2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角(20分鐘35分)1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b與a共線(xiàn),則a·b的值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.a+b=(3,k+2),由a+b與a共線(xiàn),可得3k-(k+2)=0,解得k=1,則a=(1,1),從而a·b=1×2+1×2=4.2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),則a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|=QUOTE=QUOTE,|b|=QUOTE=QUOTE,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又0≤θ≤π,所以θ=QUOTE.3.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,則c的坐標(biāo)為 ()A.(3,-2) B.(3,2)C.(-3,-2) D.(-3,2)【解析】選C.采納驗(yàn)證的方法知,c=(-3,-2)滿(mǎn)意c·a=-6+6=0,所以c⊥a,b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.4.已知向量m=(1,1),向量n與向量m的夾角為QUOTE,且m·n=-1,則|n|= ()A.-1 B.1 C.2 D.-2【解析】選B.cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,|n|=1.5.(2024·北京高考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿(mǎn)意=QUOTE(+),則||=;·=.

【解析】如圖建系,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=QUOTE,又=(0,-1),所以·=-1.答案:QUOTE-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【解析】設(shè)C(x,y),則=(x,y),又=(-3,1),所以=-=(x+3,y-1),因?yàn)椤?所以5(x+3)-0·(y-1)=0,所以x=-3.因?yàn)?(0,5),所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因?yàn)椤?所以3x+4(y-5)=0,所以y=QUOTE,所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是QUOTE.答案:QUOTE6.若向量a的始點(diǎn)為A(-2,4),終點(diǎn)為B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)與a平行的單位向量的坐標(biāo);(3)與a垂直的單位向量的坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)閍==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|=QUOTE=5.(2)與a平行的單位向量是±QUOTE=±QUOTE(4,-3),即坐標(biāo)為QUOTE或QUOTE.(3)設(shè)與a垂直的單位向量為e=(m,n),則a·e=4m-3n=0,所以QUOTE=QUOTE.又因?yàn)閨e|=1,所以m2+n2=1.解得QUOTE或QUOTE所以e=QUOTE或QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·宜賓高一檢測(cè))已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),則實(shí)數(shù)m= ()A.-4 B.4 C.±2 D.±4【解析】選D.因?yàn)?a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+m2-16-4=0,解得m2.直角坐標(biāo)系xOy中,=(2,1),=(3,k),若△ABC是直角三角形,則k的可能值的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由-==(-1,1-k),若·=0,所以k=-6,若·=0,所以k=-1,若·=0,所以k2-k+3=0,由Δ<0知無(wú)解.所以k的可能值有2個(gè).3.(2024·綿陽(yáng)高一檢測(cè))在△ABC中,角A為QUOTE,角A的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D,已知AD=2QUOTE,且λ=-QUOTE(λ∈R),則在方向上的投影是()A.1 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選D.由λ=-QUOTE可得:=λ+QUOTE,因?yàn)锽,C,D三點(diǎn)共線(xiàn),故λ+QUOTE=1,即λ=QUOTE.所以=QUOTE+QUOTE.以A為原點(diǎn),以AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則D(3,QUOTE),設(shè)B(m,0),C(n,QUOTEn),由=QUOTE+QUOTE得:QUOTE,解得m=3,n=3.故B(3,0),所以在方向上的投影為||cos30°=QUOTE.4.已知向量=(2,2),=(4,1)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),在x軸上有一點(diǎn)P,使·有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ()A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)【解析】選C.設(shè)P(x,0),則=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故當(dāng)x=3時(shí),·最小,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0).5.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈QUOTE,則|a+b|的取值范圍是 ()A.[0,QUOTE] B.[1,QUOTE]C.[1,2] D.[QUOTE,2]【解析】選D.|a+b|=QUOTE=QUOTE.因?yàn)棣取蔘UOTE,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[QUOTE,2].二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),則cosθ=.

【解析】b=QUOTEa+QUOTE(-1,-1)=(1,1),則a·b=6.又|a|=3QUOTE,|b|=QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE=1.答案:17.已知a=(2,1)與b=(1,2),要使|a+tb|最小,則實(shí)數(shù)t的值為.

【解析】因?yàn)閍+tb=(2+t,1+2t),所以|a+tb|=QUOTE=QUOTE.所以當(dāng)t=-QUOTE時(shí),|a+tb|有最小值QUOTE.答案:-QUOTE8.若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是.

【解析】因?yàn)?a-3b與c的夾角為鈍角,所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,所以4k-6-6<0,所以k<3.又若(2a-3b)∥c,則2k-3=-12,即k=-QUOTE.當(dāng)k=-QUOTE時(shí),2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b與c反向.綜上,k的取值范圍為QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(-2,-1),b=(t,-2),且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

【解析】因?yàn)閍與b的夾角為銳角,所以cosa,b=QUOTE>0,即a·b=(-2,-1)·(t,-2)=-2t+2>0,所以t<1.若a∥b,可設(shè)a=λb,所以(-2,-1)=λ(t,-2),所以QUOTE所以QUOTE此時(shí)b=2a,所成的角為0°,故t=-4不合題意.所以t的取值范圍是(-∞,-4)∪(-4,1).答案:(-∞,-4)∪(-4,1)三、解答題(每小題10分,共20分)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=QUOTE,n=(sinx,cosx),x∈QUOTE.(1)若m⊥n,求tanx的值.(2)若m與n的夾角為QUOTE,求x的值.【解析】(1)因?yàn)閙=QUOTE,n=(sinx,cosx),m⊥n.所以m·n=0,即QUOTEsinx-QUOTEcosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1.(2)因?yàn)閨m|=|n|=1,所以m·n=cosQUOTE=QUOTE,即QUOTEsinx-QUOTEcosx=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,因?yàn)?<x<QUOTE,所以-QUOTE<x-QUOTE<QUOTE,所以x-QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE.10.如圖,已知A(1,1),B(5,4),C(2,5),設(shè)向量a是與向量垂直的單位向量.(1)求單位向量a的坐標(biāo);(2)求向量在向量a方向上的投影;(3)求△ABC的面積S△ABC.【解析】(1)設(shè)a=(x,y),依題意有=(4,3),||=5,|a|=1,且a⊥,即a·=0,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以a=QUOTE或a=QUOTE.(2)設(shè)向量與單位向量a的夾角為θ,在a方向上的投影為h,則h=||cosθ=·a.又因?yàn)?(1,4),所以當(dāng)a=QUOTE時(shí),h=1×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE;當(dāng)a=QUOTE時(shí),h=1×QUOTE+4×QUOTE=-QUOTE.(3)S△ABC=QUOTE|||h|=QUOTE×5×QUOTE=QUOTE.1.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,QUOTE),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)意||=1,則|++|的最大值是.

【解析】設(shè)D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓.又++=(-1,0)+(0,QUOTE)+(x,y)=(x-1,y+QUOTE),所以|++|=QUOTE.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x-3)2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1,-QUOTE)間距離的最大值.因?yàn)閳A心C(3,0)與點(diǎn)P(1,-QUOTE)之間的距離為QUOTE=QUOTE,故QUOTE的最大值為QUOTE+1.答案:QUOTE+12.設(shè)向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定義一種向量積a?b=(a1b1,a2b2),已知向