望”加上去，因此：ET=46+27=7360 60 60三位學生都離開辦公室，需要時間的期望是73分鐘。解法二：使用max和min的恒等關系式求解E[max(T1,T2,T3)]=