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鎮(zhèn)海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.在等差數(shù)列中,已知,,則等于()A.11 B.13 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和表達(dá)式即可得到方程,解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,即,解得,則.故選:A.2.若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則的值為()A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得出關(guān)于的等式,即可得解.【詳解】對于拋物線,,可得,,故該拋物線的焦點(diǎn)為,由題意可知,橢圓的右焦點(diǎn)為,則,解得,故選:B.3.若點(diǎn)到直線和它到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線和它到點(diǎn)的距離相等,所以,點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,可得,故點(diǎn)的軌跡方程為.故選:D.4.任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).已知數(shù)列滿足:,,則()A.4720 B.4722 C.4723 D.4725【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系,利用規(guī)律求解即可【詳解】,可知數(shù)列是以3為周期的數(shù)列,因?yàn)?,所以,故選:C5.已知函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,,則時(shí),以下說法正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過函數(shù)的奇偶性與導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷當(dāng)時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷各項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,又當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)時(shí),;因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反;又當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)時(shí),;而當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò);由,則,又,所以,故B對;異號,所以,,故CD錯(cuò);故選:B6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可【詳解】由,得,又在上單調(diào)遞增,所以f′x≥0在上恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,只需求出的最小值即可,又在單調(diào)遞減,所以,則,所以,故.故選:D7.已知,,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),其中,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性,可得出,,,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù),其中,當(dāng)時(shí),,,由不等式的性質(zhì)可得,,所以,函數(shù)在上為減函數(shù),因?yàn)椋?,,所以,,即,故選:A.8.已知橢圓,左焦點(diǎn)為,在橢圓上取三個(gè)不同點(diǎn)、、,且,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為頂點(diǎn),軸的正方向?yàn)槭歼叺姆较?,為角的終邊,推導(dǎo)出,同理可得出,,然后利用三角恒等變換化簡可得出的最小值.【詳解】在橢圓中,,,,如下圖所示:橢圓的左準(zhǔn)線為,以為頂點(diǎn),軸的正方向?yàn)槭歼叺姆较颍瑸榻堑慕K邊,當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作,過點(diǎn)作,垂足分別為點(diǎn)、,易知四邊形為矩形,則,由橢圓第二定義可得,則,又因軸,則,所以,,所以,,因?yàn)?,即,所以,,同理可知,?dāng)為任意角時(shí),等式仍然成立,同理可得,,因此,,故的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是幾何法,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;二是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是()A., B.,C., D.,【答案】ABC【解析】【分析】對于ABC,由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷;對于D,由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),從而得解.【詳解】對于A,,則,故A正確;對于B,,則,故B正確;對于C,,則,故C正確;對于D,,則,故D錯(cuò)誤.故選:ABC.10.已知拋物線,為其焦點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),則下列說法正確的是()A.若點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,則的最小值為B.若直線過焦點(diǎn),則以為直徑的圓與相切C.若直線過焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),則D.設(shè)直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則該直線的斜率與無關(guān),與有關(guān)【答案】BCD【解析】【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng);利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng);求出、的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng);利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng),如下圖所示:拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為,由拋物線的定義可得,則,當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),即當(dāng)時(shí),取最小值,A錯(cuò);對于B選項(xiàng),若直線過焦點(diǎn),則,線段的中點(diǎn)到直線的距離為,所以,,因此,以為直徑的圓與相切,B對;對于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),直線的方程為,聯(lián)立可得,不妨取、,則,此時(shí),,C對;對于D選項(xiàng),線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,若軸,則線段中點(diǎn)在軸上,不合乎題意,所以直線的斜率存在,由題意可得,由作差得,所以,,D對.故選:BCD.11.數(shù)列滿足,,,則下列結(jié)論中一定正確的是()A B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可判斷各項(xiàng)的取值范圍.【詳解】由題意得,數(shù)列為遞增數(shù)列.,,,,所以,,,,,,,,,,,,,,,,,,.故選:AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解本題的關(guān)鍵在于利用遞推公式逐項(xiàng)求解各項(xiàng)的范圍即可.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,,則__________.【答案】##0.1【解析】【分析】把遞推公式變形并判斷數(shù)列是等差數(shù)列,然后求出通項(xiàng)即可求得【詳解】由,得,又,則,所以數(shù)列首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以,又可得,又,所以,得,所以,故答案為:13.已知雙曲線與直線相交于,兩點(diǎn),其中中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則該雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法可求的關(guān)系,從而可求離心率.【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,因?yàn)?,故,所以,而,故,故,故,故答案為?4.已知函數(shù),若在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】就、分類討論,前者再就分類后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號討論單調(diào)性后可得相應(yīng)范圍,后者結(jié)合常見的函數(shù)不等式可得恒成立,故可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,設(shè),則因?yàn)?,故均為上的增函?shù),故在上為增函數(shù),若即,則在上恒成立,故在上為增函數(shù),故恒成立,故為上為增函數(shù),故恒成立,故符合,若即,此時(shí),而,故存在,使得,且,即在上為減函數(shù),故,即在上為減函數(shù),故,與題設(shè)矛盾,當(dāng)時(shí),設(shè),則,故在上為增函數(shù),故即,設(shè),則,在上為增函數(shù),故即,而,故,即即,故也成立,綜上,,故答案為:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:不等式的恒成立,注意驗(yàn)證區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值,如果函數(shù)值為零,則往往需要討論導(dǎo)數(shù)(或二階導(dǎo)數(shù))在端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號,從而得到分類討論的標(biāo)準(zhǔn).四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).(1)求的最小值;(2)求在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后討論其符號,結(jié)合單調(diào)性可求最小值;(2)求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可求切線方程.【小問1詳解】,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故.【小問2詳解】由(1)可得,而,故切線方程為:,即切線方程為:.16.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題設(shè)的遞歸關(guān)系可得,故可得公比,從而可求通項(xiàng);(2)利用錯(cuò)位相減法可求.【小問1詳解】因?yàn)椋?,所以,而an為等比數(shù)列,故公比,故.【小問2詳解】,故,所以,所以,故.17.已知雙曲線(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)已知點(diǎn)、,直線與雙曲線交于、兩點(diǎn),,,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)雙曲線的方程可得出其漸近線方程;(2)設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx【小問1詳解】在雙曲線中,,,所以,該雙曲線漸近線方程為.【小問2詳解】由題意可知,直線的方程為,即,且,設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立,可得,,由韋達(dá)定理可得,,,,且,,則,所以,,.18.已知函數(shù),,其中在處取得極值(1)求的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)增區(qū)間為,減區(qū)間為(3)【解析】【分析】(1)由題意可得,可求出的值,然后檢驗(yàn)即可;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;(3)由參變量分離法可得出,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在0,+∞上的最小值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?,則,其中,因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,則,解得,經(jīng)檢驗(yàn),合乎題意.因此,.【小問2詳解】由(1)可知,,其中,則,由,可得,列表如下:0,11,+f單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以,函數(shù)的增區(qū)間為0,1,減區(qū)間為1,+∞.【小問3詳解】,當(dāng)時(shí),由,可得,令,其中,則,令,其中,則p′x=所以,函數(shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增,因?yàn)閜1=e由零點(diǎn)存在定理可知,存在唯一的,使得,即,即,令,其中,則q′x=1+所以,函數(shù)在1,+∞上為增函數(shù),因?yàn)?,則,,由,可得,則,所以,,且當(dāng)時(shí),,即?′x<0當(dāng)時(shí),,即?′x>0所以,函數(shù)?x的減區(qū)間為,增區(qū)間為,所以,,則,所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立,可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:(1),;(2),;(3),;(4),.19.在必修一中,我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過用二分法來求方程的近似解,而牛頓(IssacNewton,1643-1727)在《流數(shù)法》一書中給出了“牛頓切線法”求方程的近似解.具體步驟如下:設(shè)是函數(shù)y=fx的一個(gè)零點(diǎn),任意選取作為的初始近似值,曲線y=fx在點(diǎn)x0,fx0處的切線為,設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,并稱為的次近似值;曲線y=fx在點(diǎn)x1,fx1處的切線為,設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,稱為的次近似值.一般地,曲線y=fx在點(diǎn)處的切線為,記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,并稱為的次近似值.不斷重復(fù)以上操作,在一定精確度下,就可取為方程的近似解.現(xiàn)在用這種方法求函數(shù)的大于零的零點(diǎn)的近似值,取.(1)求和;(2)求和的關(guān)系并證明;(3)證明:.【答案】(1);(2),證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題干中的為的次近似值和為的次近似值的定義即可求解;(2)求出直線的方程,直接求橫截距即可.(3)借助第(2)題的結(jié)論,根據(jù)幾何意義得到,后面再根據(jù)此
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