2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第七節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例學(xué)案理含解析

PAGE第七節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.測(cè)量距離問(wèn)題，測(cè)量高度問(wèn)題，測(cè)量角度問(wèn)題．可能是2024年的考查點(diǎn)，題型是選擇題、填空題.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)據(jù)分析3.直觀想象‖學(xué)問(wèn)梳理‖1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫eq\x(1)仰角，在水平線下方的角叫eq\x(2)俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向eq\x(3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向eq\x(4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類(lèi)似．?常用結(jié)論區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：某一正方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與eq\x(5)水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱(chēng)為坡比．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)東北方向就是北偏東45°的方向．()(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，eq\f(π,2).()(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定視察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．()(5)方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√二、走進(jìn)教材2．(必修5P11例1改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m答案：A3．(必修5P15練習(xí)T3改編)如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在水平地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________．答案：eq\f(\r(3),2)a三、易錯(cuò)自糾4．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的________方向上．解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.答案：北偏西15°5.如圖，一艘船上午9：30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8eq\r(2)nmile，則此船的航速是______nmile/h.解析：設(shè)航速為vnmile/h，由題意得，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，則v＝32.答案：32eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(測(cè)量距離問(wèn)題))【例1】如圖，為了測(cè)量?jī)勺椒迳螾，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長(zhǎng)度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______m.[解析]由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，PA＝ABtan60°＝900，故PQ＝900，∴P，Q兩點(diǎn)間的距離為900m.[答案]900?名師點(diǎn)津測(cè)量距離問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和解題關(guān)鍵測(cè)量距離問(wèn)題，無(wú)論題型如何改變，即兩點(diǎn)的狀況如何，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無(wú)非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素所知狀況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺?huà)出(找出)適合解決問(wèn)題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵．|跟蹤訓(xùn)練|1.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，視察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以視察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以視察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以視察到點(diǎn)B，C．測(cè)量得到：CD＝2，CE＝2eq\r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．取cos48.19°＝eq\f(2,3)解析：依題意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝2eq\r(2)，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq\f(CEsin60°,sin45°)＝3eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝10，解得AB＝eq\r(10).答案：eq\r(10)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(測(cè)量高度問(wèn)題))【例2】如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.[解析]由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BCtan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．[答案]100eq\r(6)?名師點(diǎn)津求解高度問(wèn)題的留意事項(xiàng)(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角．(2)精確理解題意，分清已知條件與所求，畫(huà)出示意圖．(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，留意方程思想的運(yùn)用．|跟蹤訓(xùn)練|2.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)解析：選D在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).eq\a\vs4\al(\x(考點(diǎn)三)\a\vs4\al(測(cè)量角度問(wèn)題))【例3】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)覺(jué)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．[解]如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－2×10×12xcos120°，解得x＝2，故AC＝28，BC＝20.依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).?名師點(diǎn)津測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解．[提示]方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必需先弄清晰是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．|跟蹤訓(xùn)練|3．(2025屆惠州第三次調(diào)研)如圖所示，在一個(gè)坡度肯定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45°，依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________．解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內(nèi)角和定理，得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，依據(jù)正弦定理，得eq\f(50,sin