專題10導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（解答題壓軸題）-2022年高考數(shù)學(xué)高分必刷必過(guò)題

專題10導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）1．（2021·山東萊西·高二期末）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】（1）則，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由，可得，令，則，所以①，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，作出圖象，如圖所示，由題意可得方程①的根，有一個(gè)必在內(nèi)，令一個(gè)根或或，當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)意義，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，所以當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為2．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若且，比較，，的大??；（2）若函數(shù)與函數(shù)的圖象分別位于直線的兩側(cè)，求的所有可能的取值．【答案】（1）；（2）的取值為．【詳解】解：（1）若，則，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以，即，所以，所以；又因?yàn)椋?，即?），由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；由函數(shù)求導(dǎo)，得，由得；由得．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；因?yàn)?，函?shù)的最大值，即函數(shù)在直線的下方，故函數(shù)在直線的上方，所以，解得．所以的取值為．3．（2021·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，證明：曲線不落在圖像的下方．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】（1）解：由題意知，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）證明：要證曲線不落在圖像的下方，即證，即證．令，，．，令，得；令，得或，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為2．而，易知在上單調(diào)遞增，且．令，得，令，得，故．故當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則．設(shè)，則．設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，則，則在上單調(diào)遞增，從而，則在上單調(diào)遞增，則，從而在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，．綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線不落在圖像的下方．4．（2021·河南南陽(yáng)中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)的圖象在軸上方.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）由題意，函數(shù)，則，可得函數(shù)的遞增，因?yàn)?，所以在上存在一個(gè)，使得即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以的圖象在軸的上方.5．（2021·蘭州市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；【答案】(1).(2)1.詳解：（1）,則，∵在上單調(diào)遞增，∴對(duì)，都有，即對(duì)，都有，∵，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，令，由題意得，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，故的最小值為．6．（2021·黑龍江香坊·哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（I）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）若，求的單調(diào)區(qū)間；（III）若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（I）（II）詳見解析（III）試題解析：（I）時(shí)，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．又因?yàn)椋运笄芯€方程為，即．（II），①若，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為．②若，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．③若，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為．（III）時(shí)，，由（II）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．所以在處取得極小值，在處取得極大值．由，得．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．故在處取得極大值，在處取得極小值．因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，即，所以．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．7．（2020·全國(guó)高三模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的圖象與直線相切，是的導(dǎo)函數(shù)，且.（1）求；（2）函數(shù)的圖象與曲線關(guān)于軸對(duì)稱，若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】假設(shè)直線與函數(shù)圖象的切點(diǎn)為，因?yàn)?，則由題意知，即所以，即①，又，所以②由①②可得，所以（2）由題可知，則，即，兩式相加得，兩式相減得，以上兩式相除得，即，不妨設(shè)，要證，即證，即，即證，令，那么，則，所以在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞增，且.所以，從而成立.8．（2020·嘉祥縣萌山高級(jí)中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，，，（1）求在處的切線的一般式方程；（2）請(qǐng)判斷與的圖像有幾個(gè)交點(diǎn)?（3）設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn)，為與的圖像一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，證明：.【答案】（1）（2）與的圖像有2交點(diǎn)（3）證明見解析【詳解】（1）由得切線的斜率為，切點(diǎn)為.∴切線方程為：，∴所求切線的一般式方程為.（2）令由題意可知，的定義域?yàn)?，?令，得，由，得，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則，當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，即，從而，又因?yàn)?，∴在?nèi)有唯一零點(diǎn)，又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).所以與的圖像有2交點(diǎn)；（3）由（2）及題意，即從而，即,∵當(dāng)時(shí)，，又，故,兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得，命題得證.9．（2020·江西上高二中高二月考（理））已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)，求的取值范圍.（2）若的圖象恒在軸上方，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意得，.在上單調(diào)，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，則.時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴由題意得，或.∴的取值范圍是.（2）的圖像恒在軸上方，也即當(dāng)時(shí)，恒成立.也即在上恒成立.令，，由可得：1+0單調(diào)遞增0單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴為極大值.所以.∴的取值范圍是.10．（2020·江蘇泰州·高二期中）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，．（2）因?yàn)椋栽趨^(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件為在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，，所以存在唯一的，使得，因?yàn)樵趨^(qū)間大于零，在區(qū)間小于零，在區(qū)間上大于零，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以，分別為極大值與極小值，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）因?yàn)樗?，令，，令，解得（舍去）?0＋↓極小值↑因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，①又因?yàn)?，所以②代入①得到，令，所以在上遞減，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，所以．i）因?yàn)椋?，，令，，所以所以在上遞增，，所以所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．ⅱ）又因?yàn)?，且，所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，綜