高等數(shù)學(xué)教程　上冊(cè)　第4版 習(xí)題及答案 P225 第9章 微分方程

PAGE299PAGE34第九章微分方程習(xí)題9.11.指出下列微分方程的階數(shù)，并指出哪些方程是線性微分方程：(1)(2)(3)(4)解:方程（1）是二階非線性微分方程。方程（2）是三階線性微分方程。方程（3）是二階線性微分方程。方程（4）是一階非線性微分方程。2.檢驗(yàn)下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：(1)(2)(3)(4)解：（1），則有，即滿足方程，所以是方程的解。（2），，，則有，既滿足方程，所以是方程的解。（3）,，，則即函數(shù)不滿足方程，所以，不是方程的解。（4），，即函數(shù)滿足方程，所以函數(shù)是方程的解。3.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，試建立該曲線所滿足的微分方程。解：設(shè)該曲線的方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓對(duì)于溫度的變化率與氣壓成正比,與溫度的平方成反比。解：習(xí)題9.21.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)解：（1）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（2）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（3）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為2.求下列微分方程的特解：(1)(2)解：(1)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為(2)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為.3.設(shè)曲線過(guò)點(diǎn),且它任意一點(diǎn)的切線的斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍,求這曲線的方程。解:設(shè)該曲線的方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為由,方程兩邊取不不定積分,存在常數(shù)C,使得,再由,得,所以,所求曲線方程為4.求下列微分方程的通解或特解：(1)(2)(3)(4)解:（1）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊榉蛛x變量得，兩邊積分有即，還原變量得，原方程的通解為（2）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊?，兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為（3）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧?，兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為，即（4）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變?yōu)榧礊榉蛛x變量得兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為由，有，得，所求原方程的特解為5.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)(4)解：（1）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（2）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（3）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有(4)該方程不是以為未知函數(shù)的一階線性方程，方程變形為，即，這是以為自變量，未知函數(shù)的一階線性方程，其中，它的通解為6.設(shè)有連接和的上凸曲線弧，是上任意一點(diǎn)，若曲線弧與直線所圍成的面積為，試求曲線弧的方程。解:設(shè)曲線方程為，由題意有，，對(duì)上述積分方程，兩邊求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，有這是一階線性微分方程，所以有由，有，所以，所求曲線方程為求滿足方程的連續(xù)函數(shù)。解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得，此方程為一階線性微分方程，它的通解為由，有，習(xí)題9.31.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）（6）解：（1）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為(3)方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（5）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（6）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為2.求下列微分方程的特解:（1）（2）（3）（4）解：（1）先求方程的通解。方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（3）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，所以方程的特解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，即，所以方程的特解為3.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）解：（1）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有再設(shè)，代入上式有比較兩邊冪的系數(shù)，有解得，所以，該方程一個(gè)特解，方程的通解為（2）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有再設(shè)，代入上式有比較兩邊冪的系數(shù)，有解得，所以，該方程一個(gè)特解，方程的通解為(3)先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有則，特解為，方程通解為(4)先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)該方程的特解為，代入方程后有解得，該方程的特解為，方程的通解為（5）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。先求的特解，設(shè)它的特解為，代入方程后有設(shè)，代入得，所以，的特解為的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為4.求下列微分方程的特解:（1）（2）(3)(4)解：（1）先求該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為易知該方程的一個(gè)特解為，所以，方程的通解為由初始條件，有，解得，所以，所求特解為（2）特征方程是，特征根是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)它的特解為，代入方程后有則有，所以方程的通解為再由初始條件，有，既，所以，所求特解為(3)特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。設(shè)它的特解為，代入方程后有則有，所以，方程的通解為再由初始條件，有，則有，所以，所求特解為。(4)特征方程是，特征根是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為再求方程的一個(gè)特解。先求的特解，設(shè)它的特解為，代入方程后有解得，所以的特解的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為再由初始條件，有解得，所以，原方程的通解為習(xí)題9.41.確定下列方程的階：（1）(2)解：（1）因?yàn)椋苑匠痰碾A為3。（2）因?yàn)?，所以方程的階為6。2.求下列一階差分方程的通解和滿足初值條件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)特解為，則，即。原差分方程通解為。(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)特解為，代入原方程比較系數(shù)得，解得原差分方程通解為。(3)原方程即為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設(shè)特解為，代入方程整理得，原差分方程特解。原差分方程通解為。（4）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設(shè)特解為，代入方程整理得比較系數(shù)，解得，即。原差分方程通解為。（5）原方程即為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)原方程的特解為設(shè)特解為，代入原方程比較系數(shù)得，解得原差分方程通解為。由初始條件，代入通解中，得，所求特解為（6）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程得消去，整理得則，代入方程有，即。得非齊次方程的特解為。又非齊次方程的特解為。原方程的一個(gè)特解為。原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（7）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。原方程的一個(gè)特解為，代入原方程得整理得比較系數(shù)有解得，原方程的一個(gè)特解為，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（8）先求解。對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，為任意常數(shù)。做變量代換，代入方程得消去，整理得設(shè)該方程的特解為，代入上式有，原方程的一個(gè)特解為，取其虛部得原方程的一個(gè)特解，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為3.設(shè)分別是下列差分方程的解，證明：是差分方程的解。證明：因?yàn)榉謩e是下列差分方程的解，所以，，，。滿足差分方程，所以是該差分方程的解。習(xí)題9.51.在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，種植先于產(chǎn)出及產(chǎn)品出售一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)期，時(shí)刻該產(chǎn)品的價(jià)格決定著生產(chǎn)者在下一時(shí)期愿意提供市場(chǎng)的產(chǎn)量，還決定著本期該產(chǎn)品的需求量，因此有（均為正的常數(shù)）假設(shè)每個(gè)時(shí)期中價(jià)格總是在市場(chǎng)售清的水平上，且當(dāng)時(shí)，是初值價(jià)格，求（1）確定價(jià)格滿足的差分方程，并求解該差分方程。（2）分析價(jià)格隨時(shí)間變動(dòng)的規(guī)律。解：（1）因?yàn)榧僭O(shè)在每一個(gè)時(shí)期中價(jià)格總是確定在市場(chǎng)售清的水平上，即，因此可以得到即，于是，得到價(jià)格滿足的差分方程為該方程的通解為（為任意常數(shù)）將當(dāng)時(shí)，初值條件代入上式得記（靜態(tài)均衡價(jià)格），于是，滿足初值價(jià)格時(shí)的解為（2）（i）若初值價(jià)格，則由上式通解知這是“靜態(tài)均衡”的情形。（ii）若，當(dāng)時(shí)，即價(jià)格（振蕩）穩(wěn)定地趨于均衡價(jià)格。當(dāng)時(shí)，，即隨著時(shí)間延續(xù)，價(jià)格將無(wú)限增大。當(dāng)時(shí)，在時(shí)，價(jià)格在兩個(gè)數(shù)值和上來(lái)回?cái)[動(dòng)。2.求的均衡解并分析其穩(wěn)定性。解：差分方程的均衡解為方程的通解為。因?yàn)?，所以差分方程的均衡解為不是穩(wěn)定的。3.求的均衡解，并分析其穩(wěn)定性。解：方程的均衡解為。的均衡解是穩(wěn)定的充要條件是特征根均小于零，而該方程的特征根為，故的均衡解不是穩(wěn)定的。綜合習(xí)題9設(shè)方程的一個(gè)特解為,試確定的值,并求該方程的解。解:因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)特解，所以，滿足該方程。代入方程有則有，解得。原方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程為，特征方程是，特征根是，齊次方程的通解為原方程的通解為設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足方程，求。解：（1）（1）式兩邊求導(dǎo)，得（2）（2）式兩邊求導(dǎo)，得再由（1）和（2）的函數(shù)滿足初值問(wèn)題（3）方程（3）的特征根為，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為方程（3）的一個(gè)特解為，方程（3）的一個(gè)通解為由，代入上面式中，有，得，，所以，連續(xù)函數(shù)為3.證明：為方程的通解。（為任意常數(shù)）證明：，，，則即滿足方程，故是該方程的解，又是二階方程，含有兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)，所以，它是方程的通解。設(shè)對(duì)任意,曲線上的點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于,試求的一般表達(dá)式。解：曲線上的點(diǎn)處的切線為切線在軸上的截距為，由條件有方程兩邊同乘，有兩邊求導(dǎo)得滿足的方程為整理得，，已知函數(shù)的圖像在原點(diǎn)與曲線相切，并滿足方程求函數(shù)。解：方程兩邊求導(dǎo)有即函數(shù)滿足微分方程（1）由的圖像在原點(diǎn)與曲線相切，得（2）方程（1）的特征方程為，特征根是，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解設(shè)方程（1）的特解為，代入方程（1）有設(shè)，則，代入上式得比較等式兩邊有，解得，所以方程（1）的通解為由（2）有，，解得，所以6．證明:設(shè)是二階線性非齊次方程的兩個(gè)任意解,則是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。解：是二階線性非齊次方程的解，所以有（1）（2）（1）式（2）式有即有所以，是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。7.設(shè)二階可導(dǎo),且,過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及到軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積為,區(qū)間上以曲邊的曲邊梯形的面積為,已知,求。解：曲線在點(diǎn)的切線方程切線與軸的交點(diǎn)為，由于,從而，于是又由條件知（1）上式兩邊求導(dǎo)，并化簡(jiǎn)得令，則上式方程可化為