第30練空間幾何體的結構表面積與體積-高三數(shù)學一輪復習五層訓練（新高考地區(qū)）

第30練空間幾何體的結構、表面積與體積一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P105習題8.1T6變式）以下結論中錯誤的是（

）A．經過不共面的四點的球有且僅有一個 B．平行六面體的每個面都是平行四邊形C．正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直 D．棱臺的每條側棱均與上下底面不垂直【答案】D【解析】對于A，經過不共面的四點的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個，故A正確，對于B，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故B正確，對于C，正棱柱的每條側棱均與上下底面垂直，故C正確，對于D，棱臺的每條側棱延長線交于一點，側棱中有可能與底面垂直，故D錯誤，故選D2.（人A選擇性必修二P111習題8.2T5變式）如圖，梯形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得,所以.故選B．3.（人A選擇性必修二P119習題8.3T4變式）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，所以四棱錐的高為，若圓柱的一個底面的周圓經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為1，故圓柱的體積為．故選A．4.（人A選擇性必修二P119習題8.3T5變式）長?寬?高分別為1，2，3的長方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【解析】設球的半徑為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.二、考點分類練(一)空間幾何體的結構5.如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A．△ABC是鈍角三角形 B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【解析】將其還原成原圖，如圖，設，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選C.6.（2022屆河北省邯鄲市高考二模）如圖是一個正方體的平面展開圖，將其復原為正方體后，互相重合的點是（

）A．A與B B．D與E C．B與D D．C與F【答案】ABD【詳解】將平面展開圖，還原正方體如下圖所示：所以互相重合的點是A與B，D與E,C與F，故選ABD7.下列說法正確的是（

）A．如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側棱都相等B．五棱錐只有五條棱C．一個棱柱至少有五個面D．棱臺的各側棱延長后交于一點【答案】CD【解析】根據棱錐、棱柱、棱臺的定義和結構特征即可判斷.【詳解】四棱錐的底面是正方形，它的側棱可以相等，也可以不相等，A錯誤；五棱錐除了五條側棱外，底面上還有五條棱，故共條棱，B錯誤；一個棱柱最少有三個側面，兩個底面，故至少有五個面，C正確；棱臺是由平行于棱錐底面的截面截得，故棱臺的各側棱延長后交于一點，D正確.故選CD.(二)空間幾何體的表面積8．（2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考）已知圓錐的底面半徑為，當圓錐的側面積為時，該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設圓錐的母線長為，由題意可得圓錐的側面積，解得，所以母線與底面所成角的余弦值，由同角三角函數(shù)關系可得，，因此母線與底面所成角的正切值.故選A9.（2022屆上海市松江一中高三下學期3月階段測試）體積相等的正方體、球、等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）全面積分別為、、，那么它們的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設球的半徑為,正方體的棱長為,圓柱的底面半徑是,所以球的體積為:,正方體的體積為:,圓柱的體積為:;故,所以，，,;因為，因為所以，綜上，，故選D10.（2023屆江西省名校聯(lián)考高三7月第一次摸底）已知圓臺的上、下底面半徑分別為，若該圓臺的表面積為，母線長為2，且，則________．【答案】3【解析】圓臺的表面積為，從而，，因此，解得（負值舍）．(三)空間幾何體的體積11.（2023屆陜西省寶雞市千陽縣中學高三上學期一模）已知底面邊長為1，側棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故，解得，故球的體積為：.故選D.12.（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學期起點考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經測量可知圓臺的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（

）（其中的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3【答案】D【解析】由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選D．13.（多選）（2022屆重慶市南開中學校高三第九次質量檢測）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．某天小明在廣場上發(fā)現(xiàn)了如圖1所示的一個石凳，其形狀是將一個正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”（如圖2所示）．小明用卷尺測量出這個石凳的高度為50cm，他給出了如下判斷，請你指出小明的哪些判斷是正確的（

）A．這個石凳共有24條棱，12個頂點，14個面B．一個體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個這樣的石凳（不計損耗）C．這個石凳也可以由一個直徑為70cm的球形石料切割而成（不計損耗）D．如果將這個石凳三角形的那個面水平放置，石凳的高度會增加【答案】ABD【解析】觀察所得的幾何體可知，幾何體有24條棱、12個頂點、14個面，選項A正確；由題意可知，“阿基米德多面體”體積為原正方體體積減去8個三棱錐體積，設原正方體的棱長為，則8個三棱錐體積為，所以“阿基米德多面體”體積為，又石凳的高度為50cm，所以原正方體的棱長，所以“阿基米德多面體”體積為，又1立方米等于，所以，所以一個體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個這樣的石凳（不計損耗），故B正確；原正方體的棱長，則其外接球的直徑為，又，所以一個直徑為70cm的球形石料切割不成該幾何體（不計損耗），故C錯誤；設原正方體的棱長為，則每個三棱錐是底面邊長為的正三角形，側棱長，且兩兩互相垂直的三棱錐，設頂點到正三角形的距離為，由三棱錐的體積可知，解得，所以兩個對角上的正三角形所在面的距離為，由題意可知，如果“阿基米德多面體”按照圖2放置，則高度為，所以如果將這個石凳三角形的那個面水平放置，石凳的高度為，所以高度會增加，故D正確；故選ABD.14.（2023屆河南省新未來高三上學期8月聯(lián)考）六氟化硫是一種無機化合物，化學式為，常溫常壓下為無色無臭無毒不燃的穩(wěn)定氣體，密度約為空氣密度的5倍，是強電負性氣體，廣泛用于超高壓和特高壓電力系統(tǒng)．六氟化硫分子結構呈正八面體排布（8個面都是正三角形）．若此正八面體的表面積為，則該正八面體的內切球的體積為______．【答案】【解析】設該正八面體的棱長為a，則，解得a＝4．故內切球圓心O到各頂點的距離為．故在正三棱錐O－ABC中，，故．由正八面體的結構特征可得的長為內切球半徑.所以該正八面體的內切球體積為．三、最新模擬練15.（2023屆江蘇省南京市高三上學期7月學情調）在△ABC中，.則以BC為軸，將△ABC旋轉一周所得的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過A作交于點，則題中旋轉體是以繞直角邊所在直線BC旋轉所成的兩個圓錐的組合體.因為，所以，所以△ABC的面積為：，解得：.所以將△ABC旋轉一周所得的幾何體的體積為：故選C.16.（2022屆四川省內江市第六中學高三下學期考前第一次強化訓）如圖，正方形的邊長為為的中點，將沿向上翻折到，連接，在翻折過程中，下列說法中正確的是（

）①四棱錐的體積最大值為②．中點的軌跡長度為③與平面所成角的正弦值之比為④三棱錐的外接球半徑有最小值，沒有最大值A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③【答案】C【解析】由已知梯形面積為，直角斜邊上的高為.當平面平面時，四棱錐的體積取最大值.①正確；取中點為，則平行且相等，四邊形是平行四邊形，所以，點的軌跡與點的軌跡完全相同，過作的垂線，垂足為的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，從而中點的軌跡長度為.②錯誤；由四邊形是平行四邊形知，則平面，則到平面距離相等，故，與平面所成角的正弦值之比為等于.③正確；外接圓半徑為是中點，根據正弦定理外接圓半徑為是圓與圓公共弦，.設三棱錐外接球球心為，半徑為，則因為，所以，所以最小值為，沒有最大值.④正確；故選C17.（多選）（2022屆河北省保定市高三上學期期末）如圖，為正方體中所在棱的中點，過兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BD【解析】由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選BD18.（多選）（2022屆湖北省武漢市第二中學高三下學期5月全仿真模擬）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】AD【解析】由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點間距離為a，故A正確；勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖1，其中點E為該球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知BOE三點共線，設正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以，易知，故B錯誤；勒洛四面體最大的截面即經過四面體ABCD表面的截面，如圖2，則勒洛四面體截面面積最大值為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯誤；勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球體積之間，正四面體底面面積為，底面所在圓的半徑為，故正四面體的高為，所以正四面體ABCD的體積，設正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以外接球體積所以勒洛四面體的體積，D正確.故選AD19.（2022屆江蘇省鹽城中學高三下學期5月仿真）把邊長為1的實心正六面體磁性幾何魔方按圖方式分成12塊：（1）取6條面上的對角線；（2）考慮以立方體中心為頂點，上述6條對角線及12條棱之一為對邊的三角形；（3）這18個三角形把立方體切成了12塊，每塊是一個四面體，每個四面體有兩條棱是立方體的棱；（4）每個四面體僅通過其上立方體的棱和其它四面體連接．則在此玩具所有可能的形狀中，其上兩點之間空間距離的最大值為__________．【答案】【解析】由題意，以標記的八個頂點，并設開始時選定的頂點為和，則這個頂點分別屬于6個小四面體，而，這六個頂點（無論怎么變形）構成一個邊長為1的正六邊形，注意到這個由12個四面體構成，因此取到最大值的必定是兩個小四面體的頂點，在四面體中，四個頂點可分為3類：（1）一個頂點在立方體中對于應于和，稱之為第一類頂點；（2）兩個頂點（它們之間的棱）屬于六邊形，稱之為第二類頂點；（3）一個頂點對應于立方體的中心，它到一個小四面體的另三個頂點的距離都是，稱之為第三類頂點，這些頂點之間沿棱的距離的最大值，可得下表：距離第一類頂點第二類頂點第三類頂點第一類頂點第二類頂點第三類頂點從而任意兩點之間的距離不會超過.20.（2022屆星云聯(lián)盟高三統(tǒng)一模擬）已知三棱錐的四個頂點在球O的表面上，，，，．若三棱錐的體積為，則球的表面積為__________．【答案】或【解析】由，，則△為等腰直角三角形，若為中點，連接，則，且為面的外接圓圓心，所以外接球的球心在過垂直于面的直線上，由三棱錐的體積為，且，故到面的距離，又，，則面，又面，所以面面，且面面，則在面上的射影落在直線上，又，則或，若外接球的半徑為，，當，如下圖示：，，易知，則，所以，可得，即，所以，此時外接球表面積為；當，如下圖示：，，易知，所以，可得，即，所以，此時外接球表面積為；綜上，外接球表面積為或.21.（2022屆四川省內江市第六中學高三下學期第三次強化訓練）如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.(1)求證：平面平面；(2)求幾何體的體積【解析】（1）證明：因為是邊長為2的菱形，，所以和都是邊長為2的正三角形，因為平面，所以、，又因為與平面所成的角為，所以，所以，取中點，連接、，又因為，，所以四邊形為矩形，于是平面，，，又因為，取中點，連接、，因為，所以，因為，所以，所以為平面與平面構成二面角的平面角，又因為，，，所以，所以，所以平面平面．（2）解：因為平面平面所以平面平面設的中點，連接，有因為平面平面所以面，即是四棱錐BCDEF的高易求

所以22.（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學期起點考試）查找并閱讀關于蜂房結構的資料，建立數(shù)學模型說明蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）的原因．【解析】數(shù)學模型I：能鋪滿平面的正多邊形有哪些？在周長一定的情況下，哪種面積最大？數(shù)學模型I的求解：由于正邊形的每一個內角都等于，要將平面鋪滿，則有：，解得，故時，符合要求.當周長一定時，正三角形的面積為；正四邊形的面積為；正六邊形的面積為.此時有：，所以正六邊形是最佳的設計.數(shù)學模型Ⅱ：蜂房口的正六邊形及蜂房的容積一定的情況下，問題是底面菱形的各角分別多大時，蜂房的表面積最??？數(shù)學模型Ⅱ求解：假定六棱柱的邊長是，先求的長度，是腰長為1，夾角為的等腰三角形.以為對稱軸作一個三角形(圖3).三角形是等邊三角形.因此，，即得.把圖4的表面分成六份，把其中之一攤平下來，得出圖7的形狀.從一個寬為的長方形切去一角，切割處成邊.以為腰，為高作等腰三角形.問題:怎樣切才能使所作出的圖形的面積最小?假定被切去的三角形的高是.從矩形中所切去的面積等于.現(xiàn)在看所添上的三角形的面積。AP的長度是，因此的長度等于因而三角形的面積等于.問題再變而為求的最小值的問題.令，故，兩邊平方，整理得因為是實數(shù)，故二次方程判別式，而必大于，因此的最小值為，即.當時取最小值，即在一棱上過處（圖5中點）以及與該棱相鄰的二棱的端點（圖5中，點）切下來洴上去的圖形的表面積最小.設，由余弦定理得，并將代入可得.因此得出.四、高考真題練23.(2022高考全國卷甲)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側面展開圖的圓心角之和為,側面積分別為和,體積分別為和．若,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設母線長為,甲圓錐底面圓半徑為,乙圓錐底面圓半徑為,則,所以,又,則,所以,所以甲圓錐的高,乙圓錐的高,所以.故選C.24.（2022高考全國卷乙）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當該四棱錐的體積最大時,其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：設該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所外接圓半徑為r,設四邊形ABCD對角線夾角為,則,（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時,底面ABCD面積最大值為又,則當且僅當即時等號成立,故選C.解法二：由于該四棱錐的底面是圓內接四邊形,當圓內接四邊形面積最大時該四邊形為正方形,設該正方形的邊長為a,正方形外接圓半徑為r,則,該四棱錐的高的最大值為,此時該四棱錐的體積,設,則,令得,所以當時最大,最大,此時,故選C.25.（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時,相應水面面積為；水位為海拔時,相應水面的面積為,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔上升到時,增加的水量約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】把增加的水量轉化為棱臺的體積,依題意可知棱臺的高為(m),棱臺上底面積,下底面積,∴．故選C．26.（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）已知正四棱錐的側棱長為l,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為,且,則該正四棱錐體積的取值范圍是A B. C. D.【答案】C【解析】∵球的體積為,所以球的半徑,設正四棱錐的底面邊長為,高為,則,,所以,,所以正四棱錐的體積,所以,當時,,當時,,所以當時,正四棱錐的體積取最大值,最大值為,又時,,時,,所以正四棱錐的體積的最小值為,所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選C.27.（2022新高考全國卷=2\*ROMANII）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為和,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為A. B. C. D.【答案】A【解析】設該正三棱臺上下底面圓的半徑分別為,所以,解得,設該球的球心到上下底面的距離分別為,球的半徑為,所以,,故或,即或,解得,符合題意,所以球的表面積為．故選A．五、綜合提升練28.（2022屆江西省南昌市高三第三次模擬）已知長方體中，，，，為矩形內一動點，設二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（