第5講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)（知識(shí)點(diǎn)串講）

第5講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)（滬教版2020必修二）【知識(shí)講練】知識(shí)點(diǎn)一：正切函數(shù)的圖像：可選擇的區(qū)間作出它的圖像，通過(guò)單位圓和正切線，類(lèi)比正、余弦函數(shù)圖像的畫(huà)法作出正切函數(shù)的圖像xyyxyy0x根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖像，稱“正切曲線”.由正弦函數(shù)圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：觀察：當(dāng)從小于，時(shí)，當(dāng)從大于，時(shí)，.周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數(shù)（5）單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)二：余切函數(shù)的圖象：即將的圖象，向左平移個(gè)單位，再以x軸為對(duì)稱軸上下翻折，即得的圖象由余弦函數(shù)圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：（3）周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數(shù)（5）單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：例1．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?對(duì)稱中心；（2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.【答案】（1）最小正周期，對(duì)稱中心是；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)的對(duì)稱中心.（2）根據(jù)函數(shù)的解析式得到的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的、兩點(diǎn)，再找到兩側(cè)相鄰的漸近線方程，畫(huà)出函數(shù)的圖象即可.【詳解】（1），，令，，解得，，故對(duì)稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的點(diǎn)有、兩點(diǎn)，在這個(gè)周期內(nèi)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖).【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，關(guān)鍵點(diǎn)是找出圖象上的點(diǎn)用描點(diǎn)法畫(huà)圖象，屬于中檔題.【變式訓(xùn)練11】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）用定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在上作出函數(shù)的圖象．【答案】（1）；（2）奇函數(shù),見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù),求解即可；（2）由（1）可知的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,判定和的關(guān)系,從而判定奇偶性；（3）將寫(xiě)為分段函數(shù),畫(huà)出圖象即可【詳解】（1）由,得（）,所以函數(shù)的定義域是.（2）由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以是奇函數(shù).（3）,所以在上的圖象如圖所示,【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域,考查奇偶性的判斷,考查函數(shù)圖象.【變式訓(xùn)練12】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期，對(duì)稱中心；（2）作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．【答案】（1），；（2）圖象見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)的對(duì)稱中心.（2）首先根據(jù)函數(shù)的解析式得到數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，再畫(huà)出函數(shù)的圖象即可.【詳解】（1），.令，，解得，，故對(duì)稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和.故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，屬于中檔題.例2．（2019·寶山區(qū)·上海交大附中高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過(guò)化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【詳解】的定義域?yàn)?，A.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)榛?，與定義域不相同；B.，因?yàn)椋?，所以定義域?yàn)椋c定義域不相同；C.，因?yàn)?，所以定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以與相同；D.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?，與定義域不相同.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).【變式訓(xùn)練13】例3．（2019·上海市大同中學(xué)高一期中）函數(shù)的定義域是________【答案】【分析】解不等式即得解.【詳解】由題得所以x∈.故函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查反三角函數(shù)和正切函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練14】（2017·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高一期中）已知函數(shù)，則的定義域是____.【答案】【分析】由意義得出，解出該不等式組即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)，，，，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，同時(shí)也涉及了正切不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.例3．（2016·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高一期中）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是_________.①定義域是；②值域是；③最小正周期是；④是奇函數(shù)；⑤在定義域上單調(diào)遞增.【答案】③④【分析】先求定義域，再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)求值域、求周期、判斷單調(diào)性與奇偶性.【詳解】且，定義域是；所以；最小正周期是；是奇函數(shù)；在定義域上不具有單調(diào)性故答案為：③④【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及函數(shù)綜合性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.【變式訓(xùn)練15】（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由定義域可得，令則，所以，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以令則所以因?yàn)?，所以，，，，即?）因?yàn)樗粤?，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以即函數(shù)的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，換元法求函數(shù)的值域，屬于中檔題.【變式訓(xùn)練16】（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先令，得到，再根據(jù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的值域.（2）首先令，得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到值域.（3）首先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，令，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）令，因?yàn)?，所以，又在上為增函?shù)，所以所求函數(shù)值域?yàn)椋?）令，因?yàn)?，所以．．因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以在為增函數(shù)，即：在上為增函數(shù)，所以，.所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）．令，所以．．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的值域問(wèn)題，利用換元法求值域?yàn)榻鉀Q本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.例4．（2016·上海浦東新區(qū)·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的周期，排除選項(xiàng)后，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間找出正確選項(xiàng)即可.【詳解】由題意觀察選項(xiàng)，C的周期不是，所以C不正確；對(duì)于A，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，，函數(shù)的周期為，且在區(qū)間上為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于D，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故D不正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練17】（2018·上海市青浦高級(jí)中學(xué)）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____________.【答案】【分析】利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．【變式訓(xùn)練18】（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____.【答案】【分析】的周期.【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.例5．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高一月考）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)___________，對(duì)稱中心為_(kāi)___________.【答案】，.【分析】由題意利用正切函數(shù)的周期性以及圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的最小正周期，令，求得，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，，故答案為：；，.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練19】（2020·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高一月考）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A.是奇函數(shù)，上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.是奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋珻選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為，D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練110】